Качение шара по неподвижному шару

Качение шара по неподвижному шару. В качестве другого примера, с некоторыми интересными особенностями, мы рассмотрим случай шара, катящегося по другой неподвижной сферической поверхности при отсутствии иных сил кроме реакции в точке касания. [c.99]

Пример 1 (Качение неоднородного шара по плоскости ). Рассмотрим движение шара по неподвижной горизонтальной плоскости. Шар считаем неоднородным, его центр масс совпадает с геометрическим центром, движение происходит без скольжения. [c.321]

Качение шара по неподвижной поверхности. Будем предполагать, что поверхности идеально шероховатые, чтобы не допустить скольжения. Таким образом, будем считать, что имеет место чистое качение. Возьмем подвижные оси координат G1, G2, G3 с началом в центре шара G. Будем предполагать, что шар твердый и однородный или во всяком случае, что центр тяжести его совпадает с геометрическим центром, а эллипсоид инерции в этой точке представляет собой сферу. Ось G3 направим вдоль прямой, соединяющей точку соприкосновения шара с центром шара тогда координаты точки соприкосновения будут (О, О, —а), где а — радиус шара. Условия качения запишутся в виде [c.228]

Из числа пропагандистов точки зрения Г. Герца прежде всего следует назвать А. Пуанкаре и П. Аппеля. А. Пуанкаре дал оригинальное доказательство неголономного характера задачи о чистом качении шара по неподвижной плоскости (пример Герца), показав, что варьированная кривая, совместимая с неголономными связями, не является кинематически возможной траекторией системы. Вслед за этим, трактуя понятие вариации в классическом смысле, он категорически исключил принцип Гамильтона — Остроградского из неголономной механики. [c.90]

Рассмотрим качение шара по неподвижной горизонтальной плоскости. Пусть Р — точка соприкосновения шара и плоскости, С —центр [c.202]

Тяжелый однородный шар связан с неподвижной вертикальной осью тонким невесомым стержнем BD, относительно которого шар может вращаться. Длина стержня BD, перпендикулярного оси Oz, в три раза превышает радиус шара. Какую начальную горизонтальную скорость v перпендикулярно стержню BD необходимо сообщить центру С покоившегося шара, чтобы шар сделал три полных оборота вокруг оси Oz, если коэффициент трения качения шара по горизонтальной плоскости равен f,i Проскальзыванием Ш ара по этой плоскости, а также трепием на осях пренебречь. [c.134]

Качение и верчение шара по плоскости. Трение верчения. — Рассмотрим тяжелый шар, опирающийся на неподвижную горизонтальную плоскость в точке касания О. Если бы существовало только трение скольжения, то самая незначительная пара, приложенная к шару, сообщила бы ему вращательное движение вокруг оси, проходящей через точку О. Вектор этого элементарного вращения можно было бы, вообще говоря, разложить на две составляющие одну, лежащую в неподвижной плоскости и представляющую собой качение, и другую, нормальную к плоскости, — верчение. В действительности же оба эти вращения не обязательно должны иметь место. Если момент пары, приложенной к шару, не превышает некоторого предела, никакого движения не происходит. Плоскость оказывает, таким образом, сопротивление перемещению, обусловленное трением. [c.334]

Если момент движущей пары параллелен неподвижной плоскости, то пара стремится вызвать качение шара по плоскости, и сопротивление, возникающее при этом, представляет собой трение качения. [c.334]

Качение без скольжения шара по плоскости. Положение шара определяется пятью параметрами, за которые принимаем координаты aTq, у центра шара О в системе неподвижных [c.71]

Рассмотрим теперь подробно качение жесткой поверхности 5 по неподвижной поверхности 51, характеризующееся тем, что скорость скольжения г = 0. При качении в каждый момент времени поле скоростей подвижного тела такое же, как если бы оно вращалось с некоторой угловой скоростью (о вокруг некоторой оси, проходящей через точку прикосновения. В зависимости от направления мгновенной оси вращения различают чистое или собственное качение и так называемое верчение. Чистое качение имеет место в случае, когда мгновенная ось вращения движущейся поверхности лежит в касательной плоскости, и верчение — когда мгновенная ось вращения нормальна к касательной плоскости. Примером чистого качения может служить качение цилиндра по плоскости, когда мгновенная ось вращения является образующей, по которой цилиндр соприкасается с плоскостью. Вращение шара на горизонтальной плоскости вокруг его вертикального диаметра может служить примером верчения. [c.23]

