Аналитические решения модельных уравнений

Аналитические решения модельных уравнений [c.320]

VI. АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ МОДЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [c.322]

VI. АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ МОДЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ [c.362]

Рис. 2.4. Характер аналитического решения модельного уравнения у — Ху, уо=1 при различных значениях Я расположение Я1. ..Я4 (а) сходящееся решение (б, в) расходящееся решение (г, д)

Исследования течений разреженного газа при помощи уравнения Больцмана приобретают все большее значение в связи с новыми задачами космической и ракетной техники. Книга посвящена аналитическим решениям этого уравнения, его свойствам, вопросам построения модельных кинетических уравнений и т. д. В разработку этих проблем автор внес существенный вклад, и в книге дано наиболее полное освещение современного состояния соответствующих аспектов кинетической теории газов. [c.4]

Основное различие между (10.14) и общими решениями модельных уравнений, рассмотренных в предыдущих разделах, состоит в том, что здесь мы имеем двойной интеграл (который существует в обычном смысле) вместо однократного (типа Коши). Трудность заключается в том, что не существует стандартной теории для уравнений с комплексным ядром Коши и — хю)- и двукратным интегрированием такая теория необходима для конструктивного доказательства полноты и ортогональности. Однако эту теорию можно построить [37], используя некоторые результаты теории обобщенных аналитических функций 38]. В общем случае, если о = а + Ф — комплексная переменная, то обобщенная аналитическая функция / — ф является ком- [c.362]

Когда получение детальных сведений о картине течения не обязательно, расчет перистальтического транспорта удобно основывать на квазиодномерных модельных уравнениях. Ниже рассматриваются общие свойства таких уравнений, включая их построение методом осреднения, и обсуждаются возможности аналитического решения. Приведены также некоторые примеры. [c.642]

В комплексной -плоскости соответствующие ветви решений дисперсионного уравнения могут быть аналитически продолжены в область больших частот ). Аналитическое продолжение решения модельного [c.314]

Теоретический анализ, проведенный в предыдущих главах, показывает, что имеет смысл исследовать линеаризованное уравнение Больцмана и что многие свойства его решений могут быть сохранены при использовании модельных уравнений. Мы можем сказать даже больше правильно выбранное модельное уравнение практически сохраняет все свойства. Преимуш ество этих уравнений по суш еству заключается в упрош ении как аналитического исследования, так и численного решения конкретных граничных задач. В частности, польза модельных уравнений неоценима в тех случаях, когда решение доводится до конца (выражена в квадратурах или через функции, поведение которых можно изучить аналитическими методами). Поэтому мы посвятим эту главу аналитическим методам исследования, с помош ью которых можно извлечь интересную информацию из модельных уравнений. [c.172]

Мы подробно рассмотрим метод разделения переменных, кратко изложенный в 7 гл. 6. При решении задачи этим методом надо, во-первых, найти полный набор решений уравнений с разделенными переменными (элементарных решений) и затем представить общее решение в виде суперпозиции этих решений и, во-вторых, с помощью граничных и начальных условий найти коэффициенты в общем решении. В то время как первую проблему для модельных уравнений, которые обсуждались в гл. 6, можнО решить, вторую можно точно решить лишь в некоторых случаях. Тем не менее метод полезен даже тогда, когда вторая проблема неразрешима или только приближенно разрешима, потому чтО он дает возможность получить решение в аналитическом виде [c.172]

Результаты 8 указывают на то, что задача о сдвиговом течении в рамках модельного БГК-уравнения является особой в том смысле, что для ее решения можно использовать аналитические методы в большей степени, чем для более общих задач и модельных уравнений. Можно, однако, рассмотреть и другие задачи, для которых аналитические методы могут быть столь же успешно развиты. [c.204]

Теория, развитая в гл. IV, показывает, что изучение линеаризованного уравнения Больцмана имеет смысл и что многие свойства его решений могут быть сохранены при использовании модельных уравнений (разд. 9 гл. IV). Можно сказать даже больше правильно выбранное модельное уравнение практически сохраняет все свойства. Преимуш.ество этих уравнений заключается, по суш,еству, в упрош,ении аналитических и численных методов решения граничных задач, представляющих значительный интерес. [c.320]

В частности, польза модельных уравнений неоценима в тех случаях, когда их решение получается в явном виде (выражается интегралами от функций, качественное поведение которых может быть изучено аналитически). Поэтому данная глава будет посвящена аналитическим методам, при помощи которых можно извлечь интересную информацию из модельных уравнений. [c.320]

Для модельных уравнений, рассмотренных в разд. 9 гл. IV, можно решить первую задачу, вторую же удается точно решить лишь в отдельных случаях. Тем не менее метод остается полезным даже тогда, когда вторая задача неразрешима или решается только приближенно, потому что он дает возможность найти аналитическое представление решения и, следовательно, качественно характеризовать его поведение (см. разд. 5). [c.320]

Аналитическое решение системы дифференциальных уравнений, описывающих пожар, может быть получено лишь для некоторых частных случаев [7]. В общем случае система решается численными методами с использованием ЭВМ. В работе [6] приводится пример расчета для помещения кубической формы с геометрическим я параметрами 2й=10 м, У=1000 м р1=р2=р0=4 м , У1=0, У2=2Ь. в данной модельной задаче предполагались известными [c.398]

