Интегралы нормировки

В данном разделе будет проиллюстрировано использование свойства ортогональности собственных функций и различных интегралов нормировки для определения коэффициентов разложения достаточно гладкой функции по собственным функциям. Отдельно будут рассмотрены случаи разложения в полном и в половинном диапазонах. [c.398]

При решении задач теплообмена излучением с помощью метода разложения по собственным функциям приходится интегрировать в полном и половинном диапазонах изменения ц различные функции нормальных мод. Ниже приведены различные интегралы нормировки, соотношения ортогональности и некоторые полезные интегралы, содержащие собственные функции для случая изотропного рассеяния. Выводы приведенных выражений и бол е полные таблицы можно найти в оригинальных публикациях [1, 2, 6, 25]. [c.402]

Функция f(0, л), определенная в положительной половине диапазона изменения представлена в (10.96а) в виде разложения по собственным функциям законность такого представления основана на приведенной выше теореме полноты для половинного диапазона. Коэффициенты разложения Л(т1о) и Л (т]) могут быть определены с помощью соотношений ортогональности собственных функций в половине диапазона (г и различных интегралов нормировки. Отметим, что выражение (10.96а) имеет точно такой же вид, что и (10.53), в силу чего коэффициенты Л(т1о) и Л(т1) можно получить, используя соответственно-формулы (10.54) и (10.56). Коэффициент Л (т]о) равен [c.409]

Заметим, что правые части уравнений (11.92) и (11.93) представляют собой разложения в пределах половины интервала изменения ц,, аналогичные выражению (10.22а). Согласно теореме полноты для половинного интервала, сформулированной в гл. 10, эти разложения носят достаточно обш ий характер, чтобы с их помощью представить произвольную функцию (т. е. левые части этих уравнений), определенную в интервале хе(0, 1). Входящие в эти уравнения коэффициенты разложения можно выделить, используя свойство ортогональности собственных функций и описанные ниже различные интегралы нормировки. [c.457]

Используя различные интегралы нормировки ) и меняя местами т) и т) в результирующих выражениях, получим [c.459]

Используя различные интегралы нормировки и меняя местами Т1 и Ti в результирующих выражениях, уравнения (11,128) пре- [c.467]

При выводе уравнений (11.96) и (11.97) были использованы следующие интегралы нормировки, приведенные в гл. 10 [c.484]

При выводе (11.136) и (11.137) были использованы следующие интегралы нормировки [c.485]

Зная частное решение фр(т, (г), можно найти коэффициенты разложения Л( т]о) и Л( т)) при условии, что решение (12.57) удовлетворяет граничным условиям (12.56), используя свойство ортогональности собственных функций, а также различные интегралы нормировки, рассмотренные в гл. 10 и 11. [c.507]

Решение в виде (12.74) содержит два неизвестных коэффициента разложения Л(т]о) и Л(т]). Предполагая, что частное решение 1 р(т, ц) уравнения переноса излучения известно, можно найти эти коэффициенты, как это описано в гл. 10 и 11, т. е. потребовать, чтобы решение (12.74) удовлетворяло граничному условию при т = О, и использовать свойство ортогональности собственных функций, а также различные интегралы нормировки. Однако частное решение не может быть найдено, пока неизвестна функция 0 (т), входящая в уравнение (12.72). Чтобы обойти эту трудность, предположим, что распределение температуры 0(т) известно в некотором приближении и что функция e (t) может быть представлена в виде ряда, содержащего конечное число членов м [c.515]

Используя формулу (19), легко вычислить нормировку обобщенных сферических функций и другие интегралы от их произведения [c.227]

Предполагаем, что все записанные интегралы существуют. Формулы (5.127)—(5.129) представляют собой обобщение формул (5.22)— (5.24) на случай ненулевых начальных условий. Не требуем выполнения условий нормировки типа t/(l 0) = 1, поскольку в дальнейшем их не используем. Во втором интеграле (5.128) / зг / > О, так что расходимость интеграла при Iq О также не служит ограничением. [c.200]

Предварительно рассмотрим условие нормировки (5.3). При использовании этого условия возникает уже встречавшаяся нам трудность функции и тл w неизвестны в области действия ядерных сил. Можно лишь утверждать, что и тл w стремятся к нулю при г -> 0. Поэтому следует предполагать, что область (О, г , в которой действуют ядерные силы, не играет исключительной роли в интегралах (5.3). Область эффективных значений г в интегралах (5.3) порядка радиуса [c.45]

Таким образ м, если дана пара трансформант Фурье р(г) и (3), то интегралы но квадратам модулей этих трансформант равны друг другу. В теории рядов и интегралов Фурье эта теорема называется теоремой полноты (равенством Парсеваля) [1,10—12], в теории рассеяния эта теорема выражает закон сохранения интенсивности [1—4]. Формула (И) может быть использована для нормировки экспериментальных значений интенсивности к рассеянию, наиример, элементарной ячейкой кристаллов [1, 2] или некоторой молекулой [3, 4], так как в действительности число рассеивающих атомов в объекте почти никогда неизвестно, и проще производить все расчеты, исходя из химической формулы вещества. [c.166]

Нормировка характеристических возмущений определяется интегралом [c.182]

И (в силу нормировки (44.12)) имеем /= I. На нечетных уровнях соответственно ф = г1) = 0и/ = —1. , Из непрерывности ясно, что при малых Н интегралы на четных и нечетных уровнях отличны от нуля и сохраняют тот же знак, что и при Н = 0. Обращение интеграла / на каком-либо уровне в нуль может поэтому произойти лишь при конечных К. С этим обстоятельством и связано появление комплексных декрементов (колебательных возмущений). [c.311]

