Приближение третьего порядка

Приближение третьего порядка с исключенными перекрестными аффектами будет иметь вид [c.221]

Наконец, необходимо отметить, что в ходе последующих выкладок мы ограничиваемся траекториями, в разложении которых можно пренебречь степенями смешения г и наклона т, большими четвертой. Как будет показано, это эквивалентно теории третьего порядка, справедливой для относительно большой, но также конечной ширины пучка. В параксиальном приближении рассматриваются лишь очень узкие пучки, для которых наклон любой траектории, т. е. тангенс угла между траекторией и оптической осью, может быть заменен самим углом. Для довольно большого угла у = я/4 параксиальное приближение дает относительную погрешность 21,46%. Приближение третьего порядка заключается в том, что используется следующий член разложения в ряд Тейлора tg 7 + у З + у /7,5. В нашем примере относительная погрешность уменьшается до 5,31%- Последующее усложнение (теория пятого порядка) дало бы относительную погрешность всего 1,33%, но это приближение слишком сложно и потому выходит за рамки книги. [c.250]

Приближение третьего порядка. Добавки третьего порядка p J(z, V, t) к недиагональным элементам матрицы плотности по аналогии с (9.100) равны [c.258]

Простое вычисление с помощью разложения в ряд показывает, что оба написанных выражения отличаются друг от друга только в членах третьего порядка (при вычислении следует иметь в виду, то изменение энтропии в разрыве есть величина третьего порядка малости, а в простой волне энтропия вообще постоянна). Отсюда следует, что с точностью до членов второго порядка звуковая волна с каждой стороны от образовавшегося в ней разрыва остается простой, причем на самом разрыве будет выполнено надлежащее граничное условие. В следующих же приближениях это уже не будет и.меть места, что связано с появлением отраженных от поверхности разрыва волн. [c.536]

Эта формула предполагает погрешность третьего порядка в величине к и потому погрешность четвертого порядка для ф. Интегрирование с такой степенью приближения можно было бы выполнить, воспользовавшись для и его значением из формулы (22). Однако более простой и достаточно точный [c.123]

С другой стороны, с точностью до величин первого порядка имеем 3 ар, и эта подстановка не изменяет порядка приближения предыдущей формулы. Мы можем поэтому написать, пренебрегая ошибкой третьего порядка при конечных значениях [c.124]

Найдем с той же степенью приближения значение угла б, определяющего нутацию. Формула (22) дает значение и с ошибкой пятого порядка. Если же в этой формуле заменить k на Ир, то порядок ошибки понизится на две единицы. Поэтому получим, пренебрегая ошибкой третьего порядка для , [c.125]

Движение оси тела приводится, таким образом, к комбинации двух равномерных конических движений, если пренебречь ошибкой третьего порядка. Угловые скорости обоих движений, с той же степенью приближения, не зависят от начальных данных. [c.149]

На рис. 45 показано приближение систематической составляющей профиля поверхности, полученной точением, с помощью тригонометрического полинома третьего порядка. [c.178]

Сумма этих двух выражений, т. е. определяет значение ф в первом приближении. Примем 7 и R за бесконечно малые первого порядка и расстояние между системами за конечную величину тогда для того, чтобы при этом потенциал скоростей и скорость были, вообще говоря, конечными, и, V, т, и, и, ш должны быть бесконечно большими третьего порядка. Тогда на шаровых поверхностях ф со своими первыми производными должны быть бесконечно велики. [c.195]

Эти последовательные приближения можно продолжить и до членов третьего порядка тогда найдем [c.212]

Вследствие этого траектория точки D должна иметь соприкосновение третьего порядка со своей касательной. На рис. 218 через D обозначен центр грузового крюка, а через Aq — неподвижная шарнирная точка переднего звена. Центр грузового крюка находится в середине того отрезка, вдоль которого он должен двигаться приближенно-прямолинейно. Мгновенный полюс Р находим как точку пересечения вертикали, проходящей через точку D, и направления переднего звена. Направление заднего звена проходит через точку Р и может быть выбрано произвольно из конструктивных соображений, применяемых при проектировании подъемных кранов. [c.128]

На основе схемы задачи приближенного разложения процессов на отдельные составляющие покажем методику ее решения применительно к системам различных порядков. Вначале рассмотрим системы третьего порядка, затем четвертого и более высоких порядков. Причем здесь не будем подробно обосновывать каждый этап и переход. В основном покажем лишь физические основы решения задачи. [c.80]

