Инварианты Римана. Волны в газе

Инварианты Римана. Волны в газе [c.66]

Постановка граничных условий осуществлялась в соответствии с достаточно общим подходом, разработанным в [18]. Слабо возмущенное нестационарное течение газа в окрестности малого элемента границы области можно рассматривать как комбинацию трех волн, распространяющихся со скоростями <7 , qn + a, qn—а, где qn — проекция вектора скорости на внешнюю нормаль к границе, а — скорость звука. Количество условий, выставляемых на элементе границы, должно быть равно числу параметров, определяющих те одномерные волны, которые распространяются от данного участка границы внутрь расчетной области. При этом следует помнить, что каждая из волн, распространяющихся со скоростями <7п а, характеризуется распределением одного параметра, например давления или соответствующего инварианта Римана, а волна, скорость распространения которой совпадает со скоростью потока 9 , определяется распределением двух величин — [c.129]

Обратимся теперь к более детальному рассмотрению вопроса об одномерном распространении в идеальном газе возмущений конечной интенсивности. Покажем, что, подобно тому как это имело место в случае малых возмущений, распространение конечных по величине возмущений также может происходить при помощи простых волн ( 22), т. е. волн, бегущих с постоянной скоростью и несущих с собой постоянные значения параметров газа. Такого рода распространение возмущений конечной интенсивности будет иметь место, если один из инвариантов Римана постоянен во всей области течения, для чего, очевидно, достаточно, чтобы этот инвариант был постоянным в начальный момент времени (при 1 = 0 вдоль оси Ох). Возможность такого рода допущения будет вскоре пояснена и проиллюстрирована примером. [c.146]

Здесь рассмотрена простая волна, бегущая в одном направлении с движением газа. Разумеется, можно рассмотреть и простую волну, движущуюся в противоположном направлении, нужно только считать константой вместо (8.25) другой инвариант Римана. [c.64]

Пусть движение первоначально покоившегося однородного газа вызывается движением поршня на левой границе области, занятой газом. Если при этом возникающие в потоке ударные волны можно считать слабыми, то инвариант Римана и—v(a) остается неизменным при переходе через них и, следовательно, во всем потоке выполняются соотношения [c.198]

При конкретных расчетах, связанных с распадами произвольных разрывов, наряду с р, У-диаграммами очень удобны так называемые р, м-диаграммы, на которых по осям отложены давления р и скорости газов и в лабораторной системе координат. Ударную адиабату газа Рн(У) можно представить в виде зависимости давления за фронтом волны от скачка скорости газа, т. е. от скорости движения сжатого гг за относительно невозмущенного. Аналогичным образом, в волне разрежения давление однозначно связано со скоростью условием постоянства инварианта Римана (см. 10, 11). Удобство р, м-диаграмм в задаче о распаде разрыва связано с тем, что в конечном состоянии давление и скорость обоих газов одинаковы, т. е. конечные состояния изображаются одной и той же точкой на р, м-диаграммах. [c.82]

Исходные уравнения (146). Инварианты Римана (147). Простые волны (149). Теорема о примыкании (151). Центрированные простые волны (152). Задача об истечении газа в вакуум (154), Волны сжатия и [c.4]

Возникновение градиентной катастрофы в неравномерных движениях газа является скорее правилом, чем исключением. Как было выяснено в предыдущем параграфе, для ее предотвращения должны выполняться специальные ограничения, связанные со знаками градиентов инвариантов Римана. Так или иначе, в момент наступления градиентной катастрофы основные величины становятся разрывными и при дальнейшем продолжении движения оно будет, вообще говоря, содержать сильные разрывы. Тем самым возникает необходимость изучить и описать обобщенные движения газа (см. определение 4.1), определяемые разрывными начальными данными. В ее полном объеме эта большая задача газовой динамики на решена до настоящего времени даже для одномерных движении с плоскими волнами. [c.166]

Приведенные результаты дают возможность утверждать, что если к фронту скачка подходят волны сжатия, то они приносят на скачок новые значения параметров, определяемые через инварианты Римана. Это справедливо для околозвуковых течений газа и жидкости. При существенно сверхзвуковых течениях это утверждение несправедливо. В этой связи представляет интерес задача о мгновенном и полном торможении стационарного потока газа и жидкости в предположении, что возникает ударная волна, фронт которой распространяется против потока со скоростью О (рис. 3.5), и в области между первоначально открытым концом трубы и фронтом ударной волны газ (жидкость) покоится. Для сравнения приводятся основные расчетные соотношения и числовые данные для параметров торможения, основанные на использовании инвариантов Римана. [c.122]

Интегрирование уравнения (117,2) дает соотношения вида (у 6) = onst, /-(и, 0) — onst. Функции /+ и I- представляют собой величи Ы, остающиеся постоянными соответственно вдоль характеристик С+ и (инварианты Римана). Для политропного газа уравнение (117,2) может быть проинтегрировано в явном виде. Нет, однако, необходимости производить эти вычисления заново, так как результат может быть написан заранее с помощью формул (115,3—4). Действительно, согласно общим свойствам простых волн (см. 104) зависимость у от 0 в простой волне как раз и определяется условием постоянства во всем про- [c.612]

Рассматриваются одномерные нелинейные колебания идеального газа в трубах. Учитывается зависимость наклона характеристик от возмущений параметров и возможность возникновения слабых скачков, но пренебрега-ется изменением в них энтропии и инвариантов Римана. Особое внимание уделяется случаям, когда можно не принимать во внимание взаимодействия волн разных семейств. В качестве примера анализируются околорезонанс-ные колебания, для которых нелинейные эффекты и образование скачков особенно важны. [c.285]