Переход скольжения шара в качение на неподвижной плоскости. Шар, скользящий по неподвижной горизонтальной плоскости, начинает катиться. Пайти решение уравнений Эйлера. [c.252]

Пример 22.1.2. Переход скольжения шара в качение по неподвижной шероховатой плоскости. [c.209]

Центр инерции не может перемещаться со скоростью х путем качения шара по поверхности неподвижного диска 3 (см. рис. 29, б), поскольку точка Б касания шара с подвижным диском 5 должна была бы иметь скорость примерно 2х. Это значит, что в указанной точке Б в плоскости хОг должно быть проскальзывание, а в точке Б касания с диском 3 должен быть мгновенный центр скоростей. Но обе точки Б находятся примерно в одинаковых условиях, поэтому проскальзывание будет в обеих этих точках и перемещение шара в направлении X будет иметь неупорядоченный характер. Как правило, перемещение шара в направлении X в реальных конструкциях относительно невелико (меньше диаметра шара), и, в первом приближении, можно считать перемещение в направлении X поступательным движением. Поэтому разница скоростей — 0. Составляющая скорости в направлении 2 xf (х) выражается через составляющую в направлении X, и, в соответствии со сказанным выше, разницей скоростей в этом направлении также можно пренебречь, т. е. = 0. [c.129]

Пример 98. Пусть твёрдый шар радиуса а принуждён катиться без скольжения по плоскости (фиг. 113). Плоскость качения примем за плоскость Оху неподвижной системы координат, причём ось Oz направим в ту сторону от этой плоскости, в которой находится шар. С шаром неизменно свяжем систему осей совместив её начало с центром шара. За координаты рассматриваемой системы примем, как и в предыдущем примере, декартовы координаты точки А и три эйлеровых угла, т. е. А- [c.325]

КАЧЕНИЕ ШЛРА ПО НЕПОДВИЖНОМУ ШАРУ [c.99]

Высшими называются такие пары, в которых требуемое относительное движение может быть получено только соприкосновением элементов пары по линиям или в точках, например шар на плоскости, цилиндр на плоскости, соприкосновение зубьев зубчатых колес и т. д. Высшие пары свойством обратимости не обладают. Рассматривая пару цилиндр — плоскость, устанавливаем, что точки цилиндра при качении его по непо-движнш плоскости описывают траектории--циклоиды, а при обкатывании плоскости по неподвижному цилиндру точки плоскости описывают траектории — эвольвенты. Таким образом, в высших парах формы траекторий точек звеньев будут различными в зависимости от того, какое звено считать неподвижным. [c.19]

Качение тяжелого однородного шара по шаровой поверхности. Общие уравнения движения для случая качения такого шарГ по неподвижной шаровой поверхности могут быть получены следующим образом. [c.164]

Пример 2 (Качение шара по плоскости). Пусть однородный шар движется по неподвижной горизонтальной плоскости без скольжения. Движение шара отнесем к неподвижной системе координат OXYZ с началом в некоторой точке О плоскости, ось 0Z направим вертикально вверх. Пусть иох, — проекции угловой скорости шара на оси ОХ, 0Y, 0Z, а р, q, г — проекции того же вектора на оси Gx, Gy, Gz жестко связанной с шаром системы координат с началом в центре шара. [c.312]

Во введении к своей механике Генрих Герц говорит ), что принцип Гамильтона часто дает физически неверные результаты. В доказательство он приводит случай, в котором, как он сам замечает, путем простого рассуждения без расчетов можно обозреть как те движения, которые могут быть фактически совершены, так и движения, которые соответствуют принципу Гамильтона. Герц добавляет, что результат не меняется, если вместо принципа Гамильтона воспользоваться принципом наименьшего действия Мопер-тюи. Рассмотрим его пример. В этом примере дан шар, который по инерции катится без скольжения по неподвижной горизонтальной плоскости ). Согласно Герцу, здесь принципу Гамильтона будут соответствовать такие движения, которые при заданной постоянной живой силе в кратчайшее время достигают заданной цели отсюда вытекает, что переход из любого начального положения в любое конечное положение был бы возможен без приложения какой бы то ни было силы. Это заключение, которое больше относится к принципу наименьшего действия, нежели к принципу Гамильтона, получается примерно так. Если произвольно выбрать начальное и конечное положения шара, то всегда возможны переходы из первого во второе путем чистого качения ). Из всех этих переходов, каждый из которых совершается при сохранении постоянной живой силы и при одной и той же живой силе, один, определенный, потребует наименьшего времени ). Он соответствует, по мнению Герца, принципу Гамильтона и принципу наименьшего действия. Этому результату Герц противопоставляет тот факт, что в действительности, несмотря на произвол выбора начальной скорости, естественный переход из одного положения в любое другое положение при отсутствии действия сил невозможен. [c.538]