Заканчивая описание методики приближенного разложения процессов в системах третьего порядка, отметим еще одно положение. [c.85]

Решение задачи приближенного разложения процессов на отдельные составляющие для системы третьего порядка вскрывает еще одно важное обстоятельство. [c.85]

Система четвертого порядка. Методика приближенного разложения процессов на отдельные составляющие здесь сохраняется такой же, какая применялась при рассмотрении системы третьего порядка. [c.89]

Границы областей получены, как и в системе третьего порядка, с определением данных по действительным корням. По тем же соображениям, какие отмечались для системы третьего порядка, и аналогичными приемами эти рабочие области приближенно заменены областями, границы которых представлены сплошными линиями. [c.89]

Использование приближенных границ рабочих областей приводит, вообще говоря, к нарушению исходной предпосылки метода, однако, как и для системы третьего порядка, к незначительному. Об этом свидетельствуют кривые на рис. 11.45, б—11.49, б, где показаны кривые колебательности ц для той пары корней, для которой эта колебательность наибольшая. Нарушение исходной предпосылки метода имеет место лишь для верхних границ и расположенных относительно близко участков правых границ. На остальных участках кривые для правых границ удовлетворяют исходной предпосылке метода (см. рис. И.З). [c.91]

При рассмотрении верхней границы для системы третьего> порядка указывалось, что уравнение этой границы [первое уравнение (П.42)] совпадает с уравнением границы рабочей области для системы второго порядка. Для условия, когда коэффициент Лз — последний коэффициент характеристического уравнения для системы третьего порядка — равен нулю, рассматриваемое совпадение является очевидным, так как система третьего порядка вырождается в систему второго порядка. Для условия, когда коэффициент Ац не равен нулю, совпадение указанных выше уравнений имеет место из-за того, что при замене действительной границы рабочей области приближенной (см. рис. П.40) верхняя граница была представлена прямой линией, т. е. было принято, что граничные значения коэффициента при Ag О совпадают со значениями этого коэффициента при A3 = 0. Таким образом, нужно дать физическое обоснование лишь этому положению. Это легче всего сделать, используя замещающие структурные схемы системы (см. рис. П.41) и переходные процессы для двух различных значений Л3. Процессы представлены на рис. И.43, а. Необходимо учитывать также, что верхняя граница рабочей области определяется предельной колебательностью для второй составляющей процесса. [c.106]

Возможность разложения процессов в динамических системах на простейшие составляющие оценивается величиной ошибок в переходных процессах, которые имеют место в результате приближенного разложения. Проведем оценку ошибок для уравнений третьего порядка. Затем то же самое проделаем применительно к уравнениям четвертого и пятого порядков. И, наконец, попытаемся провести оценку ошибок для систем п-то порядка. [c.209]

Система третьего порядка. Приближенное разложение процессов в системе третьего порядка осуществляется аналогично тому, как ЭТО делается при оценке ошибок в рабочей области. [c.209]

В заключение о системах третьего порядка можно сказать, что приближенное разложение уравнений на отдельные составляющие методом эффективных полюсов и нулей в пределах расширенной рабочей области приводит к ошибкам в переходных процессах, не превышающим 25%. [c.211]

Движение такой системы в случае пренебрежения кулоновым трением описывается дифференциальным уравнением третьего порядка. Такого рода задачи, но с трением в муфте регулятора, в последнее время решались в работах А. И. Лурье [2j приближенным методом, А. А. Андронова н А. Г. Майера [3] точным методом. [c.113]

Решение уравнения (3-17) возможно лишь приближенными методами. В [3-1] была предпринята попытка решения дифференциального уравнения в частных производных третьего порядка со смешанными производными методом Галеркина. Были получены первое и второе приближения. Даже для второго приближения формулы оказались чрезвычайно громоздкими и трудными для инженерного применения. Такое обстоятельство заставляет искать другие пути решения системы, описывающей [c.85]

