Проективные плоскость и пространство

Проективные плоскость и пространство [c.272]

ПРОЕКТИВНЫЕ ПЛОСКОСТЬ И ПРОСТРАНСТВО [c.343]

Дополненные несобственными элементами евклидовы плоскость и пространство называют соответственно проективной плоскостью и проективным пространством. [c.17]

Совокупность бесконечно удаленных прямых всех пересекающихся плоскостей пространства представляет собой несобственную плоскость. В отличие от евклидовых, прямая, плоскость и пространство, имеющие в своем составе несобственные точку, прямую и плоскость, называются проективными. [c.10]

Для того чтобы установить взаимно однозначное точечное соответствие между двумя плоскостями при центральном проектировании, пространство и плоскость эвклидовой геометрии дополняют бесконечно удаленными элемента-ы и, что связано с новыми понятиями — проективным пространством и проективной плоскостью. [c.272]

Дополнение евклидова пространства до проективного приводит к тому, что соответствие между плоскостями и П (см. рис. 387) при центральном проектировании становится взаимно однозначным если луч 8К параллелен плоскости П, то точке К1 ставится в соответствие бесконечно удаленная точка плоскости П, присоединенная к прямым АВ и СО плоскости П, параллельным лучу 5/С,. Прообразом точки L плоскости П будет бесконечно удаленная точка прямых и М М , проведенных по плоско- [c.274]

Теорема. Гиперповерхности, проективно двойственные типичным гладким гиперповерхностям в пространстве измерений, локально диффеоморфны дискриминантам евклидовых групп отражений Ап, Оп, Еп- Эти особенности устойчивы. - "Пример. Особенности кривы х и поверхностей -двойственных типичным гладким, устойчивы и те же, что и для эквидистант кривых на плоскости и поверхностей в пространстве (рис. 44 и 45). [c.98]

Проективная геометрия указывает, что такое взаимное положение плоскостей существует, что любые два треугольника, лежащие в разных плоскостях, можно расположить в пространстве так, что точки одного треугольника будут параллельными и даже ортогональными проекциями соответствующих точек другого треугольника, для чего может потребоваться предварительное преобразование одного из этих треугольников методом подобия (подобием увеличения или уменьшения) . Другими словами, два любых треугольника можно привести в перспективно-аффинное, родственное соответствие. Это положение устанавливает, что плоскость, в которой лежит горизонтальная проекция искомого треугольника, и плоскость, в которой лежит треугольник, подобный любому наперед заданному треугольнику, должны иметь одно, единственно возможное, вполне определенное взаимное положение, т. е. эта задача имеет однозначное, вполне определенное решение Теперь надо найти и научно обосновать метод решения этой задачи. В данной главе излагается метод, пользуясь которым, можно решить не только данную задачу, но и любую другую, аналогичную данной, в которой фигурируют любые многоугольники и фигуры с криволинейным очертанием. Решения задач, объединенных в I главе, являются основанием построений, излагаемых в последующих главах. [c.5]

Соотношение (2.15), как и (2.6), описывает преобразование волновых аберраций третьего порядка при распространении сферической волны, но в отличие от (2.6) дает связь между аберрациями в оптически сопряженных плоскостях. В п. 2.1 при выводе формулы (2.6) предполагалось, что волна распространяется в. свободном пространстве, тогда как выражение (2.15) справедливо только при наличии оптического элемента между рассматриваемыми плоскостями, который и обеспечивает их оптическое сопряжение. Если в соотношении (2.6) при переходе в другую плоскость зрачковые координаты заменяются линейными комбинациями новых зрачковых координат и координат центра кривизны сферической волны, в результате чего происходит перераспределение аберраций по типам, то в (2.15) все сводится к изменению масштаба координат зрачка и предмета, а перераспределений аберраций по типам не происходит. Конечно, именно к такому результату для сопряженных плоскостей должно было привести проективное преобразование, которому подчиняется замена переменных в аберрациях третьего порядка. [c.56]

