Римана инварианты

Все ростки класса Лз с одинаковой 3-струей формально эквивалентны. Однако аналитически неэквивалентных ростков гораздо больше. По каждому ростку класса Ла можно построить класс ростков голоморфных функций (инвариант классификации) эти инварианты для двух формально эквивалентных ростков совпадают, если и только если соответствующие ростки аналитически эквивалентны. Опишем пространство инвариантов . Пусть О и оо —точки на сфере Римана. Инвариант строится с помощью пар ростков конформных отображений [c.97]

Риккати уравнение 133—134, 583 Римана инварианты 126 [c.611]

Релятивистские гидродинамические уравнения 608, 613 Римана инварианты 469, 529 [c.794]

Если течение изоэнтропическое, то выражения d dp/(pfl.) являются полными дифференциалами величин 1 , которые называются инвариантами Римана. При этом [c.45]

Для уравнений акустики (см. п. 1 2.1) инварианты Римана имеют вид [c.45]

Существование простой волны связано с гиперболическим характером уравнений, описывающих этот класс течений. Напомним, что классическим гиперболическим уравнением является волновое уравнение. Дадим определение простой волны. Если течение безвихревое и одно из семейств характеристик — прямые линии с постоянными параметрами, то течение в этой области называется простой волной. Основным свойством простой волны является следующее к области движения с постоянными параметрами может примыкать только или еще одна такая область движения с постоянными параметрами, или простая волна. При этом оказывается, что для существования простой волны достаточно, чтобы одна из характеристик какого-либо семейства была прямолинейной с постоянными параметрами на ней. Указанные свойства простой волны нетрудно получить, рассмотрев в случае изоэнтропического течения уравнения совместности на характеристиках. Действительно, на С+-и С- характеристиках справедливы инварианты Римана 1+, -(см. 2.2). Пусть, например, прямолинейной характеристикой с постоянными параметрами является какая-либо из характеристик С+. Тогда все пересекающие ее характеристики С имеют одно и то же значение инварианта / = и—2а/(у—1), т. е. по всей области течения / — постоянная величина. Поскольку, с другой стороны, каждая из характеристик С+ имеет свое постоянное значение /+, то из постоянства двух величин /+ и / следует постоянство ы и а на каждой из характеристик С+ и, следовательно, их прямолинейность, так как уравнение характеристик имеет вид dx/dt = u + a. Подчеркнем, что параметры [c.57]

Возникает область вакуума P = R = 0. Таким образом, уравнение (2.90) имеет единственный корень, если выполнено условие и,—И2 /вак=—2 ui + a2) ( —1). Задача о распаде произвольного разрыва послужила основой для создания оригинального численного метода решения нестационарных задач газовой динамики. Аналогичная задача о взаимодействии двух стационарных сверхзвуковых потоков послужила основой для создания численного метода расчета стационарных плоских осесимметричных и пространственных сверхзвуковых течений. Конфигурации, возникающие при взаимодействии сверхзвуковых потоков, аналогичны соответствующим конфигурациям в нестационарном течении и изображены на рис. 2.11, а—5. Отличие состоит в том, что при расчете задачи о взаимодействии двух сверхзвуковых потоков параметры в волне разрежения связаны соотношениями Прандтля — Майера (2.74), а не инвариантами Римана. Ограничимся этими краткими замечаниями. В дальнейшем при изложении методов сквозного счета будут приведены расчетные формулы. [c.66]

Величины называют инвариантами Римана. Они удов- [c.14]

Соотношения (2) и (3) позволяют, в силу определения (1), прочитать законы преобразования для производных от / (х, dx), чем, впрочем, нам не придется пользоваться в дальнейшем. Из инвариантов (3) можно посредством линейной комбинации получить нормальную форму р-й вариации , которая для р = 1 имеется у Лагранжа, а для р = 2 — у Римана эта форма характеризуется тем, что исключаются смешанные дифференциалы (р + 1)-го порядка d 6, d д ,... Для этой формы получаем [c.606]

Постановка граничных условий осуществлялась в соответствии с достаточно общим подходом, разработанным в [18]. Слабо возмущенное нестационарное течение газа в окрестности малого элемента границы области можно рассматривать как комбинацию трех волн, распространяющихся со скоростями <7 , qn + a, qn—а, где qn — проекция вектора скорости на внешнюю нормаль к границе, а — скорость звука. Количество условий, выставляемых на элементе границы, должно быть равно числу параметров, определяющих те одномерные волны, которые распространяются от данного участка границы внутрь расчетной области. При этом следует помнить, что каждая из волн, распространяющихся со скоростями <7п а, характеризуется распределением одного параметра, например давления или соответствующего инварианта Римана, а волна, скорость распространения которой совпадает со скоростью потока 9 , определяется распределением двух величин — [c.129]

