Эйлера константа

Резюме. Если из условия стационарности определенного интеграла, содержащего не одну, а несколько неизвестных функций, требуется найти эти функции, то можно варьировать эти функции независимо друг от друга. Поэтому для каждой функции в отдельности можно написать дифференциальное уравнение Эйлера — Лагранжа. В результате получается система п дифференциальных уравнений второго порядка. Решение этой системы уравнений определяет п искомых функций, которые оказываются выраженными через независимую переменную (время t) и 2п констант интегрирования. [c.85]

Чтобы понять смысл константы и вычислить ее, выведем интегральное выражение сопротивления тела через скорости в сечении следа на большом удалении от тела. Применим теорему количеств движения в форме Эйлера к контрольной поверхности, охватывающей тело и имеющей вид прямоугольника со сторонами, параллельными осям координат. На рис. 188 прямоугольник показан штрихами. Считая стороны его 2h и 2L достаточно большими, будем иметь с тем меньшей ошибкой, чем больше эти стороны, и, в частности, чем больше h, [c.498]

Очевидно, для исторической точности Е следовало бы назвать модулем Эйлера , хотя, сам чрезвычайно богатый научными результатами, Эйлер проявлял к нему, несомненно, менее чем умеренный интерес. Возможно, первым экспериментатором, определившим эту константу материала должным образом, в современном смысле, т. е. независимо от плотности материала и формы и размеров образца, был Альфонс Дюло (1812 г.). [c.220]

Здесь константа Эйлера у = 0,5772..., а константа К для семейства профилей (4.65) при РК = О есть [c.238]

Таким образом, при локализации 80(3)1>Т(3) можно построить новый лагранжиан, инвариантный относительно этой группы. Его вариация приведет к замкнутой системе уравнений Эйлера относительно Д, Г и 5, в которые войдут четыре подгоночных параметра две константы связи 2 и две скорости распространения С1 и Сг. [c.32]

В этом случае мы не можем применять интеграл Лагранжа—Бернулли, так как поток не потенциальный. Казалось бы нужно обратиться к интегралу Бернулли. Однако и его мы использовать не можем, так как на различных линиях тока внутри вихря константа уравнения Бернулли различна и нам неизвестна, уравнениям Эйлера. Так как движение массовыми силами мы пренебрегаем. [c.108]

Если гамильтониан Н не зависит от т. е. vi H) = 0), то уравнения для квазиимпульсов Mi, Mj. замыкаются. Так могут быть получены уравнения Эйлера движения твердого тела по инерции, при этом константы fj определяются алгеброй so(3). Для произвольной алгебры со структурными константами такого рода уравнения с квадратичным гамильтонианом также (как и в п. 1) называются уравнениями Эйлера-Пуанкаре. [c.37]

В отличие от уравнений Эйлера-Пуассона, значение константы сг в интеграле F2, выражающего неизменность величины импульсивной силы, не обязательно равняется единице. [c.165]

Рис. 3-4-3. Возмущение константы площадей интегрируемого случая Горячева-Чаплыгина в динамике твердого тела (уравнения Эйлера-Пуассона). х-Ю. у 0, г 10, ( >од(4, 4, ) , ц 4, Е 50, Н-1.

Этот частный вид уравнения Лагранжа называется уравнением Эйлера. Оно выражает закономерность, в соответствии с которой прк потенциальном установившемся движении газа полная энергия единицы массы является велл чиной постоянной для всех точек потока. Таким образом, константа в уравнении Эйлера будет не только одинаковой для всей области потока, но в отличие от функции С(/) интеграла Лагранжа не зависящей от времени. [c.129]

Эйлера которого равны 1 з, 0 и ф. Константа j определяется условием нормировки, которое имеет вид [c.515]

В случае однородной несжимаемой жидкости с постоянной массой в каждой частице плотность р будет некоторой константой, служащей физической характеристикой данного сорта жидкости [126]. Тогда полная система уравнений для идеальной несжимаемой жидкости будет состоять из уравнений Эйлера (1.1) и уравнения неразрывности [c.10]

Для доказательства этих соотношений имеется несколько методов. Во-первых, алгебраический метод Эйлера (см. Зигель, 1969). Для квадратичных соотношений можно также непосредственно вычислить 0 , исходя из рядов (I. 1). Наконец, самый общий метод состоит в том, чтобы построить эллиптическую функцию, не имеющую полюсов в параллелограмме периодов, и, сославшись на теорему Лиувилля, установить, что она равна константе. [c.192]

