Сопряженные функции Грина

Применительно к рассмотренному примеру задачи нестационарной теплопроводности (1.37) сопряженная функция Грина [сопряженная температура 0+] имеет простое физическое толкование. Именно сопряженная температура (л , Х, т, ti) в точке Хо в момент времени то при Р = Ь(х—Xi)6(t—ti), т. е. при измерении температуры в точке Х] в момент времени xi, как раз и есть эта температура в точке Xi в момент времени Ть если в точке Хо действовал тепловой источник единичной мощности в момент времени то. [c.21]

Рис. 2.4. График сопряженной функции Грина в задаче для канала с твэлом и теплоносителем

Используя выражение (2.109) для сопряженной функции Грина, сразу же найдем [c.65]

Для определения поправки к температуре твэла из-за розетки> в коэффициенте теплоотдачи следует воспользоваться сопряженной функцией Грина, содержащей азимутальную зависимость (см. П. 4). Поправка ei(/-) для этого случая с помощью формулы (2.127) запишется в явном виде следующим образом [c.66]

Отметим также, что аналогичным образом можно вводить поправки к формулам теории возмущений и в других задачах, для которых известна сопряженная функция Грина. [c.66]

Отсюда видно, что сопряженная функция Грина и+(г го, q+) представляет собой функцию влияния плотности объемных сил Q(r), движущих жидкость, на скорость потока теплоносителя в точке Го. При подстановке в уравнение (2.169) формулы (2.178) получим [c.73]

Теорема (3.62) позволяет дать физическую интерпретацию сопряженной функции Грина, аналогичную приведенной в 2.2 сопряженная функция Грина в точке с координатой Го в момент времени, То при Р(г, т)=в(г—ri)6(T—ti), т. е. при наблюдении температуры в точке (гь Т]), есть температура в точке Г] в момент времени Т , если в точку Го в момент времени то помещен импульсный тепловой источник единичной мощности. С помощью [c.88]

Граничные условия для сопряженной функции Грина 0+ имеют вид [см. (3.35)] [c.91]

Измерение распределения сопряженных температур можно осуществить способом, непосредственно вытекающим из самого определения функции ценности теплового источника. В самом деле если имитатор точечного теплового источника перемещать по всему объему теплофизической системы и одновременно измерять в различных точках установившиеся значения температур, то тем самым будет получена наиболее универсальная информация — данные по сопряженной функции Грина в+(г Го). По этой функции численным интегрированием можно найти сопряженную температуру +(г) для любых видов параметра Р(г), т. е. для любых интересующих нас функционалов. Можно также разработать и косвенные методы измерения сопряженных температур, основан-114 [c.114]

Q+ (г, Й) = б (г - Г1)б (Й - ЙО, и, следовательно, Ф+ — сопряженная функция Грина (см. разд. 6.1.5) [c.204]

Глава 2 посвящена исследованию стационарных процессов переноса тепла и движения жидкости в каналах ядерных реакторов. На основе сопряженных уравнений вводится понятие функций ценности источников тепла и движущих сил в потоке теплоносителя. Строится теория возмущений для линейных функционалов температуры и скорости потока. Рассматриваются функции Грина основного и сопряженного уравнений переноса тепла и гидродинамики, поясняющие физический смысл введенных функций ценности. [c.6]

Поскольку используемый в книге метод сопряженных функций существенным образом опирается на математический аппарат функционального анализа, то для удобства читателя авторы сочли целесообразным привести в приложении краткие сведения из этого раздела математики, необходимые для лучшего уяснения материала книги. Этой же цели служит содержащаяся в приложении краткая сводка формул векторного анализа, используемых лри выкладках. В приложении приведены также полезные в практических расчетах функции Грина для случая нитевидного и точечного источников тепла в канале с твэлом и теплоносителем. [c.7]

СООТНОШЕНИЯ ВЗАИМНОСТИ и ОБРАТИМОСТИ ФУНКЦИЙ ГРИНА ОСНОВНОГО и СОПРЯЖЕННОГО УРАВНЕНИЙ [c.20]

Соотношение (1.47) является формулировкой теоремы взаимности функций Грина основного и сопряженного уравнений при инверсии координат источника (го, то) и точки измерения (Г(, ti). Аналогичная теорема взаимности для дифференциальных уравне ний второго порядка известна в математике [85] и доказана Б. Б. Кадомцевым для кинетического уравнения переноса лучистой энергии 1[24]. [c.21]

В тех случаях, когда оператор эрмитов [как, например, эллиптический оператор Л вида (1.4), определенный на функциях из i(Z))], для функций Грина основной и сопряженной задач справедливо также соотношение обратимости. Действительно, пространственная координата г в граничном условии (1.8) при переходе к сопряженной задаче, как уже отмечалось, остается неизменной, и однородное граничное условие вида f/s = 0 является самосопряженным. Отметим, что в случае задачи Грина необходимо рассматривать только однородные условия, так как эта задача определена для системы без распределенного источника и единственной неоднородностью является дельтаобразный источник. [c.21]

