Метод конечных элементов условия сходимости МКЭ

Четвертое направление объединяет работы, в которых используются различные приближенные методы. Их можно разделить на пять групп. В первую входят исследования с применением конечно-разностных методов в их различной трактовке. Так, например, в [4, 31, 33, 145, 169, 171, 182, 235] исходные дифференциальные уравнения заменяются разностными с последующим решением полученной системы алгебраических уравнений на -ЭЦВМ. В ряде случаев целесообразно предварительно свести задачу к обыкновенному дифференциальному уравнению, которое затем решается численно [53, 57]. Возможно также использование методов конечных элементов [133] и коллокаций [8, 104, 105]. Здесь необходимо отметить, что, кроме изучения сходимости этих методов, следует иметь в виду устойчивость вычислительного процесса [6]. Как показывают последние исследования, это условие является весьма существенным при реализации численных методов на ЭЦВМ. [c.42]

Метод конечных элементов, в котором используются треугольные элементы с постоянными напряжениями, применен для исследования квадратной пластинки с круговым вырезом. Для проведения упругопластического анализа применяется метод начальных напряжений [З], в котором используется критерий Мизеса и предполагается отсутствие упрочнения. Итерации на каждом этапе приращения нагрузки продолжаются до тех пор, пока напряжения во всех элементах, на которые разбита поверхность пластинки, не отличаются друг от друга в пределах 0,5 %. Разрушающая нагрузка для пластинки определяется из условия отсутствия сходимости процесса при проведении 20 итераций. [c.220]

Чем больше степеней свободы имеет система, тем точнее будет приближенное решение, которое в пределе стремится к точному, соответствующему истинному равновесию. Таким образом, теперь можно сформулировать необходимые условия сходимости метода конечных элементов. Обсуждение этих условий перенесем, однако, в следующий раздел. [c.37]

Эти результаты по аппроксимации приводят к ожидаемым скоростям сходимости метода конечных элементов при условии, что производная W обладает конечной энергией наклоны аппроксимируются с ошибкой 0(/г - ), энергия деформации с ошибкой и перемещение и — u с ошибкой О (/г ). Так [c.79]

Это как раз задача о закрепленной пластине с v = 1. Таким образом, предельная функция не зависит от коэффициента Пуассона, входяш его в краевые условия. Сходимость есть, но почти всегда к неверному решению. Соответствующие трудности для расчетов методом конечных элементов представлены в [Р1] и обсуждаются в [Б 10]. С другой стороны, мы предчувствуем успех изопараметрического метода, если аппроксимация границы Г по крайней мере кус очно квадратична в этом случае кривизна границы сходится. Если же предположить, что главное условие и = 0 заменяется в граничных узлах условием Ф = d /dt = О, использовать пространство Z3 (см. разд. 1.9) и взять производную d/dt вдоль истинной границы Г, то сходимость можно ожидать даже на многоугольнике. В таком изложении, однако, требуемой теории не существует. [c.227]

В главе 6 на конкретных примерах показаны возможные пути обобщения результатов для нелинейных уравнений и систем. Два первых параграфа посвящены изложению общих результатов по сходимости метода конечных элементов для нелинейных задач с операторами монотонного типа и решению двух типичных нелинейных задач, распространенных в приложениях, с помощью многосеточных итерационных алгоритмов. Решение плоской задачи упругости демонстрирует возможность обобщения построенных алгоритмов и их обоснования для эллиптических систем зфавнений. Среди многих известных методов дискретизации бигармонического уравнения рассмотрена смешанная формулировка метода конечных элементов, приводящая к системе двух уравнений Пуассона с зацепленными краевыми условиями. В итоге обобщенная формулировка содержит только первые производные и отпадает необходимость использования сложных базисных функций из класса С (И ). Смешанная формулировка использована также для дискретизации стационарных задач Стокса и Навье — Стокса. Здесь применялись комбинации простых конечных элементов — линейные для скоростей и постоянные для давления. [c.12]

Использование конечных элементов класса С позволяет, очевидно, обеспечить непрерывность интерполяций и их первых производных при переходе через границы областей Т как будет показано позже, это условие является одним из достаточных условий, обеспечивающих сходимость метода в задачах для самосопряженных операторов четвертого порядка. [c.175]

В главе 3 кратко излагаются вопросы сходимости приближенных решений метода Бубнова — Галёркина в следующей последовательности аппроксимирующие свойства конечных элементов, условия сходимости приближенных решений, выбор экономичных кубатурных формул, способы аппроксимации границы и главных краевых условий, повьппение точности приближенных решений на основе экстраполяции Ричардсона с разных сеток. [c.11]