Шар, катяидийся без скольжения по шероховатой поверхности, является простейшим примером неголономной системы. Задача о качении однородного шара по горизонтальной шероховатой плоскости разрешена и ее решение содержится, в частности, в книге [I]. Однако решение этой простейшей задачи не доведено еще, на наш взгляд, до полной ясности. Так, апример, Мак-Миллан приводит дифференциальные уравнения движения шара для углов Эйлера, но из этих уравнений получает только один интеграл — постоянную проекцию угловой скорости шара на вертикальную ось. А будут ли постоянными две другие проекции угловой скорости шара на неподвижные оси координат, остается неизвестным. [c.47]

III. Окончательное интегрирование уравнений движения шара. Р1так, результаты, полученные для катящегося шара с помощью общих теорем динамики и уравнений Аппеля для неголономных систем, совпадают. А именно, мы получили, что в случае чистого качения однородного шара по горизонтальной шероховатой плоскости проекции угловой скорости шара на неподвижные оси координат постоянны и -сам вектор угловой скорости лежит в горизонтальной плоскости (так как при качении без верчения со О), а реакция направлена по нор мали к шлоскости, то есть силы трения равны нулю. [c.55]

При покоящемся роторе у толкателя группы III моделей 9—16 опасность самоторможения во время утапливания штока практически отсутствует, так как требуемое для этого перемещение центробежного груза к оси вращения ротора сопряжено только с потерями на трение качения роликов по вилкам и на трение в подшипниках самих грузов. У тодкателей моделей 1—8 опасность самоторможения при утапливании штока и покоящемся роторе существует, и этот вопрос требует специального рассмотрения. Наиболее опасным с точки зрения возможности самоторможения штока при неподвижном роторе является случай, изображенный на рис. 29, д. Действительно, для утапливания штока необходимо, чтобы диски сблизились. Это возможно только при условии перемещения шаров 15 к оси вращения ротора (на рис. 29, д эту ось считают расположенной горизонтально, проекция дана в сечении плоскостью, перпендикулярной к оси). Такое перемещение возможно при условии преодоления сил трения шаров [c.79]

Например, шар, катящийся по палубе движущегося парохода, можно считать совершающим по отношению к берегу сложное движение, состоящее из качения по отношению к палубе (подвижная система отсчета) и движения вместе с палубой по отношеьшю к берегу (неподвижная система отсчета). Таким путем сложное движение шара разлагается на два более простых и более легко исследуемых. Возможность разложить путем введения дополнительной (подвижной) системы отсчета более сложное движение точки или тела на более простые широко используется при кинематических расчетах и определяет практическую ценность теории сложного движения, рассматриваемой в этой и следующей главах. Кроме того, результаты этой теории используются в динамике для изучения относительного равновесия и относительного движения тел под действием сил, [c.213]

Пример 5. Рассмотрим задачу Чаплыгина о качении по горизонтальной плоскости динамически несимметричного шара, центр масс.которого совпадает с его геометрическим центром. Пусть о — точка касания шара с плоскостью, Ко — его кинетический момент относительно точки о. Задача Чаплыгина допускает группу поворотов 50(3) вокруг точки касания. Момент /so(3) равен, конечно /Со, а момент сил Фо = 0. Следовательно, по теореме 6, /Со = onst. Это замечание позволит нам составить замкнутую систему дифференциальных уравнений качения шара. Пусть ко — кинетический момент в подвижном пространстве, связанном с твердым телом, ш—угловая скорость вращения шара, V — единичный вектор вертикали. Постоянство векторов ко н у в неподвижном пространстве эквивалентно уравнениям [c.96]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...