IV.2. Вращение волчка вокруг своих главных осей. В случае несимметричного волчка (см. рис. 46а, б) вращение вокруг главных осей, соответствующих наибольшему или наименьшему моментам инерции, является устойчивым, а вращение вокруг оси, соответствующей среднему главному моменту, — неустойчивым. Для аналитического доказательства этого предложения нужно исходить из уравнений Эйлера и принять угловую скорость вращения вокруг оси, равной р = onst = ро- Угловые скорости вращения q и г вокруг остальных двух главных осей инерции, которые вначале равны нулю, под влиянием внешнего возмущения принимают отличные от нуля значения. Если предположить, что возмущение мало, то из первого уравнения Эйлера следует, что р в первом приближении остается неизменным и равным р + 0. Из остальных двух уравнений получаем для q и г систему двух линейных дифференциальных уравнений первого порядка. Полагая q = и г = где а иЬ произвольные константы, получаем квадратное уравнение для Л, из рассмотрения которого и вытекает высказанное нами выше утверждение. [c.326]

Задача 2. Применить дифференциальные уравнения Эйлера — Лагранжа к интегралу (.3.4.16). Если отонадествить " с I/, то дифференциальное уравнение для можно непосредственно проинтегрировать. Показать, что результат в обеих задачах совпадает. Во второй задаче л — константа и совершенно отличается от А из первой задачи. [c.107]

Поместим в однородный поток вязкой несжимаемой жидкости с кинематическим коэффициентом v, плотностью р и постоянной скоростью Voo цилиндр диаметра d и поставим задачу об определении сопротивления цилиндра набегающему на него потоку в предположении, что движение стационарно, а объемных сил нет. Тогда среди необходимых условий подобия (40) остаются лишь два Ей = idem и Re = idem. Число Рейнольдса, в данном случае равное Re = V odiv, является критерием подобия, так как содержит заданные наперед масштабы скоростей — Foo, длин — d ж также заданную физическую константу V. Сила сопротивления — обозначим ее величину через W— может быть определена только после решения задачи обтекания, так как она вычисляется суммированием по поверхности цилиндра сил давления потока на поверхность и сил трения жидкости о поверхность цилиндра, которые в свою очередь зависят от решения задачи обтекания. Число Эйлера, содержащее в своем составе масштаб неизвестного наперед давления, не может [c.370]

Что касается первоисточника величины, обычно называемой модулем Юнга , то Трусделл обнаружил идею, высказанную в манускрипте Эйлера, написанном в 1727 г., за 80 лет до того, как Томас Юнг (Young [1807, 1]) ввел в литературу по механике твердого тела свое понятие высота модуля и вес модуля . Хотя манускрипт Эйлера не был опубликован до 1862 г. Эйлер ввел понятие модуля и применил его в работе 1766 г., а Джордано Риккати использовал его в статье, опубликованной в 1767 г. (Truesdell [1960, 1], стр. 402). Численное значение модуля упругости, являющегося константой материала, не должно зависеть от размера и формы образца. Трусделл показывает что Эйлер после введения модуля Е в точности в современном смысле выбрал для использования вместо модуля упругости материала величину, включающую множитель l/(pg), т. е. величину, обратную весовой плотности, а именно h=El(pg). [c.220]