Отсюда с помощью соотношения взаимности (1.47) устанавливаем обратимость функций Грина основного и сопряженного уравнений [c.21]

Заметим, что в тех случаях, когда известна функция Грина сопряженного уравнения, теорию возмущений высших порядков сравнительно несложно построить по методу, описанному в [70, 74, 76] (см. также 2.4, 4.3, 5.4). [c.29]

ТЕОРЕМЫ ВЗАИМНОСТИ И ОБРАТИМОСТИ ФУНКЦИЙ ГРИНА ОСНОВНОГО И СОПРЯЖЕННОГО УРАВНЕНИЙ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ. ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ СОПРЯЖЕННОЙ ТЕМПЕРАТУРЫ [c.40]

Тепловыделяющий элемент. Представим себе, что известны функции грина 0(г го) и 0" (г го) основного и сопряженного уравнений теплопроводности в задаче для твэла (2.1) и (2.4), т. е. найдены решения уравнений [c.40]

О физическом смысле решения сопряженного уравнения гидродинамики. Для интерпретации физического смысла сопряженных функций при рассмотрении различных процессов (теплообмена, прочности, электропроводности) мы широко используем понятие функции Грина соответствующих уравнений. Попытаемся сделать это и для уравнения гидродинамики, хотя в этом случае имеются определенные трудности, а именно [c.72]

Несмотря на сделанные замечания, будем для интерпретации физического смысла пользоваться понятием и терминологией функций Грина основного и сопряженного уравнений гидродинамики, при этом мы лишь формально переносим удобный математический прием на более сложные случаи, о которых было сказано выше. Привлекать здесь одновременно уравнение неразрывности нет необходимости, ибо вторая неизвестная функция — давление, из рассмотрения исключается все действующие на жидкость силы выражаются некоей дельта-функцией. Как и в случае других процессов, рассмотренных ранее, используя (2.169), можно показать выполнение условия взаимности функций Грина основного и сопряженного уравнений гидродинамики [c.72]

Из сопоставления основного и сопряженного уравнений для функций Грина (2.176) и (2.177) [см. также (2.139) и (2.144)1 следует, что они становятся идентичными при обращении потока жидкости вспять . Если ввести, например, в основное уравнение обратный вектор скорости потока v(r)=—u(r) и тем самым поменять местами входное и выходное сечения канала, то и граничные условия для функции и+(г) (2.147), (2.166) — (2.168) станут идентичными граничным условиям (2.141), (2.163) — (2.165) для функции u(r). Граничные условия на боковой поверхности канала (заторможенность потока) также не изменяются по виду [см. (2.142) и (2.162)1. В силу идентичности дифференциальных уравнений и граничных условий к ним на основании теоремы единственности следует вывод об идентичности решений этих уравнений при q = q и Го = п [c.74]

ВЗАИМОСВЯЗЬ ФУНКЦИЙ ГРИНА И ИНТЕРПРЕТАЦИЯ СОПРЯЖЕННОЙ ТЕМПЕРАТУРЫ В НЕСТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССАХ [c.87]

Подставив в ето уравнение к=б(г —Го)б(т —Tq) и/ = 6(г —г Х Хб(т —То), а вместо t, соответственно 0(г, т Го, т ) и 0 (г, "t Гь Ti) [см. уравнения (3.58)], получим теорему взаимности функций Грина основного и сопряженного уравнений нестационарной теплопроводности [c.88]

Способом, совершенно аналогичным рассмотренному выше, можно доказать взаимность функций Грина основного и сопряженного уравнений в нестационарном случае переноса тепла посредством теплопроводности и конвекции в канале с твэлом и теплоносителем [см. (3.24) и (3.31)]. Эти преобразования здесь не приводятся, однако следует заметить, что соотношение взаимности функций Грина для этого случая по виду в точности совпадает с [c.89]

Рассмотрим далее задачу о функции Грина сопряженного к (3.66) уравнения переноса тепла [c.91]

В заключение приведем аналитические зависимости от времени функций Грина основного (3.66) и сопряженного (3.78) уравнений переноса тепла в точке с координатой х = о (в критериальном виде) [c.93]

Уравнение (4.44) выражает теорему взаимности функций Грина основного и сопряженного уравнений механики упругой неоднородной среды. Его можно представить в виде равенства проекций векторных функций Грина на произвольные направления р и q [c.123]

