ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Необходимые условия экстремума из "Аналитические исследования динамики газа и жидкости " Пусть заданы равномерный набегающий поток газа с вектором скорости параллельным оси х и две точки а и Ь, которые должны быть соединены искомым контуром аЬ. (Случай неравномерного набегающего потока здесь рассматриваться не будет.) Тот случай, когда уь Уа, был рассмотрен в предыдущих главах. Если же уь Уа, то контур аЬ вызывает появление в потоке ударной волны, которая называется обычно головной. Будем изучать только случай присоединенной ударной волны, выходящей из точки а. На рис. 3.41 ударная волна изображена линией ас. [c.148] Для рещения этой задачи в качестве контрольного контура L выберем замкнутую линию асЬ, состоящую из линии ударной волны ас, характеристики второго семейства сЬ, проходящей через точку Ь, и искомого контура аЬ. [c.148] Сформулируем вариационную задачу о контуре аЬ, обеспечивающем минимальное волновое сопротивление. [c.151] Эта задача может быть видоизменена благодаря следующим рассуждениям. Проведем через точку с (рис. 3.41) характеристику первого семейства, которая пересечется с контуром аЬ в некоторой точке /. Малые изменения части контура fb не влияют на течение в области о/с. Следовательно, если контур аЬ имеет минимальное сопротивление, то и часть контура /Ь имеет минимальное сопротивление при фиксированной характеристике /с. В противном случае сопротивление всего контура могло бы быть уменьшено за счет уменьшения сопротивления его части. [c.151] Задача построения контура, обладающего минимальным сопротивлением, (такого, как fb) при заданной исходной характеристике первого семейства (такой, как /с) была решена в 3.2-3.4. В частности, при независимой переменной ф такое решение было получено в 3.3.3. Искомые функции на экстремали в этом случае определяются уравнениями (3.27), (3.37)-(3.39), (3.43). [c.151] Из сказанного видно, что при схеме течения, изображенной на рис. 3.41, функция а(ф) выражается через (р ф) независимо от полного решения задачи 6, что сокращает количество свободных функций на единицу. Видоизменение задачи б может быть произведено добавлением уравнений (3.37)-(3.39), (3.43) в качестве дополнительных связей. Такое преобразование является правомерным в силу независимости определения связи между функциями а ф) и ф ф) от условий задачи 6. Подчеркнем, что это преобразование не относится к инволюционным преобразованиям, правомерность которых для вырожденных вариационных задач в настоящее время не изучена. [c.151] установлено, что количество свободных функций в задаче 6 может быть уменьшено на единицу. Самого преобразования вариационной задачи производить не будем, а упомянутые связи получим при ее решении. [c.152] В важном частном случае г(1 - и) - О (осесимметричные течения или плоские течения без ограничения подъемной силы профиля) из (6.24), (6.25) вытекает неравенство Ug О при дополнительных условиях ii О, (т 0. Равенство (6.21) показывает, что в этом случае увеличение ст уменьшает величину J°, которая при выполнении изопериметрических условий и дифференциальных связей задачи 6 отличается от х на постоянную величину. Иными словами, сопротивление любого контура может быть уменьшено, если U О и если вариация 6а О допустима. [c.153] С равенством (6.17) связано известное свойство ударных волн увеличение угла наклона ударной волны а приводит к увеличению энтропии газа за ударной волной. Таким образом, функция (р увеличивается вместе с а. Отсюда видно, что вариация i t О допустима только тогда, когда p[a i ) Из сказанного ранее заключаем, что величина х не может быть уменьшена за счет увеличения а только при условии p a ip) = Последнее равенство приводит к краевому экстремуму. Итак, решению задачи 6 в осесимметричном случае или в плоском случае без ограничений на подъемную силу профиля соответствуют течения с головной ударной волной, не содержащие иных ударных волн в области аЬс, если интенсивность ударной волны может быть изменена малыми вариациями контура аЬ. [c.153] Заметим попутно, что схема течений с ударными волнами, изображенная на рис. 3.17 не противоречит сформулированному утверждению, поскольку в этом случае малые деформации контура аЬ не вызывают появления головной ударной волны. [c.154] При выполнении этого равенства в задаче 6 по существу сохраняется одна свободная функция а(ф). Таким образом, возникает новая задача. [c.154] Задача 7. Найти функции а ф), o (V ). из которых a(V ) принадлежит классу d, а а -ф) принадлежит классу Е, реализующие минимум функционала (6.7) при изопериметрических условиях (6.8), (6.9) дифференциальных связях (6.10), (6.11), условии (6.27), при заданных величинах уа, уь, Фа, С, X, фаничных условиях (6.12), (6.19) и условиях (6.14)-(6.16), если разрыв функций в точке с обусловлен только головной ударной волной. Во всяком случае разрывы функций a ip), должны принадлежать классу. [c.154] Равенства (6.39), (6.40) являются интегралами уравнений задачи 7. В этом можно убедиться непосредственной проверкой. [c.157] Елисеев и Б. М. Киселев сообщили автору, что при V = 1 равенство (6.41) выполняется в силу уравнений (6.30), (6.39), (6.40). Это утверждение имеет место и здесь. Для его проверки удобнее подынтегральные выражения в контурных интегралах по ас в (6.7)-(6.9) записать не через функции в невозмушенном потоке, а через функции за ударной волной. [c.158] Отмеченное свойство условия (6.41) имеет место, если разрыв величин в точке с обусловлен только ударной волной ас (класс Р ). [c.158] Вернуться к основной статье