Способ последовательных приближений предполагает решение в несколько этапов. На первом из них уравнение решается в нулевом приближении при отброшенных поправочных членах. Второй этап дает решение в первом приближении. Для этого в уравнении сохраняются поправки первого порядка малости, а все меньшие поправки отбрасываются, после чего уравнение линеаризуется путем приближенного преобразования оставшихся поправочных членов в свободный член уравнения через найденное уже решение в нулевом приближении. Третий этап дает решение во втором приближении. В общем уравнении на этом этапе сохраняются поправки первого и второго порядка малости и по аналогии с предыдущим этапом приближенно преобразуются в новый свободный член уравнения. При этом для преобразования поправок первого порядка малости используется решение первого приближения, а для поправок второго порядка — решение нулевого приближения и т. д. Погрешность каждого приближения может ориентировочно оцениваться по относительной величине отбрасываемых поправочных членов. [c.12]

Во-первых, рассмотрим лучи. На рис. 46 (стр. 282) изображены лучи, падающие на расстояниях от оси, определяемых следующим образом созт = 0,78 0,82 0,86 0,90 и 0,94. Луч 3 является лучом наименьшего отклонения лучи 2 я 4 отклоняются на 24 и 30, лучи 1 я 5 — на 1°20 и 2°50 соответственно. Наблюдаемая разница в отклонении показывает, что лучи 1 я 5 оказываются далеко за пределами области симметричного приближения третьего порядка. То же следует из разности коэффициентов 1, которая для лучей 1 я 5 равна соответственно 0,134 и 0,062. Мы. можем с уверенностью сказать, что приближение Эри применимо в качестве количественной теории радуги лишь в том случае, когда лучи с отклонением больше чем примерно полградуса от геометрической радуги отсутствуют. Кроме того, это означает, что ее применение ограничивается только такими значениями X, для которых главный максимум сдвинут, скажем, меньше чем на 20 от геометрического положения. [c.288]

Уравнение (2.52) есть линейное дифс1)еренциальное уравнение третьего порядка, которое можно решать методом последовательных приближений. В нулевом приближении в уравнении (2.52) можно не учитывать второй член из-за его малости. Тогда получим уравнение (2.29), имеюш,ее решение в виде (2,30). Подставляя его в (2.52), получим [c.36]

Мы рассмотрим здесь ангармонические эффекты третьего порядка, происходящие от кубических по деформации членов в упругой энергии. В общем виде соответствующие уравнения движения оказываются очень громоздкими. Выяснить же характер возникающих эффектов можно с помощью следующих рассуждений. Кубические члены в упругой энергии дают квадратичные члены в тензоре напряжений, а потому и в уравнениях движения. Представим себе, что в этих уравнениях все линейные члены перенесены в левые, а все квадратичные — в правые стороны равенств. Решая эти уравнения методом последовательных приближений, мы должны в первом приближении вовсе отбросить квадратичные члены. Тогда останутся обычные линейные уравнения, решение Uo которых может быть представлено в виде наложения монохроматических бегущих воли вида onst-е определенными соотношениями между (О и к. Переходя к следующему, вгорому, приближению, надо положить и = и,, + Uj, причем в правой стороне уравнений (в квадратичных членах) надо сохранить только члены с Uq. Поскольку Uq удовлетворяет, по определению, однородным линейным уравнениям без правых частей, то в левой стороне равенств члены с Uq взаимно сокращаются. В результате мы получим для компонент вектора Uj систему неоднородных линейных уравнений, в правой части которых стоят заданные функции координат и времени. Эти функции, получающиеся подстановкой Uq в правые стороны исходных уравнений, представляют собой сумму членов, каждый из которых пропорционален множителю вида [(к,-к,) г-(й)1-(о,)/] или где tt i, (02 и к , — частоты и волновые векторы каких-либо двух монохроматических волн первого приближения. [c.145]

За время I3 (время закачки) количество жидкости, поступив -шее в пласт при всех грех вицах закачки, одинаково.. При расчетах использовались приближенные решения второго и третьего порядков. Для == 10 графики приближенных решений второго и третьего порядков практически совпадагт, поэтому можно использовать наиболее простое решение при гг 3. [c.81]

Так как при вычислениях используется формула численного интегрирования наклонной строки с учетом конечных разностей третьего порядка, необходимо иметь по крайней мере четыре значения производнойВ начале вычислений имеется только одно значение производной в точке Ко, определяемое по (12.42) при условии, что для = о значение X, = 0. Для определения недостающих значений можно использовать, в частности, способ последовательных приближений, который заключается в уточнении полученных значений функций и их производных в первых точках. Расчеты производятся в следующем порядке. [c.691]

