Что под знаком интеграла

Мне кажется, что упомянутый принцип обычно преподносится недостаточно ясно и что даже невозможно уловить его истинный смысл, после того как дано лишь его определение, не прибегая к доказательству. Это происходит от того, что забывают добавить в самом определении принципа, что под знаком интеграла, который должен иметь минимум, элемент времени предполагается исключенным с помощью уравнения живых сил. Это последнее имеет вид [c.290]

При переходе от одного равенства к другому мы сначала совершаем допустимую перестановку немых переменных интегрирования i, V2 в данном случае речь идет о перестановках -> v , Vj- -->v, g->—g. Далее заменим первоначальное выражение полусуммой двух равных величин. Наконец, мы замечаем,что под знаком интеграла также можно произвести замену Vi -> v , Vj -> Vj. Производя симметризацию, приходим к окончательному выражению. [c.58]

Для анализа второго интеграла к существенному упрощению приводит так называемое преобразование Маджи. Суть этого преобразования состоит в следующем. Заметим, что под знаком интеграла стоит векторная функция [c.311]

При осуществлении интегрального преобразования Фурье часто также обрезается нижний предел интегрирования, так как получить в эксперименте данные для направлений, близких к направлению падающего пучка, обычно невозможно. Связанная с этим ошибка, по-видимому, обычно ма.ла, в частности, потому, что под знаком интеграла стоит функция (з), которая, конечно, должна стремиться к нулю при малых 5 для всякой ограниченной в нуле функции рассеяния I (з). Однако, как показано ниже, для систем с большой сжимаемостью пренебрежение областью малых углов при вычислении радиальной функции распределения может привести к существенной ошибке в той области, которая отвечает дальнодействию. [c.49]

Замечание. При доказательстве теоремы 8.1 мы считали, что под знаком интеграла в билинейной форме (8.1) имеется член и Этот член можно было бы устранить с помощью интегрирования по частям. Поскольку, однако, в случае теоремы 9.1 от этого члена избавиться нельзя, мы сохранили его и при доказательстве предыдущей теоремы. [c.130]

Проведенное рассмотрение существенно упрощено с предположением об однородности температуры внутри стекла. Для неоднородных температур уравнение (7.104) должно быть модифицировано введением Ь Х, Т) под знак интеграла. Для конкретных температурных градиентов уравнение должно решаться численным методом [6], так как никакое простое решение невозможно. К счастью, коэффициент поглощения и коэффициенты отражения поверхностей обычно такие, что даже для слоя толщиной всего 5 мм внутренние отражения более высоких порядков очень малы и ими обычно можно пренебречь. [c.396]

Коль скоро параметр а вы бран, функции (40) зависят только от одного аргумента — времени, их можно продифференцировать по времени и подставить полученные выражения и в функционал (41). Тогда функция Ф, стоящая под знаком интеграла, будет функцией только от времени, так что можно вычислить интеграл (41) и после подстановки пределов определить число— значение ф. Таким образом, каждой кривой рассматриваемого пучка (40) функционал (41) ставит в соответствие некоторое определенное число, и в этом смысле на однопараметрическом пучке кривых значение функционала является просто функцией параметра а. Эта функция может при некоторых значениях сс принимать стационарные значения кривые, которые получаются при подстановке в (40) этих значений а, носят название экстремалей. [c.273]

На прямом пути удовлетворяются уравнения Лагранжа системы поэтому все выражения, стоящие в скобках под знаком интеграла в формуле (61), тождественно равны нулю. Отсюда сразу следует, что на прямом пути вариация действия по Гамильтону равна нулю, т. е. что прямой путь является экстремалью рассматриваемой вариационной задачи — на прямом пути действие по Гамильтону достигает стационарного значения. [c.279]

Обратим внимание теперь на то, что справедливо и обратное утверждение если соответствующая а = 0 кривая из пучка, представленного на рис. VI 1.2, такова, что действие по Гамильтону достигает на этой кривой стационарного значения и при а = 0 вариация действия равна нулю, то эта кривая удовлетворяет уравнению Лагранжа, т. е. является прямым путем. Действительно, если положить равной нулю вариацию действия в левой части уравнения (61) и вспомнить затем, что вариации координат б<7у независимы и могут быть выбраны произвольно, то отсюда следует, что выражения, стоящие в скобках под знаком интеграла, порознь равны нулю, т. е. что уравнения Лагранжа удовлетворяются всегда, когда в формуле (61) левая часть обращается в нуль. [c.280]

Ввиду предположения об однородности среды и о том, что в каждом слое поглощается одна и та же часть падающей энергии, коэффициент, характеризующий поглощательную способность среды, не будет зависеть ни от координаты х, ни от интенсивности (линейное оптическое явление) следовательно, можно вывести его из-под знака интеграла как постоянную. Тогда получаем [c.280]

При дифференцировании этого интеграла по времени надо иметь в виду, что меняется не только скорость, но и сам контур (т. е. его форма). Поэтому, внося знак дифференцирования по времени под знак интеграла, надо дифференцировать не только v, но и бг [c.30]