Теоретический интерес к изучению волновых процессов в газах привел к открытию в середине XIX в. ударных волн. Нарушение симметрии акустических волн большой амплитуды отмечалось еще Стоксом (1848), который занялся впервые и вопросом о скачках плотности в потоке (1851). Вплотную к уравнениям на скачках подошел С. Ирншоу , но первое математическое gQ обоснование возможности возникновения скачков в потоке принадлежит Б. Риману , который обнаружил существование двух семейств волн (инварианты Римана) и использовал условия сохранения массы и количества движения на скачке. Однако Риман допустил олибку, приняв для газа при прохождении ударной волны адиабатическую зависимость р(р), что повлекло нарушение условия сохранения энергии на скачке. Вполне строгий (хотя и не очень четко изложенный) термодинамический подход к из5П1ению ударных волн дан В. Ренкином который получил полное решение задачи о скачках. В его работе отсутствуют, впрочем, некоторые важные следствия, которые, по сути дела, вытекают из его рассуждений и уравнений. Так, например, он ссылается на устное указание В. Томсона о неустойчивости ударной волны разрежения и не замечает, что из наложенного им условия баланса тепла в ударной волне следует при помощи очевидных термодинамических соображений невозможность существования ударных волн разрежения — факт, окончательно установленный только в 1904—1905 гг< Г. Цем-пленом. [c.80]

Исследуется устойчивость течения невязкого и нетенлонроводного газа в канале с замыкающим скачком уплотнения. Граничное условие на выходе из канала задается в виде линейной связи между нестационарным возмущением левого инварианта Римана, характеризующего отраженную акустическую волну, и возмущениями правого инварианта Римана и энтропийной функции, приходящими к сечению выхода со стороны канала. Строится область устойчивости в плоскости коэффициентов отражения. Анализ основывается на методе В-разбиения"[1, 2] и на использовании условий устойчивости, полученных в [3] для случая, когда один из коэффициентов отражения равен нулю. Исследование выполнено в квазицилиндрическом " приближении. [c.620]

Вернемся вновь к задаче о поршне. Пусть закон движения поршня задан в следующ,ей форме. Сначала, как и ранее, поршень начинает выдвигаться влево с нулевой скоростью в точке О, ускоряясь до некоторого значения скорости, меньшего максимальной, в точке В, после чего скорость поршня остается постоянной (рис. 2.8.3, а). Тогда ясно, что волна Римана будет лишь в области II между прямолинейными характеристиками ОА и ВС. К характеристике ВС слева примыкает зона III однородного состояния газа, движущегося со скоростью, равной скорости поршня. Это следует из краевого условия и (X, t)= и = onst, согласно которому в области III и второй инвариант Римана имеет постоянное значение. [c.181]

Из формулы (1.46) для инвариантов Римана, относящейся к случаю распространения по газу малых возмущений — акустических волн, видно, что если волна распространяется только в одну сторону, то один из инвариантов постоянен в пространстве и во времени. Так, если волна бежит направо и Ам х, t) — Ар (х, i)/Qo o = /1 ix щ -f-Со) t], то постоянен инвариант [c.33]

Покажем, что возможность существования волн, бегущих в одну сторону, не ограничивается предположением о малости амплитуды, причем и в общем случае бегуньей волны остается постоянным один из инвариантов Римана. Прежде всего укажем, как можно практически осуществить постоянство одного из инвариантов, например / . Если газ занимает безграничное пространство, то для этого достаточно задать начальные распределения и х, 0), с х, 0) таким образом, чтобы в начальный момент было / (х, 0) = onst. Поскольку это постоянное значение / переносится вдоль С -характеристик, выходящих из всех точек оси X, то п в последующие моменты времени инвариант / останется постоянным / (х, t) = onst. [c.33]

Простые волны. В терминах инвариантов Римана явно описываются простые волны как специальные типы рассматриваемых движений газа. Непосредственный перенос результатов 13 дает лишь следующую информацию о простой волне это такое движение, в котором основные величины зависят от одной функции а(х, t) — параметра простой волны, причем линии уровня а х, t) = onst являются прямыми и образуют семейство характеристик на плоскости R x,t). Однако здесь о простых волнах можно сказать больше. [c.149]

Отсюда видно, что на данном движении газа при с ф О тождественное равенство j = О возможно для трех типов движения. Если = О, то из (13) слсдуст, что также Г( = О, в силу чего инвариант г тождественно постоянен. По теореме 1 непостоянное движение этого типа есть простая г-волна. Аналогично, если = О, то непостоянное движение есть простая -волна. Наконец, если одновре.менно = О и а,- = О, то движение является постоянным. Эти выводы согласуются с тем, что область на плоскости событий, занятая простой г-волной, изображается на плоскости инвариантов Римана линией г = Го, область простой 1-волны — линией I = 1о, а область постоянного движения — одной точкой г, I) = го, /о)- За исключением этих особых случаев, преобразование (44) отображает область движения на некоторую область плоскости П (г,/), [c.161]

Рассмотрим, насколько справедливо при образовании скачка использовать инварианты Римана для простых волн. В плотныл средах до давлений в несколько сот бар изменение энтропии невелико, и распространение скачка можно считать в акустическом приближении (1.4). В этом случае изменение энтропии 5 в среде связано с изменением основных параметров жидкости (газа) формулой (1) [c.121]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...