В П. в. возмущения разл. величин являются ф-циями друг друга эта связь выражается инвариантами Римана J в каждой из П. в. один из инвариантов постоянен. Малые возмущения величин распространяются в среде только вдоль характеристик (2). В газовой динамике имеются два инварианта Римана = — и /( /p)iip. в случае идеального политропного газа, характеризуемого показателем политропы у, Л = V d 2с/(у — 1). [c.151]

Величины / и 1ц называются инвариантами Римана. Рассмотрим [c.88]

Инварианты Римана постоянны вдоль соответствующих характеристик. В общем случае вдоль каждой характеристики одного семейства значения инварианта имеют свое значение. Инварианты Римана однозначно связаны с 7 и с, и их можно рассматривать как новые функции, описывающие течение. Для рассмотренного случая из формул (3.39) следует [c.89]

Здесь S — произвольный инвариант, a — тензор Римана—Кристоф- [c.90]

Обратимся теперь к более детальному рассмотрению вопроса об одномерном распространении в идеальном газе возмущений конечной интенсивности. Покажем, что, подобно тому как это имело место в случае малых возмущений, распространение конечных по величине возмущений также может происходить при помощи простых волн ( 22), т. е. волн, бегущих с постоянной скоростью и несущих с собой постоянные значения параметров газа. Такого рода распространение возмущений конечной интенсивности будет иметь место, если один из инвариантов Римана постоянен во всей области течения, для чего, очевидно, достаточно, чтобы этот инвариант был постоянным в начальный момент времени (при 1 = 0 вдоль оси Ох). Возможность такого рода допущения будет вскоре пояснена и проиллюстрирована примером. [c.146]

Будем, как и ранее, предполагать, что первый инвариант Римана г сохраняет постоянную величину во всей области течения, т. е. выполняется равенство (103). Тогда, замечая, что вдоль прямолинейных, но в общем случае не центрированных характеристик второго семейства С ) (волн разрежения) сохраняют свои значения и и а, будем иметь, выполняя интегрирование [c.153]

Будем считать, что на поверхности поршня Rt сохраняет постоянное значение один из инвариантов Римана, так что имеет место зависимость [c.419]

Наконец, систему (7.4) теперь можно записать через инварианты Римана [c.98]

Движение сжимаемой среды, при котором все возмущения состояний распространяются в одном направлении, есть простая или бегущая волна [1, 2, 4, 5]. В простой волне состояния вдоль характеристик, направленных в сторону распространения волны, неизменны, а все состояния вдоль любой другой траектории на плоскости X, 1 описываются единой зависимостью р(и), соответствующей инварианту Римана противоположного знака. Примером простой волны является волна разрежения в однородно сжатой среде. Если все характеристики простой волны исходят из одной точки на плоскости X, I, то такая волна называется центрированной. [c.15]

Сравнение с формулой (101,4) показывает, что инварианты Римана (104,2) совпадают с темн величинами, которые в простых волнах постоянны вдоль всей области движения в течение всего времени в простой волне, распространя[ощейся вправо, постоянно а в волне, бегущей влево, постоянно С математической точки зрения это есть основное свойство простых волн. Из пего следует, в частности, и указанное в предыдущем параграфе свойство — прямолинейность одного из семейств характеристик. Пусть, например, волна распространяется вправо. Каждая из характеристик несет свое постоянное значение У+ [c.548]

Следует также указать, что если граничная кривая совпадает с какой-либо характеристикой, то на ней вообпде невозможно произвольное задание двух независимых величин, так как их значения связаны друг с другом одним условием — условием постоянства соответствующего инварианта Римана. [c.550]

Интегрирование уравнения (117,2) дает соотношения вида (у 6) = onst, /-(и, 0) — onst. Функции /+ и I- представляют собой величи Ы, остающиеся постоянными соответственно вдоль характеристик С+ и (инварианты Римана). Для политропного газа уравнение (117,2) может быть проинтегрировано в явном виде. Нет, однако, необходимости производить эти вычисления заново, так как результат может быть написан заранее с помощью формул (115,3—4). Действительно, согласно общим свойствам простых волн (см. 104) зависимость у от 0 в простой волне как раз и определяется условием постоянства во всем про- [c.612]

Таким образом, вдоль характеристик dJ+ = О и dJ- = О, т. е. значения J+ (р, 0) и J- (р, 0) сохраняются неизменными. Эти величины аналогичны инвариантам Римана в одномерных неустано-вившихся течениях. Если один из инвариантов J (p, Э) сохраняет постоянное значение во всей области течения [c.177]