Внутри малой сферы Са давление р в волне, создаваемой источником, находящимся в А, быстро меняется с расстоянием от Л, и потому градиент ур велик. Давление же р , создаваемое источником, находящимся в В, в области вблизи точки А, значительно удаленной от В, является медленно меняющейся функцией координат, так что его градиент ур относительно мал. При достаточно малом радиусе сферы Са можно поэтому в интеграле по ней пренебречь вторым членом подынтегрального выражения по сравнению с первым, а в последнем можно вынести почти постоянную величину р из-под знака интеграла, заменив ее значением в точке А. Аналогичные рассуждения применимы к интегралу по сфере Св, и в результате мы получаем из (76,3) следующее соотношение [c.411]

Если сила F остается постоянной по величине и направлению, но величина ее проекции на направление пути изменяется (потому что изменяется направление пути), то из-под знака интеграла можно [c.123]

При расчетах на изгиб, кручение, сложное сопротивление, а также при расчетах сжатых стержней на устойчивость используются более сложные геометрические характеристики сечений статический момент, а также осевой (или экваториальный), полярный и центробежный моменты инерции сечений. Выражения этих характеристик отличаются от выражения (5.1) тем, что у них под знаки интеграла входят произведения элементарных площадок ЛР на функции координат у, г, р этих площадок (рис. 5.1). Таким образом, указанные геометрические характеристики зависят не только от формы и размеров сечения, но также от положения осей и точек (полюсов), относительно которых они вычисляются. [c.135]

Из выражений (1.60) и (1.61) следует, что для определения удельного количества теплоты необходимо знать зависимость истинной теплоемкости от температуры сх = / (/) или среднюю теплоемкость Схт в заданном интервале температур от до В первом случае под знак интеграла подставляется одна из интерполяционных зависимостей теплоемкости от температуры [вида (1.56)], которые приводятся в справочной литературе. Однако интегрирование такого выражения весьма трудоемко и выполняется редко. Во втором случае должны быть известны средние теплоемкости для каждого интервала температур. [c.31]

Заметим еще, что на основании ограничений, наложенных на функции к t) ш g t), и теоремы Лебега о предельном переходе под знаком интеграла справедливо равенство [c.76]

Сравнение исходного интегрального уравнения для эффективного излучения (17-94") с его решениями в формах (17-113) и (17-118) показывает, что в последнее под знак интеграла вошла функция jv, характеризующая собственное излучение, вместо неизвестной функции эфя, выражающей эффективное излучение. Учет многократных отражений с этой функции переносится на разрешающий угловой коэффициент и резольвенту излучения. Следовательно, вся сложность задачи и ее решения сосредоточивается на определении резольвенты излучения. [c.408]

Следовательно, дифференцируя под знаком интеграла и принимая во внимание, что 0 зависит от Л, Дх, Дз, Д3, Д4, получим [c.371]

Отсюда следует, что выражение, стоящее под знаком интеграла, является полным виртуальным дифференциалом некоторой функции — H(t, q , pii) ) [c.138]

Отметим еще следующие термины интеграл Пуанкаре — Картана / и интеграл Пуанкаре /j называются относительными интегральными инвариантами первого порядка. Термин относительный означает, что область интегрирования представляет собой замкнутый контур первый порядок означает что в выражение, стоящее под знаком интеграла, дифференциалы входят линейно. Заметим, что относительный интегральный инвариант первого порядка Д при помощи формулы Стокса может быть представлен в виде абсолютного интегрального инварианта второго порядка [c.138]

Такая форма записи отличается от принятой в формуле (33.13) тем, что здесь варьирование производится под знаком интеграла, в то время как в выражении (33.13) оно вынесено за знак интеграла. Это, однако, допустимо ввиду условия (33.1) t и dt не варьируются , и, более того, даже соответствует той формулировке (33.10), в которой мы впервые встретились с принципом Гамильтона. [c.249]

Следует особо подчеркнуть, что величина, стоящая в выражении (37.16) под знаком интеграла, является не чем иным, как элемен- [c.277]

Эти уравнения справедливы в любой момент времени t. В соответствии с методом Лагранжа умножим каждое из этих уравнений на неопределенный множитель Так как дополнительные условия выполняются при всех значениях независимой переменной t, множители тоже используются при всех значениях t, что делает их функциями от t. Кроме того, после суммирования по всем дополнительным условиям, каждое из которых умножено на свое получившееся выражение подставляется под знак интеграла по t. В результате метод множителей Лагранжа принимает такую форму вместо того, чтобы приравнять нулю вариацию заданного интеграла, преобразовываем ее следуюш,им образом [c.86]