В своих трудах Новая геометрия, как основа черчения (1907 г.), Простое и точное изображение точек — пространства четырех измерений на плоскости посредством векторов (1909 г.), Новая начертательная геометрия (1917 г.) Е. С. Федоров исследует возможности использования проективных свойств фигур в кристаллографии и разрабатывает методы плоскостных изображений четырехмерных систем. [c.366]

Проекцию точки Е, если основываться на представлениях евклидовой геометрии, вовсе нельзя построить, так как проецирующая прямая 8Е параллельна плоскости П. Все такие точки образуют в совокупности плоскость а, параллельную плоскости П и называемую предельной плоскостью. Однако можно строить проекции точек и этой плоскости, если дополнить евклидово пространство бесконечно удаленными несобственными) элементами — точками, прямыми и плоскостью. Дополненное такими элементами пространство называется проективным. [c.7]

Прежде чем говорить об элементах проективного пространства, рассмотрим построение проекции прямой линии. Чтобы спроецировать на плоскость П прямую АО, нужно через все ее точки провести проецирующие прямые и определить точки пересечения этих прямых с плоскостью П. Точки [c.7]

ГЕОМЕТРИЯ ПРОЕКТИВНАЯ. Геометрическая наука, изучающая свойства фигур, не изменяющиеся при проективных преобразованиях, Проективная геометрия рассматривает не метрические свойства геометрических образов, а свойства их взаимного расположения. Базируется она на законах центрального проектирования на наклонную плоскость. Пространство проективной геометрии отличается от эвклидова некоторыми дополнительными свойствами. В последнее время методы проективной геометрии нашли свое отражение в элементарной геометрии, начертательной геометрии и др. [c.25]

Примеры. 1. Преобразование Лежандра гиперповерхность в проективном пространстве поднимается в пространство его контактных элементов в виде лежандрова подмногообразия. Многообразие контактных элементов проективного пространства расслоено и над двойственным проективным пространством (контактному элементу сопоставляется содержащая его плоскость). Это расслоение лежандрово. Проекция поднятого лежандрова многообразия отображает его на гиперповерхность, проективно двойственную исходной. [c.452]

В целях дальнейшего обобщения удобнее рассматривать RH как подмножество вещественного п-мерного проективного пространства RP" прямых, проходящих через начало координат в R" , при отождествлении точки р из верхней половины гиперболоида с прямой, проходящей через начало координат и содержащей V- Риманова метрика, конечно же, не совпадает с метрикой, индуцированной этим отождествлением, но касательные векторы к RH отождествляются с касательными векторами к RP . Гиперболическое расстояние определяется следующим образом. Двум точкам гиперболического пространства соответствуют две прямые в R" + . Плоскость, определяемая ими, пересекает конус Q = 0 еще по двум прямым. Гиперболическое расстояние тогда равно логарифму двойного отношения четырех точек в проективном пространстве, соответствующих этим четырем прямым. [c.557]

Это—уравнение трехмерной сферы в четырехмерном фазовом пространстве переменных t), ф, iji. Поскольку точкам (5. л) и (—I, —т]) соответствует одна и та же точка в плоскости (х. у), то состояния Луны (5, Т), ф, )) и (——ц, —Ф. — Р) следует отождествить. В результате мы получили, что при больших отрицательных А интересующая нас связная компонента трехмерного уровня энергии диффеоморфна трехмерному проективному пространству. Это замечание справедливо, конечно, при всех А<—3/2> 3. [c.87]

Начиная с 1993 года исследования симплектических обобщений упоминавшихся во Введении теорем о четырёх вершинах и четырёх омбилических точках привели к созданию теории инвариантов и перестроек кривых и волновых фронтов на плоскости [192]-[19б], связанной с теорией инвариантов узлов. Появились работы об оценках числа точек уплощений кривых в многомерных проективных пространствах, числа точек возврата на каустиках лагранжевых цилиндров, близких к системе нормалей окружности (лагранжевых коллапсов), и многие другие [194]. [c.157]

Неизвестно, допускают ли бутылка Клейна, проективная плоскость И поверхность эйлеровой характеристики —1 гомеоморфные лагранжевы включения в стандартное 4-пространство (включения, имеющие раскрытые ласточкины хвосты и самопересечения, были построены Гивенталем в [141]). [c.157]

