Аксиома счетности вторая

Рассмотрим локально компактную метризуемую топологическую группу G. Этот класс включает, с одной стороны, компактные коммутативные группы, удовлетворяющие второй аксиоме счетности, которые появились в 1.3, и, с другой стороны, группы Ли, например группы изометрий гиперболической плоскости ( 5.4 и 17.5). Торы относятся к обоим классам. [c.240]

Факторпространства также часто являются гладкими многообразиями, например единичная окружность, рассматриваемая как R/Z, тор — R" /Z" или компактные факторы гиперболической плоскости. Во всех случаях естественные карты, которые используются для определения топологической структуры на этих пространствах, гладко совместимы. И наоборот, гладкая структура на многообразии всегда поднимается до гладкой структуры на любом накрывающем пространстве. В развитии анализа на многообразиях важную роль сыграл тот факт, что (при использовании нашего предположения о наличии второй аксиомы счетности, т. е. о существо- [c.702]

Очевидно, что понятие сети можно рассматривать как обобщение понятия последовательности. Такое обобщение необходимо, если топологическое пространство Ж не удовлетворяет первой аксиоме счетности, т. е. если нельзя утверждать, что для каждой точки х Ж существует счетный базис окрестностей. Мы не вводили это обобщение ранее потому, что С -ал-гебра Я с топологией, индуцированной нормой, относится к числу тех метрических пространств, которые удовлетворяют первой аксиоме счетности. В этой связи заметим, что метрическое пространство X удовлетворяет второй аксиоме счетности (т, е. в Ж суп1ествует счетный базис окрестностей) в том и только в том случае, если оно сепарабельно (т. е. существует счетное подмножество х элементов пространства Ж, которое плотно в Ж). Вернемся теперь к множеству <3 всех состояний на С -алгебре 9 . Выясним, является ли множество < , снабженное -топологией, метрическим пространством. Ответ на этот вопрос утвердителен в том и только в том случае, если алгебра (и, следовательно, самосопряжённая часть алгебры 31) сепарабельна. Кроме того, если алгебра Я сепарабельна, то множество также сепарабельно, поскольку оно компактно ). Но поскольку нам необходимо рассматривать и несепарабельные С -алгебры, мы не предполагаем, что множество , наделенное -топологией, является метрическим пространством, и будем работать не с последовательностями, а с сетями. [c.135]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...