В некоторых упрощенных гипотетических задачах оказывается возможным для заданного движения трещины найти аналитическое решение, определяющее динамические коэффициенты интенсивности напряжений. Подобные аналитические решения также попадают в категорию модельного генерирования характеристик. Однако аналитические методы ограничены изучением бесконечных или полубесконечных тел. Несмотря на то что влияние конечных размеров тела на коэффициенты интенсивности напряжений хорошо изучено в статических задачах разрушения, дело обстоит по-иному в динамике разрушения, во всяком случае так было до недавнего времени. В [49] было получено полезное по-луаналитическое (приближенное) решение, определяющее динамический коэффициент интенсивности напряжений центральной трещины, развивающейся в пластине конечных размеров. Для проверки справедливости этого полуаналитического решения было проведено численное исследование. Геометрия образца представлена на рис. 11. Трещина стартует при начальной длине Qq = 0.1W и развивается с постоянной скоростью. Приложенная нагрузка о от времени не зависит. Полуаналитическое решение этой задачи [49] определяется уравнениями [c.305]

Получить аналитические решения для двухслойных покрытий при всем многообразии граничных условий и способов загружения не представляется возможным. Это обстоятельство обусловливает необходимость применения численных методов. Однако получение численных решений даже большого количества задач с конкретными граничными условиями и коэффициентами дифференциальных уравнений не всегда дает возможность установить степень влияния изменений совокупности исходных параметров на напряженно-деформированное состояние рассматриваемых конструкций. Поэтому в теоретических исследованиях зачастую применяется смешанный метод, заключаюш,ийся в поиске аналитических решений задач о нанряженно-деформированном состоянии конструкций для простых областей или упро-ш,енных схем, типа балочных, которые уточняются для более сложных условий численными методами. Такой подход требует строгой математической формулировки для упрош енных моделей. Построить математическую модель, учитываюш ую все особенности работы покрытия, в настояш,ий момент не представляется возможным, так как крайне затруднительно достаточно точно сформулировать модельные предпосылки для описания всего спектра природных и физических процессов, происходяш их в покрытиях при воздействии эксплуатационных нагрузок в различные периоды года. В связи с изложенным выше весь комплекс задач, связанных с определением параметров напряженно-деформированного состояния аэродромного покрытия, условно объединим в ряд независимых групп. [c.187]

Предлагаемая читателю монография профессора Миланского университета Карло Черчиньяии ставит своей целью излоя ение лишь аналитических методов решения уравнения Больцмана. Ставя перед собой такую цель, автор, естественно, вынужден был ограничить круг рассматриваемых задач и посвятить значительную часть книги методам решения линеаризированного уравнения Больцмана и модельных уравнений, для которых только и развиты строгие аналитические методы. [c.5]

Метод элементарных решений связан с методом Чепмена — Энскога по крайней мере с двух точек зрения. Во-первых, разложение решения на дискретную и непрерывную части отражает (по крайней мере в простейших модельных уравнениях) отделение решения Чепмена — Энскога (справедливого вдали от твердых границ и некоторого начального состояния) от решения в переходной области, описываемой кинетическими слоями. Во-вторых, элементарные решения особенно эффективны при исследовании задач связи для методов Гильберта и Чепмена — Энскога (особенно для установления граничных условий). Это продемонстрировано нахождением коэффициента скольжения для модельного уравнения БГК. Для более общих модельных уравнений задачу определения граничных условий аналитически решить, вообще говоря, нельзя. Но всегда можно получить довольно точное описание решения, оценивая коэффициенты разложений или поправки к модельным уравнениям низшего порядка. В частности, отделяя нормальные и поперечные степени свободы, можно найти в квадратурах температурный скачок (Черчиньяни [10] гл. 6), результат оказывается очень близким к точному. [c.214]

Третья глава посвящена граничным условиям. В связи с этим обсуждаются явления, происходящие при взаимодействии газа с поверхностью, и роль, которую они играют при доказательстве Я-теоремы Больцмана. В четвертой главе расс1иатриБаются линейные уравнения переноса, в особенности линеаризованное уравнение Больцмана, уравнения переноса нейтронов и излучения, а также линейные модельные уравнения. Основное внимание уделяется общим аспектам этих задач и их решения. В пятой главе обсул<даются предельные случаи бесстолкновитель-ного и почти континуального течений. Шестая глава посвящена аналитическому решению линейных кинетических модельных уравнений с приложением к ряду задач о течениях газа и распространении звука в разреженных газах. [c.8]

Рис. 3.27. Аналитические п конечно-разностные решения стационарного линейного модельного уравнения Q =—и(дудх)a d% dx ), включаюш,его конвективный и диффузионный члены g (0) = О, g(l)=l, и = onst. Решение с центральными конечными разностями, Дл = Vio- Сеточное число Рейнольдса R = и Ах/а. а — аналитические решения б — конечно-разностные решения при Re <2 в — конечно-разностные решения при Re > 2.

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...