ПО ВОСХОДЯЩИМ дробным степеням р . Так как поверхность трубки есть величина порядка р, то отсюда следует, что второй интеграл, распространенный на поверхность трубки, также обращается в нуль. Поэтому при составлении уравнения (27) надо принимать в расчет только тот кусок поверхности, который совпадает с первоначально взятой ограниченной эллипсом (19) площадью. Мы будем теперь понимать под элемент этой поверхности за исключением бесконечно узкой полоски, прилегающей к пограничному эллипсу. Тогда в оба интеграла уравнения (27) каждый элемент (15 войдет дважды. Мы будем различать обе стороны этого элемента как внутреннюю и внешнюю, а именно, внутренней должна быть та, с которой нельзя пройти в бесконечность, не проходя через поверхность, которой принадлежит < 3, или через площадь эллипса (19). Далее, пусть п—нормаль к <15, направленная внутрь обозначение 1 под знаком интеграла мы будем относить к внутренней стороне (15, тогда как для внешней стороны мы воспользуемся обозначением. Тогда уравнение (27) перейдет в [c.178]

Мы допустили для простоты, что имеется только одно условное выражение но если бы сверх того существовало уравнение М — О, где М — функция X, у, Z, у, у",. . ., z, z",. . . , следовало бы под знаком интеграла в уравнении равновесия к члену X ЬЬ прибавить еще выражение у. SM или, точнее, для однородности [А SM dx вследствие этого к значениям [c.133]

Существенная разница, по сравнению с рассмотренным только ЧТО случаем точки Р, внешней относительно тела (т. е. относительно области, занятой притягивающими массами), состоит в том, что функция [x/j" под знаком интеграла в выражении потенциала Z7 обращается в бесконечность в точке Р, если Р является внутренней для 8, или стремится к бесконечности, если точка Р (предполагаемая внешней) неограниченно приближается к телу. Необходимо поэтому исследовать, как влияет особая точка, которую им ет подинтегральная функция, на потенциал U, на его производные, на проекции X, Y, Z силы притяжения, на соотношения [c.72]

Очевидно, что если притягиваемая точка Р х, у, з) совпадает или стремится к совпадению с некоторой точкой Q ( ,т), С) притягивающего тела, то подинтегральная функция обращается в бесконечность но так как порядок бесконечности равен 1 (т. е. меньше 3), то, как мы уже знаем (п. 1,0), подинтегральная функция остается интегрируемой и потенциал U будет конечным и непрерывным не только вне притягивающей массы, но также и на поверхности и внутри нее. Кроме того, внутри области 8 существуют также и частные производные от функции [>-jr по координатам х, у, z притягиваемой точки если точка является внутренней для тела С, то частные производные обращаются в ней в бесконечность порядка не выше 2, тогда как во всем остальном теле они остаются конечными и непрерывными. Отсюда заключаем (п. 11), что потенциал И представляет собой дифференцируемую и потому непрерывную функцию не только вне притягивающей массы, но также на поверхности и внутри нее производные потенциала также будут непрерывными функциями и получатся путем дифференцирования под знаком интеграла, т. е. определятся формулами (4) п. 7. [c.75]

Рассматривая выражение (3.21), можно заметить, что под знаком интеграла перемножаются четная и нечетная функции угла г ) в заданном промежуике питегрирования эти функции ортогональны, так что Ф(Л) = 0. Отсюда, [c.70]

Во избежание недоразумений отметим, что тот факт, что при изменении единиц измерения длины стоящий под знаком интеграла логарифм увеличивается на постоянную, несуществен. Действительно, интеграл, отличающийся от написанного тем, что в нем вместо 1п г —г 1 стоит onst, все равно равен нулю, так как краях следа Г обращается в нуль). [c.264]

Время t — R/ отличается от времени t — г/с на интервал 1/с. Но такой интервал времени мал по сравнению с периодами 1/и основных турбулентных пульсаций. Это позволяет заменить аргумент t — R/ в подынтегральном выражении на t — г/с = X ). Производя после этого дифференцирование под знаком интеграла, и заметив, что dr/dxi — rii (n — единичный вектор в наяравлении г), получим [c.408]

Поэтому интеграл (4.79) будет решением уравнения (4.63), если он сходится и допускает дифференцирование под знаком интеграла по переменным х, t. Можно доказать [34], что при любой кусочнонепрерывной и ограниченной ф (х) интеграл (4.79), как и интегралы, получающиеся из него в результате дифференцирования по л и любое число раз, равномерно сходится на области [t — 1<х<.+1, где е, / — произвольно фиксированные положительные числа, и, следовательно, допускает почленное дифференцирование по л и любое число раз для любых t > О, х (—оо, + оо). Но в таком случае справедливо равенство [c.143]

Таким образом, равенства (8.6) и (8.7) будут удовлетворяться одновременно. Отсюда не следует, конечно, что функции, стоящие в этих равенствах под знаком, интеграла -будут одинаковы, но следует, что они могут отличаться не больше, чем на полную производную по времени от какой-либо функции F. Действи- [c.265]

При этих предположениях интеграл (6) все еще будет определенной и непрерывной функцией от Л в промежутке А. Если, далее, существует производная dfjdX и обладает теми же только что допущенными для функции f свойствами, то будет иметь силу равенство (7), т. е. к равенству f6) можно приложить правило дифференцирования под знаком интеграла таким образом, и в этом случае будет справедливо равенство (7) во всем промежутке А. [c.75]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...