Связь с интегральным уравнением Фредгольма

Связь с интегральным уравнением Фредгольма [c.352]

Таким образом, поставленная задача о восстановлении напряженно-деформированного состояния упругого тела по известному вектору перемещений на части поверхности сводится к решению системы интегральных уравнений Фредгольма первого рода (3.9). Исходная информация, необходимая для однозначного нахождения неизвестного вектора реакций или нагрузки, в общем случае должна включать в себя данные о всех трех компонентах вектора перемещений на поверхности измерений. Но во многих случаях эффективному измерению поддаются лишь отдельные компоненты вектора перемещений. Например, при тензометрических исследованиях натурных конструкций или их моделей находят величины относительных удлинений (деформаций) в точках поверхности, что позволяет после предварительной обработки дискретных данных измерений (интерполирование, сглаживание и т.п.), путем интегрирования эпюр деформаций построить в локальной системе координат поверхности эпюры компонент вектора перемещений, касательных к поверхности измерений. В то же время нормальная к поверхности компонента вектора перемещений не может быть определена тензометрическими методами. В таких случаях определение неизвестного вектора напряжений может быть осуществлено по двум или даже одной компоненте вектора перемещений, при этом искомый вектор напряжений может восстанавливаться не однозначно. Это связано с возможностью появления нетривиальных решений для неполной системы однородных уравнений (3.9). В некоторых случаях характер нетривиальных решений можно предсказать. Выбор того или иного решения может быть осуществлен на основании некоторой дополнительной информации (например, информации о величине искомого вектора в какой-либо одной точке) или исходя- из общих представлений о напряженном состоянии исследуемой конструкции. [c.66]

Решение системы (1) — (12) связано с большими трудностями. Поэтому были рассмотрены различные возможности численного решения задачи. Применение операционного исчисления Лапласа по переменной времени приводит к системе интегральных или (при несколько иной форме решения) интегро-дифференциальных уравнений. Ядра этих уравнений представляют собой решение уравнений теплопроводности и, строго говоря, являются бесконечными рядами по собственным значениям данной краевой задачи. В этих системах остаются две независимые переменные (время и высота в насадке), т. е. имеются двойные интегралы, причем и по Ро и по 2 как с переменным, так и с постоянным верхним пределом получается своеобразная смесь интегральных уравнений Фредгольма и Вольтерра. Поэтому известные аналитические методы, используемые для решения уравнений типа Фредгольма или Вольтерра в отдельности, в данном случае неприменимы. Конечно, полученные интегральные (интегро-дифференциальные) уравнения могут быть решены одним из известных методов численно, тем более, что численные методы для решения интегральных уравнений хорошо исследованы и их сходимость проверена. [c.338]

Поступая при решении этой задачи аналогично предыдущему, убедимся, что в формулах (7) функции (м) = В2 1л) = Бо(м) = О Для определения функции А ц), а следовательно, и 4,(/х), 5,(/х) получим интегральное уравнение Фредгольма второго рода относи тельно вспомогательной функции Фз(i) вида (19) при п = 3 с уд военной правой частью и формулу (20), где 1 з(у, а)= 1(2/, 2а) д и, а) = р,(и, 2а). Связь между функциями Фз(t) и Ао(м) пол ностью совпадает со связью между функциями Фl(i) и Ад(/л (см. (18)). [c.151]

Большой интерес в настоящее время представляет возможность применения метода вихревого слоя, к профилям конечной толщины.. При этом вихри распределяются по поверхности профиля и задача решается в точной постановке. Общая теория вопроса является непосредственным приложением математической теории потенциала задача сводится к построению подходящих численных методов расчета. Наибольшее значение метод вихревого слоя приобрел в связи с новыми возможностями, которые дают ЭВМ. В частности, Г. А. Павловец (1966) разработал схему численного расчета обтекания многосвязных контуров произвольной формы. В этой работе метод вихревого слоя применяется в интерпретации М. А. Лаврентьева (1932), когда задача сводится к интегральному уравнению Фредгольма второго рода, выражающему обращение в нуль касательных скоростей потока с внутренней стороны замкнутого контура. При построении численного метода для отыскания неизвестного распределения плотности вихревого слоя на всех контурах используется итерационный процесс решения системы интегральных уравнений Фредгольма второго рода. Численный метод дает реальную возможность рассчитывать поле течения для таких сложных систем, как толстый профиль со щелевыми закрылками и предкрылками, механизированный профиль вблизи земли и т. п. [c.88]

