Матрица монодромии периодического

Теорема Пуанкаре-Ляпунова. Характеристический многочлен р ) матрицы монодромии периодического решения гамильтоновой системы (1.4) возвратный р)Х = = ЛХ1/Л). [c.76]

Оригинальное доказательство теоремы 4, данное самим Пуанкаре, основано на другой идее. Пусть f p) — Р—рЕ —характеристический многочлен матрицы монодромии периодического решения гамильтоновой системы с п степенями свободы. Положим f p) = = (р — 1)д р). Согласно известной теореме Пуанкаре—Ляпунова, многочлен д возвратный р дО /р) = д р). Следовательно, если уравнение д р) = О имеет корень р = 1, то его кратность четна и не ниже двух. Таким образом, если уравнения Гамильтона допускают независимый интеграл F, то пара мультипликаторов становится равной единице, причем один из этих мультипликаторов равен единице из-за наличия нетривиального гамильтонова поля симметрий Vf. [c.225]

Матрица монодромии периодического решения 219 Мера абсолютно непрерывная 31 [c.428]

Уравнения в вариациях для системы Гамильтона. Если исходные уравнения движения имеют гамильтонову форму и допускают периодическое решение, то два характеристических показателя равны нулю. Кроме того, если ft есть собственное значение матрицы монодромии, то 1/pi и [х также являются собственными значениями. Таким образом, если характеристический показатель % не является ни вещественным, ни чисто мнимым, то другие характеристические показатели равны — к, к и —А,. Если же характеристический показатель % является вещественным или чисто мнимым, то другой характеристический показатель равен —X. [c.469]

В 8 гл. IV рассматривались вещественные системы, у которых X совпадает с обычной окружностью Tri X) — бесконечная циклическая группа, а группа монодромии состоит из целочисленных степеней матрицы монодромии соответствующего периодического решения. [c.359]

Тем самым матрица монодромии задает линейный оператор моно-дромии в пространстве решений уравнения с периодическими коэффициентами. Для конкретной матрицы А роль базисных векторов играют функции Х2 1). [c.239]

Иллюстрирование схемы КМОЗ на примере A yZ-моде-ли показало, что для этой задачи было необходимо ввести S-матрицы вида (20). Существенно отметить, что для этой задачи введённая 5"-матрица не является физической, но представляет нек-рую абстрактную 5-матрицу, использование к-рой в схеме КМОЗ приводит к диагонализации гейзенберговского гамильтониана. Для др. физ. задач, напр, о цепочке Хаббарда или об эффекте Кондо, частицы имеют внутр. симметрию и их состояния характеризуются дискретным индексом, конкретно—проекцией спина, поэтому физ. 5-матрица в этих задачах является матрицей по этим индексам. Она должна удовлетворять ур-нию Янга — Бакстера, и с её помощью вводятся описанные выше ма-тем. конструкции КМОЗ — матрица монодромии Т и трансфер-матрица Т. Однако этих величин недостаточно для полного рещения задачи. Особую проблему составляет учёт периодических граничных условий. В рамках КМОЗ эта проблема нахождения импульсов сводится к диагонализации трансфер-матрицы Т на т. н. нерегулярной решетке. [c.153]

При = О собственные значения матрицы монодромии уравнения (5.17) при отображении за периоды 2тг и 2т равны соответственно Л12 = и /Х12 = Очевидно, что /х12 Ф 1 при о О и Л1,2 Ф если о 1/4 -Ь /гтг, к е Ъ. Из соображений непрерывности ясно, что при о 1/4 -Ь тг и малых О собственные значения /Х1,2 не являются корнями из единицы, и А1 2 ф г (это свойство, в действительности, имеет место для почти всех о и ). Следовательно, по теореме 1, уравнение (5.17) в этих случаях неинтегрируемо в комплексной области. Отметим, что в действительной области это уравнение вполне интегрируемо оно имеет аналитический интеграл Г г, г, I), 2тг-периодический по Ь. Дело в том, что линейной канонической заменой переменных, 2тг-периодической по I, уравнение (5.17) можно привести к линейной автономной гамильтоновой системе с одной степенью свободы тогда в качестве функции Г можно взять функцию Гамильтона автономной системы. [c.367]

В системе с периодической зависимостью от времени, одной степенью свободы и односторонней связью qi О имеется, по-видимому, бесконечное множество различных сценариев бифуркации касания. При этом первоочередную роль играет знак элемента Zi2 матрицы монодромии Z , вычисленной по формуле (12) при значениях параметров, непосредственно предшествуюгцих бифуркации (в автономном случае этот элемент всегда равен нулю). [c.248]

Следуя терминологии теории уравнений с периодическими коэффициентами, матрицу А будем называть матрицей монодромии. Изложим коротко классические результаты, связанные с этим понятием, так как это важно для дальнейшего. OкaзiIвaeт я, матрица унимодулярна, т.е. ее определитель равен единице. В самом деле, на отрезке О = у <Л- [c.62]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...