Если теперь представим себе, что величина 8 достаточно мала для того, чтобы внутри сферы с центром в М ч радиусом 8 не только оставалось в силе равенство (72), но и можно было с достаточным приближением пренебречь членами третьего порядка (относительно расстояния МР, а следовательно, и относительно X, у, г), то можро будет принять потенциал в виде [c.137]

Решение задачи двух тел, кратко изложенное в 5.4 и далее, представляет одно из самых больших достижений ньютоновой механики. В указанном выше смысле эту задачу можно считать полностью решенной, т. е. мы можем определить положения частиц в любой момент времени, если известны координаты этих частиц и их скорости в момент t = Q. Что же касается задачи трех тел, то ее нельзя считать решенной в этом смысле. Однако для многих частных случаев этой задачи, возникающих в астрономии, удается построить приближенное решение с весьма высокой степенью точности. Небесные тела приближенно можно считать имеюш ими сферическую форму со сферически симметричным распределением массы взаимное притяжение таких тел таково же, как у частиц, расположенных в их центрах. Если в качестве трех тел рассматриваются Солнце и две планеты, то основным упрощающим условием является то, что массы и m2 планет малы по сравнению с массой М Солнца, так что членами третьего порядка относительно mjM и m lM обычно можно пренебречь. (Например, масса Земли составляет менее чем 1/300 ООО массы Солнца.) Если же рассматривается движение Солнца (М), планеты (т) и ее спутника ( i), то отношения тп1М и [i/M всегда малы и, кроме того, [i/m мало, хотя порядок малости последнего отношения и отличается от порядка малости ml М. (Например, масса Луны составляет около 1/80 массы Земли.) Другое обстоятельство, облегчающее построение приближенных решений, заключается в том, что эксцентриситет планетных орбит, как правило, весьма мал (для орбиты Земли он составляет приблизительно 1/60). [c.562]

Переход от третьего приближения к приближению четвертого порядка Т 4 ((f) и тем более к приближениям более высоких порядков по рекуррентной формуле (2. 18) приводит к сложным квадратурам. Поэтому представляется целесообразным использование методики чрсленного интегрирования, изложенной в 5. С этой целью промежуток [ — и, л] выберем в качестве базового и разобьем его на любое число п = 2т равных частичных промежутков P. +il i=0, 1, 2,. . га — 1. Пусть, например, п=2т= = 16 (т=8). Случай большего числа точек деления для уяснения сущности метода принципиальной роли не играет и будет связан лишь с увеличением числа производимых и притом аналогичных операций. [c.80]

При обработке на ЭЦВМ нелинейность исследуемого уравнения моделировалась рядом приближений (1) — линейное приближение (2) — приближение нелинейное, где наряду с линейными членами присутствуют их квадраты (3) — приближение, с членами второго порядка сг, а, о Р (4) — приближение, в котором добавляются кубы переменных состояния (5) — приближение, где присутствуют члены третьего порядка о, Sorp, сг, gop, сгр . [c.84]

Обоснование использования уравнения (11.44), а также анализ ошибок приближенного разложения процессов проводились так же, как это описано выше для системы третьего порядка. Анализ подтвердил возможность использования приближенного разложения процессов на отдельные составляющие. Здесь подробно этот анализ, как и для системы третьего порядка, не рассматривается. В качестве примера на рис. П.50,аибпоказаны переходные процессы для ряда точек при конкретном значении Aq и нулевых [c.94]

Отсюда получаем важную теорему 7. Весовой вектор, как раз ность крайних ординат интегральной кривой, численно равен пло щади производяи ей фигуры и расположен в ее центре тяжести Крупнейший ученый в области графического анализа, член фран цузской Академии наук М. Деокань указывает, что метод, осно ванный на рассмотрении центров тяжести полосок дает чертеж не только приближенный, но точный для кривых третьего порядка . [c.69]

Приближение сплайнами. Приближение сплайнами есть кусочно-полиномиальное приближение функции /(х) по ее значениям f(xo), f(xi),...,f(x ) в узлах Хо, Xi,...,Xn. Степень полинома на каждом участке [х, 1, х,], i = l,..., п, одинакова и называется порядко.м сплайна. Наиболее употребительны сплайны третьего и второго порядков. Аппроксимация f(x) сплай-на.ми третьего порядка (кубически.ми) изложена например, в [32]. Рассмотрим аппроксимацию f(x) сплайнами второго порядка (параболическими). [c.121]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...