Аналитическое решение этой системы уравнений связано с определенными математическими трудностями. Поэтому решение следует искать численными методами. Для этого преобразуем эти уравнения в интегральные уравнения Фредгольма второго рода. Для этого введем новую функцию [c.46]

Система интегральных уравнений Фредгольма второго рода (2.24) может быть решена численно на ЭВМ с использованием одного из известных численных методов [53, 160, 251 и др.]. функция Л (С) связана с А ( ) соотношением [c.49]

В то время как главные свойства дифференциальных уравнений были хорошо уяснены в девятнадцатом веке, первое строгое исследование интегральных уравнений классических видов было опубликовано Фредгольмом только в 1905 г. С тех пор они интенсивно изучались, особенно в связи с теорией поля, и имеется много учебников, излагающих эти результаты [3, 4] впрочем, нам нет необхо-ходимости часто обращаться к ним. [c.14]

Применение метода интегральных уравнений, или метода потенциала, для получения решения некоторых дифференциальных уравнений в частных производных уходит своими корнями в классический анализ. Многие обозначения и терминология в этой области связаны с развитыми в девятнадцатом веке представлениями для сил притяжения в ньютоновских гравитационных полях. Параллельно разрабатывались методы решения задач о нагруженных упругих телах. Для частных конфигураций были найдены функции Грина, позволяющие находить явные решения интегральных уравнений. Вслед за классической работой Фредгольма появилось большое число исследований по теории потенциала, посвященных построению всевозможных доказательств существования и единственности применительно к конкретным частным типам математических задач. [c.9]

Определение плотности геплового потока на границе тела ( или коэффициента теплообмена ) можно свести к некорректной задаче решения интегрального уравнения Фредгольма I рода. В обратных задачах обоих типов прямые методы веприменимы, в связи с чем использован метод пробных решений, дающий в некоторых случаях приемлемые по точности результаты [ 1J. Степень "устойчивости" метода исследована в процессе численного анализа вяИяния ошибок эксперимента на точность решения обратных задач. [c.342]

Проводя стандартную процедуру варьирования функционала (6.314) на полях (6.316), можно установить связь оптимальной весовой функции р, от двух-и трехточечных корреляционных моментов поля 2. Эта связь имеет вид интегрального уравнения Фредгольма первого рода и в принципе позволяет при известных корреляциях найти оптимум энергии, а с ним н оценку для а. К сожалению, отсутствие инс рмации о трехточечных корреляциях не позволяет реализовать этот путь до конца. Выход заключается в дополнительном приближении, состоящем в том, что неравенстю (6.315) усиливается, если провести замену <гИ > = <к >. Тогда [c.177]

Р. Я. Ивановой [23] была рассмотрена задача о качении вязкоупругого цилиндра по основанию из того же материала. Задача решалась в плоской постановке при исходных физических интегральных зависимостях наследственного типа. Предполагалось, что движение катка начинается в момент времени —оо и продолжается с постоянной скоростью объемное последер вие отсутствует. Путем привлечения принципа Вольтерра задача решалась в рамках теории упругости с помощью метода Н. И. Мусхелишвили [38]. Полученные при этом два сингулярных уравнения типа Фредгольма содержат реологический оператор, который выражается через резольвенту ядра наследственности при сдвиге. После введения подвижной системы координат и замены дуги окружности катка дугой параболы одно из этих интегральных уравнений, которое соответствует мнимой части соотношения Мусхелишвили, удалось привести к форме, даюшей возможность решить его по методу Карлемана. Для конкретности резольвента ядра наследственности была взята в внде совокупности простых экспоненциальных ядер. Даже в этом случае получение численного результата было связано со значительными вычислительными трудностями. Решение выписано в квадратурах вычисление их осуществлялось приближенно применительно к материалам, обладающим достаточно большим временем релаксации. [c.403]

Большое число новых важных понятий и соображений было внесено в теорию рассяния в связи с исследованием дифференциальных операторов. В одномерном случае разложение по собственным функциям непрерывного спектра было построено еще в классической статье Г.Вейля [138]. Принципиально труднее многомерный случай. Здесь решающий прорыв произошел уже в пионерской работе А.Я.Повзнера [73. В ней установлено существование решений задачи рассеяния для уравнения Шредингера. Построение таких решений основывается в [73] на предварительном исследовании с помощью альтернативы Фредгольма интегрального уравнения для резольвенты оператора Шредингера. Это позволило отказаться от принятого в [97] условия малости возмущения. В [74 [c.401]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...