ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Подмногообразия симплектических многообразий из "Особенности каустик и волновых фронтов " Подмногообразия евклидова или риманова многообразия различаются своей внутренней геометрией и своим положением в объемлющем пространстве (например, поверхность в евклидовом 3-пространстве имеет, помимо гауссовой, среднюю кривизну). В симплектическом случае ситуация проще внутренняя геометрия подмногообразия определяет (по меньшей мере локально) внешнюю геометрию. [c.12] Теорема (А.Вейнстейн [15]). Подмногообразие симплектического пространства определено, с точностью до симплектоморфизма некоторой своей окрестности, ограничением симплектической формы на касательные векторы к объемлющему пространству в точках этого подмногообразия. [c.13] Доказательство теоремы Гивенталя. Достаточно доказать, что для двух произвольных симплектических структур, совпадающих на ростке подмногообразия, одна может быть преобразована в другую диффеоморфизмом, сохраняющим росток. Мы докажем даже большее можно так выбрать этот диффеоморфизм, что он оставляет на месте каждую точку подмногообразия. [c.13] Начнём с линеаризованной проблемы ограничения симплектических структур на касательное пространство к подмногообразию в точке приложения ростка совпадают. [c.13] Лемма 1. Единственными симплектическими инвариантами подпространства линейного симплектического пространства (снабжённого невырожденной кососимметрической билинейной формой) являются его размерность и ранг ограничения на него симплектической формы. [c.13] Элементарное доказательство этой леммы из линейной алгебры оставляется читателю (доказательство аналогично доказательству соответствующего утверждения обычной евклидовой геометрии). [c.14] Лемма 2. Для любого гладкого однопараметрического семейства симплектических структур совпадающих на ростке подмногообразия, существует семейство локальных диффеоморфизмов, оставляющих инвариантными точки подмногообразия и переводящих и о в для любого Ь. [c.14] Теорема следует из лемм 1 и 2. Действительно, по лемме 1 можно выбрать диффеоморфизм, оставляющий инвариантными точки подмногообразия и переводящий вторую симплектическую структуру в первую в рассматриваемой точке. Пусть две структуры, совпадающие в рассматриваемой точке, обозначаются через шо я и 1. Тогда семейство ил = - г Ь[и 1 — и о) постоянно в рассматриваемой точке. Таким образом, формы О I 1, невырождены в рассматриваемой точке и, следовательно, определяют симплектические структуры в некоторой её окрестности. [c.14] Лемма 2, применённая к этому семейству, доставляет требуемую эквивалентность. [c.14] Форма /3 замкнута, следовательно локально /3 = (лемма Пуанкаре). [c.14] Пример 3. Все подмногообразия, на которых ограничения симплектической структуры объемлющего пространства имеют фиксированный, постоянный ранг, локально симплектоморфны. (Как локальную модель мы можем выбрать, скажем, координатную плоскость (Р1. Рг м г+в) модели Дарбу ранг кососимметрической формы всегда чётен, 2г.). [c.16] Действительно, косоортогональное дополнение к гиперплоскости одномерно и принадлежит этой гиперплоскости. То есть коранг ограничения симплектической структуры на гиперповерхность в любой точке равен 1. Следовательно коранг постоянен, и все гиперповерхности одинаковы . Таким же образом, одинаковы все кривые . [c.16] Пример 5. Рассмотрим типичную 2-мерную ориентированную поверхность в симплектическом многообразии (большей размерности). Ограничение симплектической структуры на поверхность есть 2-форма /г, где г — (некоторый) элемент площади и / — гладкая функция. [c.16] Ростки поверхности в точках, не принадлежащих линии / = О, сим-плектичны (пример 1). В точках линии вырождения / = О ограничение формы равно нулю. [c.16] Вернуться к основной статье