Это выражение существенно отличается от обычного. В частности, условие нормировки определяется интегралом ф 1 — Для нахождения уравнения Дирака варьируем (40) по что дает [c.254]

Причем Нп(х) — многочлены Эрмита. Для доказательства этого разложения умножим обе части равенства (26) на Н2т х ) и проинтегрируем по х по всей вещественной оси. В интеграле справа используем ортогональность многочленов Эрмита с весом и нормировку интеграла от квадрата на 2 2т) у/п. При интегрировании слева надо подставить выражение для ФП (а , жх) из главы [c.215]

Здесь интегрирование производится по всей области изменения переменных (например, в первом интеграле — в пределах Од < < < со, —со < < Сто, —< Оо < со). При такой нормировке произведение Р af, r)da da dao равно, очевидно, вероятности того, что любой взятый наугад в интервале 306 [c.306]

Нормировка коэффициента направленного светорассеяния на объемный коэффициент рассеяния Р5с более естественна в оптических задачах. Заметим, что при отсутствии поглощения о)(Р) = 1 и последние два выражения не отличаются друг от друга. Возвращаясь теперь к исходному интегралу (3.1), перепишем его следующим образом [c.152]

Для решения одномерной задачи переноса излучения может быть использован метод разложения по собственным функциям (нормальным модам), Предложенный Кейсом [1] в 1960 г. для строгого решения одномерного уравнения переноса нейтронов. В этом методе решение уравнения переноса излучения записывается в виде линейной суммы собственных функций для однородной части уравнения переноса излучения и частного решения неоднородного уравнения. Неизвестные коэффициенты разло жения, фигурирующие в решении однородного уравнения, опрег деляются таким образом, чтобы полное решение удовлетворяло граничным- условиям задачи при этом используются свойство ор.тогональности собственных функций и различные интегралы нормировки. Данный метод аналогичен классическому методу разложения по ортогональным функциям. [c.378]

В настоящей главе приведено упрощенное изложение метода Кейса применительно к решению одномерного уравнения переноса излучения в плоском слое серой изотропно рассеивающей среды. Приведены собственные функции однородного уравн ения, рассмотрены свойства ортогональности собственных функций и приведены различные интегралы нормировки описан способ представления произвольных функций через собственные функции. Подробное изложение теории метода и его приложений, а также обзор литературы даны в работе [2]. Более поздние работы, посвященные методу Кейса, рассмотрены в [3]. В работах [4, 5] этот метод был распространен на случай анизотропно рассеивающих сред. Несколько полезных соотношений ортогональности для собственных функций приведены в [6—8] Мы не собираемся приводить многочисленные ссылки на применение метода Кэйса в теории переноса нейтронов, но упомянем не сколько работ в области переноса излучения. [c.378]

Коэффициенты разложения произвольной функции по собственным функциям могут быть определены с помощью свойства ортогональности собственных функций и различных интегралов нормировки. В данном разделе рассмотрены интегралы нормировки для д 1скретных и непрерывных собственных функций и изотропного рассеяния. Отдельно будут рассмотрены случаи изменения (А в полном диапазоне (—1 л 1) ив половинном диапазоне (О < < 1). [c.392]

Это решение удовлетворяет граничному условию (13.1556), так как в решение однородного уравнения не вошел член, который расходится на бесконечности. Здесь 9(vo, — дискретная собственная функция и ф(у, х)— непрерывная собственная функция, определенные в гл. 10 [см. РО.8) и (10.16)], а два дискретных собственных значения vo являются корнями дисперсионного соотношения (10.9). Два коэффициента разложения (vo, 5 ) и /4(v, ) находятся из условия, чтобы решение (13.157) удовлетворяло граничному условию (13.155а), с последующим использованием свойства ортогональности собственных функций и различных интегралов нормировки, как было описано в гл. 10 и И или в работе [43]. [c.569]

КЛАССИФИКАЦИЯ СИСТЕМ С КВАДРАТИЧНЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ. Имеет место общая теорема, согласно которой система уравнений (5.3), (5.4), имеющая квадратичный по скоростям интеграл движения, независимый с интегралом энергии, заменой переменных может быть приведена к лиувиллеву виду. Доказательство ее опирается на вычисление собственных значений и подходящую нормировку (ортогональных) собственных векторов квадратичной части второго интеграла относительно ри- [c.189]

Сделаем несколько замечаний о свойствах нормировки частичных функций распределения в термодинамическом пределе. Соотношение (3.1.17) ясно показывает, что интегралы от всех частичных распределений (за исключением тривиального / ) стремятся к бесконечности в Г-пределе ). Однако весьма важен вопрос о порядке этой бесконечности, т. е. о главном члене асимп- [c.93]

Такое отличие от единицы фактора 2з является несуш,ественным. Райс и Катц считают, что ноступатель-но-враш ательный парадокс 22 10 связан с ошибочным предположением, будто свободная энергия капли в классической теории зародышеобразования соответствует покоящемуся центру масс капли. Они сначала находят частичную функцию для такой застывшей капли, затем учитывают внутреннее движение центра масс. Доступный этому движению объем полагается равным объему самой капли. В выводе используется выражение для свободной энергии капли через химический потенциал и поверхностное натяжение, а также связь свободной энергии с интегралом состояний. Дискуссия не закончена. Абрахам и Паунд [60] не согласны с анализом [58]. Они тоже применили метод большого канонического ансамбля Гиббса и нашли, что вклад вращательной статистической суммы существенно зависит от модели, которой описывается капля. Соответствующий множитель в нормировке может меняться от [c.61]

Множитель в (7) возник из-за того, что ФП нормирована лнтегралами по частотам ж и Ж1, а стоящие под интегралом функции — по и 1. Нормировка функции (7) по х при сферической индикатрисе означает, что [c.149]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...