С использованием приведенньк выше полиномов можно построить интерполирующие функции, которые обеспечат условия сходимости решения по методу конечных элементов для краевых задач, описываемых дифференциальными уравнениями второго порядка. В отдельных случаях полином третьей степени может обеспечить сходимость решения и для краевых задач, описываемых дифференциальными уравнениями четвертого порядка. [c.63]

Паттерсон [17], используя технику гильбертовых пространств, показал, что критерий полноты и критерик слабой согласованности являются достаточными условиями сходимости вариационного метода конечных элементов. Эта согласованность, т. е. межэлементный критерий, требует того, чтобы разность или разрывность в й при переходе через границу между элементами стремилась к нулю быстрее, чем диаметр наибольшей подобласти, [c.174]

Очевидно хакже, что критерии I и II становятся достаточными условиями сходимости для других методов конечных элементов, таких, как метод взвешенных невязок н метод наименьших квадратов, если термин функционал в формулировках этих критериев заменить иа определяющий, или ключевой, интеграл.-Как было подчеркнуто Зенкевичем [18], такой интеграл получается во всех методах конечных элементов из определяющего уравнения задачи с помощью соответствующей процедуры. [c.175]

Заметим, что сходимость имеет место тогда и только тогда, когда к> т другими словами, условие постоянной деформации таково, что элементы должны воспроизводить точно любое решение, являюш,ееся полиномом степени т. Это требование для обеспечения сходимости постепенно появилось в технической литературе, оно возникло отчасти интуитивно, а отчасти из-за вычислительных неудач, связанных с нарушением этого правила (особенно заметных при изгибе пластины в бигармони-ческом случае т — 2, когда пространство S не содержит член ху). Мы дадим строгое доказательство (насколько нам известно, первое) необходимости этого условия для сходимости в случае равномерной сетки. Такая теорема естественно соответствует абстрактной теории метода конечных элементов, до-пускз1 ей наиболее общие пробные функции на равномерных разбиениях. [c.129]

Эти условия вынуждают полиномы в методе конечных эле-менто.в сочленяться в узлах. Для ог типичны модифицированные эрмитовы кубические полиномы непрерывность вращения остается неизменной, а функция может терпеть разрыв, связанный с разрывом VI. Очевидно, что для задачи о дуге такие пробные функции неприемлемы, а так как энергия деформации тоже изменяется при отбрасывании г, то вопрос о сходимости остается открытым. Для случая дуги окружности и правильного многоугольника отсутствие сходимости было доказано Вальцем, Фул-, тоном и Цирусом (Вторая Райт-Паттерсонская конференция). Уравнения-метода конечных элементов оказались просто разностными, но согласованными с неверным дифференциальным уравнением. Главные члены были правильными (радиус кривизны проявился через угол 0 в условии непрерывности рамки), но для отдельно избранного элемента появились также нежелательные члены нулевого порядка по Л ). Это наводит на мысль [c.154]

U) Конечный элемент должен, конечно, соответствовать решаемой задаче. Как было показа1Ю для конформных методов конечных элементов, это требует использования конечных элементов класса i или Кроме тою, мы увидим, что математическое доказательство сходимости требует (кроме всего прочего) включений P- (K) zPk, для задач второго порядка и включений Р К)с Рк , для задач четвертого порядка. Между прочим, эти условия были хорошо известны инженерам, открывшим их эмпирически задолго до получения их математиками. [c.104]

Это пример кусочного тестирования Лйронса, которое впервые (эмпирически) было рассмотроно Б. Айронсом как условие для получения сходимости неконформного метода конечных элементов. Дальнейнше подробности, относящиеся к кусочному тестированию, см. у Стренга, Фикса [2, разд. 4.2]. [c.221]

В ранней литературе по методу конечных элвмлгчов высказывалось предположение, что для сходимости необходимо, чтобы функция перемещений учитывала движение жесткого тела в равномерную деформацию на элементе. Из вышеуказанного и разд. 8.3 следует, что этн условия заключаются в критерии полноты. Важно заметить, однако, что в приведенных выше рассуждениях, предполагалось использование прямолинейных координат. Еслн полиномиальные элементы выражаются в терминах криволинейных координат, что было бы естественным, например, для криволинейных, пластин и оболочек, то константы и линейные члены уже ие соответствуют движению жесткого тела и равномерным деформациям [10, 11]. [c.179]

Если учитывать конечную проводимость элементов решетки с помощью граничных условий Леонтовича, то, как и в случае идеально проводящих элементов, методы, развитые в [235, 25], позволяют свести задачу к решению бесконечной системы линейных алгебраических уравнений, свойства которой обеспечивают экспоненциально малую погрешность метода редукции, а для редкой решетки — сходимость метода последовательных приближений. Последний в длинноволновой области позволяет получить (е — относительная диэлектрическая проницаемость элементов решетки) [c.65]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...