Производные компонент вектора ковариантные

Что такое ковариантные производные компонент векторов и тензоров Выведите формулы (I.I37), (1.138). [c.65]

При рассмотрении общих вопросов теории упругости и теории оболочек часто используют ковариантные производные компонент векторов и тензоров. Так, величины [c.13]

По формулам (3.17) при помощи ковариантных производных кова-риантных и контравариантных компонентов вектора перемещения и в системе направлений базисных векторов е и йа вычисляются компоненты тензора деформации. [c.49]

Частные производные представляют собой ковариантные компоненты вектора, который называется градиентом скалярной функции [c.417]

В выражении df /dx индекс i является нижним. Поэтому производные д lдx определяют ковариантные компоненты вектора [c.54]

Ковариантные производные являются тензорными величинами. Например, ковариантные производные контравариантных компонент вектора есть [c.61]

Величины V/ai(V/a ) называются ковариантными производными от ковариантных (контравариантных) компонентов вектора а. Аналогично ковариантные производные от компонентов тензора вычисляются по формулам вида [c.212]

Введение ковариантной производной имеет смысл лишь для компонент векторов и тензоров. Для самих же векторов и тензоров (так же как и для скаляра) ковариантные производные совпадают [c.255]

Вообще говоря, матрицы и не обязательно совпадают (совпадение имеет место для ортогональных преобразований), поэтому законы преобразования компонент градиента скалярной функции и компонент вектора г различны. В связи с этим в общей теории тензоров оказывается необходимым различать два вида векторов и тензоров — контравариантные и ковариант-ные. Не приводя полного определения, дадим часто употребляемое. Говорят, что контравариантный вектор — это такой вектор, компоненты которого Л,- преобразуются при переходе к другой системе координат, как компоненты вектора г. Аналогично величины /4,- определяют ковариантный вектор, если прй переходе от одной системы координат к другой эти компоненты преобразуются как компоненты градиента функции, т. е. как частные производные по координатам. Для аффинных ортогональных векторов понятия ковариантного и контравариантного векторов являются совпадающими. В общей теории тензоров рассматриваются не только неортогональные, но и нелинейные преобразования координат. [c.25]

Ковариантная производная контравариантных компонент вектора определяется формулой [c.72]

Здесь использовано определение базисного вектора е. =5г/Э< , независимость t и лагранжевых координат а также известное из тензорного анализа выражение для производной от вектора по криволинейной координате через ковариантную производную и = D (i, < ) — компоненты вектора V в лагранжевой системе. [c.314]

Тензорный характер этих величин обнаруживается рассмотрением разности компонент тензоров третьего ранга —вторых ковариантных производных контравариантных компонент вектора а. Имеем [c.488]

Из определения ковариантной производной (ее линейности по компонентам вектора) ясно, что ковариантная производная от суммы контравариантных компонент равна сумме ковариантных производных [c.81]

С — замкнутый контур, стягивающийся к точке М на поверхности разрыва S in — нормальная составляющая на контуре С вектора i Асг — площадь элемента поверхности S, ограниченного контуром С-, div i — двумерная дивергенция вектора i, определенная на поверхности S i и компоненты вектора i, а V,j — ковариантные производные в системе координат на поверхности S. [c.370]

Здесь через символ V . обозначена ковариантная производная по х , причем первые производные ж/ рассматриваются при фиксированных значениях индекса j как компоненты вектора по индексу г эти векторы определяют собой компоненты вектора скорости, соответствующие повороты, а при сравнении данного положения тела с некоторым мысленно вводимым начальным положением компоненты тензора, связанного с деформацией [c.467]

Конечно, выражения (IV. 148) и (IV. 150) представляют компоненты одного тензора — ковариантной производной вектора а. Это можно доказать на основании формулы (1.74). Но фактическое проведение вычислений требует установления правил абсолютного дифференцирования тензоров более высокого ранга, чем первый. [c.386]

Компоненты тензора малого поворота и вектора поворота. Заменяя в формуле (1.29) обычные частные производные ковариантными, получим формулу для компонент тензора малого поворота в криволинейных координатах [c.117]

Векторные компоненты тензора V (aij) найдем по формулам (11.12), в которых вектор а нужно заменить тензором (aij), а компоненты а, Oj,, Оф — векторными компонентами />, Ру, тензора atj). Векторные компоненты тензора V (VS) определятся формулами (11.5), если положить, что не записанная в них функция равна V2. При этом производные в формулах (11.12) и (11.5) следует заменить ковариантными производными ковариантных векторов на основании (2 .60) [c.369]