Таким образом, аналогично задачам из других областей математической физики (см., например, [85, 74]), в задачах механики сплошной неоднородной среды по известным функциям Грина основного или сопряженного уравнений можно методом суперпозиции найти общие решения для случаев произвольных правых частей этих уравнений. [c.124]

Получим соотношения взаимности и обратимости для функций Грина основных и сопряженных уравнений электропроводности, интерпретируем физический смысл сопряженных функций потен-146 [c.146]

Из этого соотношения заменой переменной интегрирования в какой-либо части получаем теорему взаимности функции Грина основного и сопряженного уравнений электропроводности при инверсии координат источника тока и точки измерения потенциала [c.147]

Поясним теперь физический смысл функции Грина G+(r Го, р) сопряженного уравнения электропроводности (5.27) как полного вектора функции ценности сторонней ЭДС. [c.149]

Равенство (5.68) выражает теорему обратимости функций Грина основного и сопряженного уравнений электропроводности ток в точке г среды в направлении q от единичной сторонней ЭДС, приложенной в точке Г] в направлении р, равен току, который возникает в точке Г) в направлении р, если единичную стороннюю ЭДС приложить в точке г среды в направлении q. [c.151]

Для функций Грина основных и сопряженных уравнений электропроводности имеет место теорема взаимности и справедливо свойство обратимости. [c.153]

График сопряженной функции Грина, описываемой формулами (2.63), показан на рис, 2.4. Как видно из рисунка, сопряженная функция Грина, в отличие от основной функции Грина, является постояиной в области 0<х<хо и переменной, спадающей до нуля, в полубес-конечном канале при х хо. По смыслу +(х-,Хо) характеризует собой единичного теплового источника в точке с текущей координатой X по отношению к значению самой температуры в точке х=д о. Очевидно, что эта ценность в теплоизолированном канале постоянна вплоть до точки х=Хо, куда тепло от источника без потерь переносится посредством теплопроводности и конвекции с потоком самого теплоносителя. Естественно, что ценность теплового источника все больше падает по мере удаления координаты х вправо от точки Хо, куда тепло передается только теплопроводностью навстречу движущемуся теплоносителю. [c.49]

Формула (4.68) позволяет также найти возмущенные напряжения Б теле. Действительно, при Р = р6(г —Го) по формулам (4.68) и (4.71) можно определить б/ = бар(Го), причем под р следует понимать поочередно Xq, уо и Zq. Для этого надо знать сопряженные функции Грина U (r Го, Xq), U (r Tq, г/о) и U (r Гц, Zq). По полученным бИ ,(Го), (>11уо Го), (Го) и 6и(Го) = 1бКд , (Го) + ]бИ,, (Го) + кбИ , (Го) [c.127]

AIii (а , у I, Т)) = G х, у, I, Т)), т. е. Мц совпадает с функцией Грина первой задачи и Ьц — гармоническая функция, сопряженная с разностью Nil — Мц. [c.65]

Отметим, что в случае канала с твэлом и теплоносителем вследствие несамосопряженности операторов основного и сопряженного уравнений теорема обратимости температур, аналогичная (2.40), уже не действует. Можно, однако, доказать более общук> теорему обратимости температурных функций Грина в случае системы канал с твэлом, охлаждаемым движущимся теплоносителем. Для этого перепишем сопряженное уравнение (2.42) для функции Грина в случае постоянных значений теплоемкости твэла и теплоносителя и для следующих условий инверсии [c.44]

Сравнивая полученную формулу с (2.63), видим их полную тождественность, т. е. убеждаемся на рассмотренном примере в выполнении теоремы взаимиости функций Грина основного и сопряженного уравнений (2l47). [c.49]

Проверим теперь полученные решения (3.76) и (3.91) с точки зрения взаимности функций Грина основного и сопряженного уравнений переноса тепла. Из уравнения (3.91) при инрерсии координат х, t) и (л , т,) получим [c.93]

Связь между функциями Грина основного и сопряжеи-ного уравнений механики. Для уяснения физического смысла сопряженной функции и+(г) целесообразно сначала рассмотреть [c.122]

В более общем случае произвольной правой части сопряженного уравнения электропроводности divj (r) можно выразить через производные по координатам х, у, г от р-й составляющей функции Грина Gp в виде линейной суперпозиции алгебраической суммы этих производных по всему объему среды [c.152]

Далее отметим, что в часто реализуемых на практике ситуациях внутренним электрическим сопротивлением Х х) элемента батареи можно пренебречь по сравнению с сопротивлением изоляции его электродов (Xg l). Для таких ситуаций формулы (5.105)—(5.108) принимают особенно простой и наглядный вид. Действительно, используя предельный переход при Xg- 0, получаем из (5.105) для функции Грина сопряженного уравнения электропроводности следующее приближенное выражение [c.161]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...