Используя инварианты Римана / =р аоро (см. п. 2 2.2) для этих уравнений, можно записать общее решение уравнений (6.27) в виде [c.162]

Эльвин Бруно Кристоффель родился в Монжуа (на Рейне) в 1829 г., умер в Страсбурге в 1900 г. Был профессором в Политехнической школе в Цюрихе, в Берлинской промышленной академии и в Страсбургском университете. Прямой ученик Дирихле, а в широком смысле — и Римана, он дал ряд замечательных исследований в области алгебраических и абелевых фупкциГ), инвариантов, уравнений с частными производными и дифференциальной геометрии. [c.341]

Рассматриваются одномерные нелинейные колебания идеального газа в трубах. Учитывается зависимость наклона характеристик от возмущений параметров и возможность возникновения слабых скачков, но пренебрега-ется изменением в них энтропии и инвариантов Римана. Особое внимание уделяется случаям, когда можно не принимать во внимание взаимодействия волн разных семейств. В качестве примера анализируются околорезонанс-ные колебания, для которых нелинейные эффекты и образование скачков особенно важны. [c.285]

Рассмотрим одномерные колебания в трубе при малых скоростях и почти однородных прочих параметрах. Однородным параметрам припишем нулевой индекс. Для скорости газа и и скорости звука а примем, что и = аоеи и а = ао(1 + ва ), где е характеризует отклонения г и а от г o = О и от ао и выбрано так, что max( г , а ) = 1. Параметр е необязательно совпадает с амплитудами внешних воздействий, которые могут быть заданы на левом (х = 0) или на правом (х = X) концах трубы. В трубе могут возникать скачки, амплитуда которых не превышает 2г, а приращение энтропии в каждом скачке — 0 е ). Принимая во внимание сказанное выше, будем пренебрегать этим ростом, считая энтропию газа не отличающейся от ее среднего значения. Тогда течение в каждой точке полностью определится значениями и и а или их функциями — инвариантами Римана J . Для совершенного газа = и 2а/(>с — 1), где >с — показатель адиабаты. [c.286]

Для последующего анализа удобно использовать функции i (г , р, s) и L(г , р, s), которые при г/ = 0 и sq = onst сохраняются соответственно вдоль с+- и С -характеристик, т.е. являются в этом случае инвариантами ( инвариантами Римана [5, 6]) характеристической системы (1.7). В общем случае R и L введем равенствами [c.315]

Представим, что свободная граница сжатой до давления Ро неподвижной среды начинает двигаться с постоянной скоростью 11тр влево. Возникающее течение будет представлять собой простую центрированную волну разрежения (рис. 3.4). Область 1 есть об- ласть покоя, область 3 — область постоянного течения, поскольку в ней оба инварианта Римана постоянны. В области 2 течение обладает свойствами простой центрированной волны разрежения. В -этой Рбласти в силу равенства нулю ф( 7) уравнение а-характеристик имеет вид [c.92]

Теоретический интерес к изучению волновых процессов в газах привел к открытию в середине XIX в. ударных волн. Нарушение симметрии акустических волн большой амплитуды отмечалось еще Стоксом (1848), который занялся впервые и вопросом о скачках плотности в потоке (1851). Вплотную к уравнениям на скачках подошел С. Ирншоу , но первое математическое gQ обоснование возможности возникновения скачков в потоке принадлежит Б. Риману , который обнаружил существование двух семейств волн (инварианты Римана) и использовал условия сохранения массы и количества движения на скачке. Однако Риман допустил олибку, приняв для газа при прохождении ударной волны адиабатическую зависимость р(р), что повлекло нарушение условия сохранения энергии на скачке. Вполне строгий (хотя и не очень четко изложенный) термодинамический подход к из5П1ению ударных волн дан В. Ренкином который получил полное решение задачи о скачках. В его работе отсутствуют, впрочем, некоторые важные следствия, которые, по сути дела, вытекают из его рассуждений и уравнений. Так, например, он ссылается на устное указание В. Томсона о неустойчивости ударной волны разрежения и не замечает, что из наложенного им условия баланса тепла в ударной волне следует при помощи очевидных термодинамических соображений невозможность существования ударных волн разрежения — факт, окончательно установленный только в 1904—1905 гг< Г. Цем-пленом. [c.80]

О, траектории изменения состояния вдоль характеристик в координатах р, и отклоняются от инвариантов Римана р = Pq + onst в сторону повышения давления. [c.164]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...