Но здесь при вычислении ковариантных производных нужно использовать символы Кристоффеля, вычисленные для деформированного тела, и составляющие вектора Я брать по отношению к базису, связанному с деформированной координатной сеткой. Таким образом, все трудности остаются, не будучи написанными в явном виде. В этом смысле уравнения (7.9.3) и (7.9.4) кажутся проще, они относятся к декартовой системе координат, не деформирующейся с деформацией тела. Компоненты тензора напряжений также сохраняют механический смысл, это — обобщенные силы, соответствующие обобщенным перемещениям е,> [c.235]

Отмстим, что операция ковариантного дифференцирования введена для компонент вектора и тензоров. Салт же тензоры (векторы) являются инвариантными (не зависящими от выбора системы координат) величинами (без индексов). Для них ковариантная производная совпадает с обычной частной производной. Поэтому [c.178]

Таким образом, координатные векторы, компоненты метрического и дискриминантного тензоров при ковариантном дифференцировании можно считать постоянньпли. Заметим, что операция ко-вариантного дифференцирования введена для компонент векторов и тензоров. Сами же тензоры (векторы) являются инвариантными (не зависящими от выбора системы координат) величинами (без индексов). Для них ковариантная производная совпадает с обычной производной. [c.14]

Формула (12.1 ) встречается также в дифференциальной геометрии в теории параллельного переноса и ясно показывает различие между 8F/Si и йР1(И. Заметим, что в прямоугольной системе координат оба этих определения совпадают, ЬР Ы .йР1М другими словами, точно так же как обобщение обычной производной приводит к понятию ковариантной производной, обобщение понятия материальной производной с1Р (11 приводит к операции ЬР Ы. Заметим, наконец, что при использовании понятия материальной производной удобнее исходить из формулы (12,1 ). а не (12.1). Ниже мы будем пользоваться векторными обозначениями определения п. 2 переносятся при этом на случай произвольной криволинейной системы координат очевидным образом. Например, символ будет теперь обозначать упорядоченную тройку ковариантных или контравариантных (в зависимости от ситуации) компонент вектора скорости, а формула (12.1) запишется в виде [c.34]

Задача 8.3. Найти материальную производную от вектора A(i, Г), заданног( своими ковариантными компонентами А. в лагранжевых переменных, т. е [c.214]

В уравнениях (1)-(3), как и во всей статье, обозначено -оператор ковариантной производной =5 +ag ,J =е, + g,J /3 -компоненты тензоров напряжений и скорости деформации, соответственно - компоненты девиаторов напряжений и скорости деформации, соответственно а, - компоненты шаровых тензоров - компоненты метрических тензоров У , у - компоненты векторов скорости и ускорения, соответственно g , - плотность заданной массовой силы р - массовая плотность верхние индексы соответствуют контравариантным, а нижние - кова иант-ным компонентам тензоров. [c.6]

Контраварпантные компоненты, а также другие типы смешанных компонент тензора Va получаются поднятием второго индекса в уравнениях (1-4.9) и (1-4,14) соответственно. Символы и а, - называются контравариантными производными контрава-риантного и ковариантного векторов соответственно. [c.33]

Вся приведенная выше теория нанряженнй п деформаций сохраняется и при пользовании произвольной криволинейной, не обязательно ортогональной системой координат. В качестве базисных векторов принимают производные от радиуса-вектора точки по криволине1шым координатам j = rj, по отношению к этому базису вектор или тензор задаются контравариантными компонентами. По отношению к взаимному базису векторы и тензоры задаются ковариантными составляющими. [c.231]

V. 3. Ковариантное дифференцирование. Проведение вычислений с векторными и тензорными величинами требует введения координатного базиса и рассмотрения в нем компонент той или иной природы (ко-, коитравариантных, смешанных). Изменение инварианта (скаляра, вектора, тензора) при смещении из данной точки в соседнюю обусловлено лишь свойствами этого инварианта иначе обстоит дело с компонентами, так как их изменения зависят еще от величин и направлений базисных векторов. Пусть, например, контравариантные компоненты а вектора а не зависят от координат q , их частные производные по этим переменным — нули, но было бы ошибкой считать, что остается неизменным и вектор а. Верно и обратное при постоянном векторе а его компоненты а или as не сохраняют постоянных значений. Задачей последующего является введение таких характеристик изменяемости векторов и тензоров, в которых учитывались бы изменения как самих этих величин, так и координатного базиса, к которому они отнесены. Это достигается введением операции ковариантного (или абсолютного) дифференцирования. [c.880]

Смотреть страницы где упоминается термин Производные компонент вектора ковариантные : [c.490] [c.314] [c.17] [c.80] [c.322] [c.118] [c.59] [c.59] [c.96] [c.881] [c.18] [c.255] [c.178] [c.13] [c.87] [c.112] [c.473] [c.79] [c.17] [c.113] [c.663] [c.61]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...