Единственный топологич. инвариант h замкнутых не-ориентируемых поверхностей определяется исходя из следующей их явной конструкции нужно вырезать в поверхности сферы h отверстий и заклеить каждое из них листом Мёбиуса (важно, что его границей является окружность, рис. 2). При /г=1 получается проективная плоскость, при /1 = 2—бутылка Клейна (рис. 3), Эйлерова характеристика такой паверхности, определяемая по аналогии с (I), равна 2—h. Такие поверхности в трёхмерном пространстве обязательно имеют самопересечения. [c.144]

Несобственные элементы проективного пространства. Проведем проецирующую прямую SF , параллельную прямой AD. В точке она пересекается с плоскостью П. Точка с позиций евклидовой геометрии не является проекцией какой-либо точки прямой AD, так как прямые SF x, и AD параллельны. Представим себе, что проецирующая прямая SD скользит по прямой AD, проходя все время через точку S. По мере приближения точки D к точке точка D будет неограниченно удаляться отточки = O и в пределе уйдет в бесконечность. Это произойдет, когда точки В я Fa, совпадут. Следовательно, точку можно рассматривать как проекцию бесконечно удаленной точки Рсо, принадлежащей прямой AD. Таким образом, на каждой прямой, кроме обычных, собственных, точек, есть одна, особая, бесконечно удаленная, или несобственная, точка, которую при дальнейших геометрических построениях мы ни в чем не будем отличать от остальных точек прямой. [c.8]

При данном центре проекций и непроходящей через него плоскости проекций каждая точка проективного пространства (кроме центра проекций) имеет свою единственную проекцию. [c.8]

Начертательная геометрия, в равной мере как и другие науки, использует ряд понятий, для которых легко найти аналогию в повседневной жизни. Так, понятия параллельность или пересечение не вызывают никаких сомнений, так как легко представить себе, например, параллельные прямые (натянутые проволоки) или пересечение прямой с плоскостью (труба, проходящая через отверстие в стене) и т. д. Однако понятия бесконечно больишя или бесконечно удаленная не соответствуют привычным представлениям, из-за чего их осмысливание на первых порах происходит с трудом. Введенные нами несобственные точки, прямые и плоскость следует принять, не пытаясь вначале искать аналогии, раскрывающие их смысл. Можно привести много примеров того, как понятия, вначале трудно воспринимаемые, с течением времени становятся привычными. Например, принятые вначале как должное представления о том, что линия и поверхность не имеют толщины, что точка не имеет никаких измерений, становятся в процессе изучения элементарной геометрии привычными и не требуют пояснений. В последующем, в связи с изучением других разделов начертательной геометрии и курса высшей математики бесконечно удаленные элементы проективного пространства станут такими же привычными, как и те, что заимствованы из повседневной жизни. [c.11]

НЕСОБСТВЕННЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ. В эвклидовом пространстве все элементы его имеют только собственные точки, а в проективном простраь стве существуют еще несобственные бесконечно удаленные точки. К-аждая прямая имеет одну несобственную точку, которая одновременно принадлежит и всем прямым, параллельным данной. Каждая плоскость имеет одну несобственную прямую, которая принадлежит и всем плоскостям, парал- [c.69]

Поскольку большинство оптических систем состоит из поверхностей вращения с общей осью (такие системы обычно на.чываются центрированными), особую роль в оптике играет" случай аксиальной симметрии. Тогда из симметрии системы следует, что изображение любой точки Я,, лежит в плоскости, проходящей через эту точку и ось симметрии поэтому при ияучении свойств соответствующч.х проективных преобразований можно ограничиться рассмотрением точек, лел<аи1их в такой меридиональной плоскости. Пусть эта плоскость совпадает с плоскостью уг, а ось г направлена вдоль оси симметрии. Тогда точка (О, у, г) в пространстве предмета преобразуется в точку (О, г/, г ) в пространстве изображения, где [c.153]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...