Попутно не вредно обсудить вопрос о так называемых константах материала, термине, широко употребляемом в механике сплошной среды. Константы или постоянные материала действительно существуют, пока материал рассматривается на уровне кристаллической решетки. Чем больше по масштабной шкале (укрупняя объем) мы уходим от параметров решетки, тем менее константы остаются таковыми. Для уяснения степени постоянства укажем на введенное Я.Б. Фридманом деление механических свойств на докритические, критические и закритические [261]. Все они в равной мере относятся к трем, последовательно возникающим и параллельно идущим вплоть до полного разрушения, видам деформации — упругой, пластической и разрушения. Докритические определяются по допуску на величину данного вида деформации или на появление нового, и это на стадии возрастающей несущей способности. Папример, условный предел текучести определяется по допуску на величину появившегося на фоне упругой деформации, нового вида деформации — пластической. Докритические характеристики можно считать постоянными материала. Па стадии упругой деформации модули упругости и коэффициент Пуассона — докритические характеристики и, следовательно, постоянные материала. По, например, критическое напряжение Эйлера сжатого упругого стержня есть механическая характеристика, отражающая свойства упругости в момент потери устойчивости и, как и положено критической характеристике, зависит не только от докрити-ческих характеристик, но и от формы и размеров стержня и условий закрепления. Аналогично предел прочности (временное сопротивление) является критической характеристикой, поскольку шейкообразо-вание представляет собой смену форм равновесия и сопровождается прекращением роста несущей способности. Естественно, что предел прочности должен зависеть и зависит от размеров, формы образца и схемы приложения нагрузки. По привычка считать предел прочности постоянной материала (естественно, имеется в виду неизменность условий нагружения, скорости, температуры, среды и т.п.) есть результат стандартизации метода его определения. Изменив габариты, форму сечения, взяв, наконец, вообще реальную конструкционную деталь, получим сильно различающиеся значения пределов прочности, что и должно быть для критической характеристики. Поэтому неудивительно, что при разрушении реальной детали напряжение в [c.14]

Здесь ц = т/ т N = 1п(2/ /е )-Сд +1/4, =0,5772 - константа Эйлера Зт - п-й нуль функции Бесселя / (Р)- Частоты нейтральных волн помечены индексами, понятными из записи уравнений. Знак означает второй корень для случая , гпфО. При Р 1 игпфО второй корень дисперсион- [c.190]

Функции Рг и Р2 являются интегралами уравнений (1.6) с любым гамильтонианом Н. Для уравнений Эйлера-Пуассона они имеют естественное физическое и геометрическое происхождение. Интеграл Р представляет собой проекцию кинетического момента на неподвижную вертикальную ось и называется в динамике твердого тела интегралом площадей, он связан с симметрией относительно вращений вокруг неподвижной вертикальной оси. Происхождение интеграла Р2 = onst чисто геометрическое — это квадрат модуля единичного орта вертикали. Для действительных движений значение константы этого интеграла равно единице 2 = 7 = 1- [c.86]

Следует отчетливо уяснить различие рассмотренных уравнений Громека и Бернулли. Оба они выведены для вихревого (непотенциального) течелия, однако первое уравнение отражает факт посто- -янства полной энергии единицы массы газа во всей области, где вихревые линии и линии тока совпадают, а второе уравнение устанавливает закономерность, в соответствии с которой постоянство этой энергии имеет место вдоль данной линии тока или вихревой линии. В соответствии с этим в уравнении Громека константа будет одинаковой для всей рассматриваемой области по-тока, а в уравнении Бернулли она относится к данной линии тока -или вихревой линии. Естественно, в общем случае обе константы, l и Сь неодинаковы. Из сказанного также вытекает различие, с одной стороны, между этими уравнениями п, с другой стороны,. уравнениями Лагранжа и Эйлера, относящимися соответственно к неустановившемуся и установившемуся безвих- 130 [c.130]

Как уже было сказано, в задаче Кеплера или в приводящейся к пей задаче двух тел финальный тип движения определяется знаком константы энергии и остается одним и тем же как при t -Ьоо, так и при t —оо. В своих мемуарах [39] и [40] Ж. Шази сформулировал аналогичное утверждение и для задачи трех тел, и довольно долго математический, и особенно астрономический, мир был убежден, что такая замечательная симметрия действительно имеет место. В ее пользу говорило также и то, что во всех случаях, когда удавалось получить точные результаты (не использующие численного интегрирования), поведение решений при t сх) оказывалось одним и тем же. Кроме частных решений (Эйлера, Лагранжа, периодических решений Пуанкаре и т. д.) можно упомянуть здесь еще о теоремах Биркгофа [1], гл. 9, из которых следовало, что множества ПН и НЕ ПНЕ содержат внутренние точки. [c.44]

Описанный путь определения состава газовой смеси в камере сгорания через константы равновесия вовсе ие единственный. В термодинамике, как и в механике, получил распространение вариационный подход, связанный с минимизацией ил11 максимизацией некоторых функционалов. Универсальность такого подхода известна давно. Еще два с половиной века назад великим Эйлером по этому поводу были сказаны слова, настолько любопытные и многозначительные, что их нельзя не привести здесь полностью [c.216]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...