ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Необходимые условия экстремума из "Аналитические исследования динамики газа и жидкости " В вариационной задаче 1 свободна только функция а у). Поэтому удобно рассмотреть (рис. 3.8) плоскость у, а. [c.75] Зависимость а = А у) на характеристике ое изображается на рис. 3.8 кривой с теми же обозначениями. Выберем на ое, произвольную точку с. Из точки с проведем кривую сЛ на которой 1а/ И имеет минимальное значение (см. 3.1.3). Эта кривая изображает зависимость а у) на характеристике ск в том случае, когда кривизна образующей аЬ в точке о равна -оо, то есть, когда контур аЬ имеет излом [28, 33] в точке о. Течение, которому принадлежит характеристика сЛ, аналогично течению Прандтля—Майера и полностью определяется характеристикой ас и изломом образующей в точке а. В области сак характеристики первого семейства образуют пучок с центром в а. Если на всей характеристике ск имеет место неравенство 1 - а О, кривая ск имеет вид, приведенный на рис. 3.8. [c.75] Принадлежность а[у( )] классу означает, в частности, следующее. Если кривая а(у) совпадает с ск, то допустимой является только вариация 6а 0. Изменение 6а 0, не может быть обусловлено никаким непрерывным контуром аЬ. [c.75] Предположим, что кривая кЬ определяется рещением уравнений Эйлера задачи и дает двусторонний экстремум. Покажем, что при такой схеме количество произволов в определении функций совпадает с количеством условий. В дальнейщем будет определена область существования решений этого вида (3.3 и 3.4). [c.75] Вычислим первую вариацию функционала (2.31). Отметим важное различие между вычислением вариации исходного функционала (2.20) и записанного здесь функционала (2.31). В первом случае варьирование производилось без учета ограничений, налагаемых на функции клас-са Во второй случае искомая функция а(у) уже не свободна на участке ск. [c.76] Она остается свободной только на отрезке Ьк, а конец к этой экстремали лежит в области сак с заранее определенными функциями а х,у), д х,у). Таким образом, первое слагаемое правой части (2.31) является функцией от ус, а второе слагаемое — функцией от хн, Ун- Если во втором случае удастся добиться обращения в нуль первой вариации, то это не означает, что первая вариация функционала (2.20) также обратится в нуль. Наоборот, она, вообще говоря, не равна нулю, поскольку 0 на ск. На характеристике ск допустима односторонняя вариация 6а. Необходимым условием минимума х является увеличение х допустимых вариациях 6а. [c.76] Точка к в плоскостях х,у и у, а свободна (задача Больца). Течение в области сак неизменно, произвольным является только выбор границ ак и кс этой области. На участке Ьк функция а(у) свободна, но принадлежит классу О . Таким образом, среди концевых значений произвольными являются две координаты точки к, полностью определяющие область сак. [c.76] В качестве направлений, по которым варьируется положение точки к, выберем касательные к характеристикам первого и второго семейства в точке к. Соответствующие вариации величины у в точке к обозначим через 6у и 6у 2. [c.76] Варьирование по направлению характеристики второго семейства проведем для I в форме (2.31). При этом первый член в (2.31) остается неизменным, второй уменьщается на Фй5ул2. а третий возрастает на ту же величину, поскольку функция Ф непрерывна при непрерывной зависимости о от у. [c.77] Конкретный вид величины L для дальнейщего несуществен. Из (2.33) по-прежнему могут быть получены уравнения Эйлера. Они в точности совпадают с (2.28)-(2.30). [c.77] В рассматриваемой схеме (рис. 3.9) свобода выбора характеристики ак дает недостающий произвол. В то же время соответствующее произволу в выборе Лу з условие трансверсальности оказалось тождеством. Таким образом, количество произволов в определении функций совпадает с количеством условий. Конечно, окончательное заключение о разрещимости задачи требует более детального ее изучения. [c.77] На участке ЬН характеристики второго семейства (рис. 3.9) должны выполняться уравнения (2.15), (2.28)-(2.30) при граничных условиях (2.12), (2.18), (2.24), (2.34). [c.78] Решение краевой задачи. Введем произвольную характеристику первого семейства д1. В силу того, что при сверхзвуковых скоростях уравнения (1.6)-(1.9) имеют гиперболический тип, форма отрезка дЬ не влияет на обтекание отрезка ад. Поэтому, если контур аЬ обладает минимальным сопротивлением при заданной характеристике ае и определенных величинах Ф, Г, то и отрезок дЬ должен иметь минимальное сопротивление при фиксированной характеристике д1 и своих фиксированных величинах Ф, X. В противном случае уменьщение сопротивления отрезка дЬ привело бы к уменьщению сопротивления всего контура аЬ. На участке 1Ь выполняются уравнения (2.15), (2.28)-(2.30), а в точке Ь — граничное условие (2.24). Условия непрерывности функций а, 1 , в точке I и первое условие из (2.12) также удовлетворяются. Но если участок дЬ контура обладает минимальным сопротивлением, то в точке I должно выполняться и условие трансверсальности (2.34), записанное для 4/ Это условие в силу произвольности выбранной характеристики д1 должно выполняться на всей характеристике ЬН. Поэтому оно должно являться интегралом системы уравнений (2.11), (2.15), (2.28)-(2.30). [c.78] Равенства (2.28), (2.34), (2.35) являются интегралом системы уравнений (2.11), (2.15), (2.28)-(2.30), удовлетворяющим граничным условиям (2.24) при у = и (2.34) при у = Ун- Равенство (2.28) может быть заменено более простым равенством (2.29) при у) = 0. [c.79] Эвристические рассуждения, которые привели к этому результату требуют проверки. [c.79] Отсюда видим, что действительно равенство (2.15) или, что то же самое, равенство (1.18) выполняется при v = 0 н v = I. [c.80] Вернуться к основной статье