Замечания о теории возмущений

Проблема оптимальной фильтрации, будучи по своей первоначальной формулировке чисто информационной проблемой о наилучшем наблюдении сигналов, в дальнейшем с развитием теории регулирования стала играть одну из главных ролей при решении задач синтеза-оптимальных управляемых систем (ср. замечание на стр. 232). В советской литературе этим вопросам посвящено большое количество работ, с библиографией которых можно познакомиться в упомянутом только что сборнике. За последнее время выяснились многие интересные связи между постановкой проблем фильтрации и другими проблемами оптимального управления. Были исследованы задачи о синтезе оптимальных систем и связанные с ними задачи об оптимальной обработке случайных сигналов для ситуаций, типичных, в частности, в проблемах управления механическим движением. Были исследованы близкие проблемы, связанные со статистической надежностью управления объектами. Наконец, были изучены нелинейные системы, находящиеся под воздействием случайных возмущений. Комбинированием методов гармонической и статистической линеаризации были построены схемы приближенного исследования таких нелинейных систем. Были установлены основные качественные эффекты, характерные для типичных ситуаций. [c.233]

О Достаточно сложить представления (4) для 1п Вн /Но( ) и Ы/ я/яД ) и применить теорему умножения определителей возмущения (1.2.). Кроме того, надо учесть (см. замечание 3) единственность [c.340]

В этой главе рассмотрены вопросы численного интегрирования линейных и нелинейных краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений, возникающих при исследовании прочности, устойчивости, свободных колебаний анизотропных слоистых композитных оболочек вращения после разделения угловой и меридиональной переменных. В предыдущих главах было показано, что корректный расчет таких оболочек и пластин в большинстве случаев требует привлечения неклассических дифференциальных уравнений повышенного порядка. Там же (см. параграфы 4.1, 4.4, 5.2, 6.2) отмечалась важная особенность таких уравнений — существование быстропеременных решений экспоненциального типа, имеющих ярко выраженный характер погранслоев и существенных лишь в малых окрестностях краевых закреплений, точек приложения сосредоточенных сил, мест резкого изменения геометрии конструкции и т.д. Стандартные схемы численного интегрирования краевых задач на таком классе дифференциальных уравнений малоэффективны — попытки их применения встречают принципиальные трудности, характер и формы проявления которых подробно обсуждались в параграфе 4.1 (см. также [136]). Добавим к этому замечание о закономерном характере данного явления — существование решений экспоненциального типа с чрезвычайно большим (по сравнению с длиной промежутка интегрирования) показателем изменяемости в неклассических математических моделях деформирования тонкостенных слоистых систем, дифференциальными уравнениями которых учитываются поперечные сдвиговые деформации, обжатие нормали и другие второстепенные" факторы, естественно и необходимо. Такие решения описывают краевые эффекты напряженного состояния, связанные с учетом этих факторов, и существуют не только у неклассических уравнений, установленных в настоящей монографии, но и в других вариантах неклассических уравнений повышенного порядка, что уже было показано (см. параграф 4.1) на конкретном примере. Болес того, подобные явления наблюдаются не только в теории оболочек, но и в других математических моделях механики и физики. Известным классическим примером такого рода может служить течение Навье—Стокса — при малой вязкости жидкости, как впервые было показано Л. Прандтлем (см., например, [330]), вблизи обтекаемого тела возникает зона пограничного слоя. Такие задачи согласно известной [56, 70 и др.] классификации относятся к классу сингулярно возмущенных, т.е. содержащих малый параметр и претерпевающих понижение порядка, если положить параметр равным нулю. Проблема сингулярных возмущений привлекала внимание многих авторов [56, 70, 173, 190 и др.]. Последние десятилетия отмечены значительными достижениями в ее разработке — в создании и обосновании методов асимптотического интегрирования для различных [c.195]

Заметим такя е, что зависимость коэффициента поглощения от амплитуды звука в проведенном рассмотрении не учитывается, т. е. рассматривается линейная теория поглощения. По этому поводу следует сделать следующее замечание. Сам по себе трехфононный процесс представляет собой (так же, как и его феноменологическая трактовка в теории упругости, основанная на введении в рассмотрение модулей третьего порядка) нелинейное явление. Однако метод оассмотрения задачи как при 2x 1, так и при От< 1 ведется в первом порядке теории возмущений, что не дает возможности найти зависимость а от амплитуды исходного звукового сигнала (см. по этому поводу [101). По этой причине настоящая глава предшествует главе о нелинейных явлениях при распространении волн конечной амплитуды в твердых телах (гл. 11), где, как и в гл. 3, для простого случая изотропной среды вопрос о нелинейном коэффициенте поглощения обсуждается. [c.248]

Напомним сначала аргументы, заимствованные из теории возмущений. Результаты приложения III непосредственно применимы к интегралам Фейнмана ), причем предложение A.III.3.1 доказывает гипотезы А, В, в то время как доказательство гипотезы С получается из формулы (Dis 1) (к сожалению, в теории возмущений амплитуды, связанные с вершинами графов, заменяются на постоянные, что маскирует тонкости, о которых говорилось в заключительном замечании предыдущего параграфа). [c.24]

Замечание 3. Одна из наиболее известных сильно возмущенных задач, которой занимались многие выдающиеся математики прошлого,— это задача о движении Лупы. Дело в том, что та движение Луны сильно влияет притяжение со стороны Солнца, несмотря на то что расстояние Солнце — Луна примерно в 400 раз больнге расстояния Земля — Луна. Сильное возмущение в параметрах геоцептрической орбиты Луны, порождаемое Солнцем, объясняется большой массой последнего (масса Солнца примерно в 330 000 раз больше массы Земли). Более столетня не удавалось построить такую теорию движения Луны, которая находилась бы в хорошем согласии с наблюдениями на относительно большом интервале времени (около 100—200 оборотов Луны). На математическом языке это означает, что не удавалось построить приближенное ренюяие дифференциальных уравнений движения Луны, пригодное для описания ее реального движения на большом (долгом) периоде. [c.60]

Предварительные замечания. Теоретические исследования, имевшие целью объяснить описанное выше явление перехода ламинарного течения в турбулентное, начались уже в прошлом столетии, но к успеху привели только в 1930 г. В основе всех этих исследований лежит представление, чтоI ламинарное течение подвергается воздействию некоторых малых возмущений, в случае течения в трубе связанных, например, с условиями при входе в трубу, а в случае пограничного слоя на обтекаемом теле — с шероховатостью стенки или с неравномерностью внешнего течения. Каждая теория стремилась проследить за развитием во времени возмущений, наложенных на основное течение, причем форма этих возмущений особо определялась в каждом отдельном случае. Решающим вопросом, подлежавшим решению, было установление того, затухают или нарастают возмущения с течением времени. Затухание возмущений со временем должно было означать, что основное течение устойчиво наоборот, нарастание возмущений со временем должно было означать, что основное течение неустойчиво и поэтому возможен его переход в турбулентное течение. Таким путем пытались создать теорию устойчивости ламинарного течения, которая позволяла бы теоретически вычислить критическое число Рейнольдса для заданного ламинарного течения. Предпосылкой для создания такой теории служило впервые высказанное О. Рейнольдсом следующее предположение ламинарное течение, представляя собой решение гидродинамических дифференциальных уравнений и являясь поэтому всегда возможным течением, после перехода через определенную границу, а именно после достижения числом Рейнольдса критического значения, становится неустойчивым и переходит в турбулентное течение. [c.422]

Последнее замечание относится к следующему вопросу. Может случиться, II это будет наиболее общим случаем, что движение интересующей нас механической системы может быть рассматриваемо только в течение некоторого промежутка времени, начиная от начального момента /о до некоторого конечного момента i > /о, за пределами которого рассматривать задачу по каким-либо причинам не имеет смысла или не представляет интереса. Определения теории устойчивости в смысле Ляпунова, равно как и определение устойчивости при постоянно действующих возмущениях, и в этих случаях не утрачивают значения. Только в определениях фразу .. . для всех значений > /о. .. следует за менить словами ... для всех значений I в промежутке ( 0, t). .. . [c.74]

С. Замечания по поводу теории толстой пластинки. Изложенная в с 299—312 теория относится к тому же типу, что и теория Сен-Венана (гл. XV) изгиба консольной балки под действием груза на конце ее или обобщение последней на случай равномерной нагрузки (гл. XVI). Обе оии развиваются из частного предположения относительно характера напряженного состояния отсюда, как следствие, должно быть принято, что силы, действующие по краям пластинки и осуществляющие граничные условия опертой или закрепленной пластиики, определенным образом распределены по боковой поверхности пластинки, например касательное напряжение типа меняется на ней от одного основания пластинки до другого по параболическому закону. Конечно, едва ли действительно действующие на края пластинки силы будут распределены таким образом, но вместе с тем мало вероятно, чтобы этот дефект теории имел большое значение, так как различия между действительными и вычисленными смещениями будут иметь характер местных возмущений. Среди следствий теории, связанных с распределением сил иа краях, отметим возможность наличия прогиба, аналогичного тому, который в теории балкн называют дополнительным прогибом, возникающим от касательных напряжений соответствующий пример рассмотрен в ЗЮС. [c.509]

Взодные замечания. Взаимные возмущения в движении небесных тел были одним из тех вопросов, которому со времен Ньютона посвятили очень много внимания многие великие математики. Не будем говорить о том, что проблема очень трудна и что было изобретено много методов для ее решения. Так как не удалось получить общих решений проблемы, то явилась необходимость изучить специальные классы возмущений при помощи особых методов. Оказалось удобным разделить случаи, возникающие в солнечной системе, на три главных класса а) теория Луны и спутников, Ь) взаимные возмущения планет и с возмущения комет планетами. Метод, который будет дан в этой главе, применим к теориям планет, и в соответствующих местах будет показано, почему ofi неприменим к другим случаям. В последней главе даны ссылки на теорию Луны, в особенности на работы Тиссерана и Броуна. В этой главе будут даны некоторые намеки также на метод вычисления возмущений комет. [c.320]

Этот критерий (играющий в частном случае г ) + ( ь ) == (0) большую роль в теории линейных вековых возмущений) также может быть доказан с помощью выбора матрицы С частного вида (6). Действительно, последнее замечание в (33 показывает, что достаточно доказать существование такой ортогональной матрицы аи ), для которой оба произведения (Ю1), (Ю2) представят диагональные матрицы, если только положить Ьи ) = (а ). Однако существование такой ортогональной матрицы (а ) вытекает, как известно, из предположения о том, что симметрически матрицы Гк ), хк ) коммутативны. [c.67]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...