Энтропия действия Группы

Определим энтропию действия / в фундаментальной группе (для данных р и а) по формуле [c.127]

Таким образом, мы столкнулись с интересной ситуацией. Для обоих гладких примеров (т. е. растягивающих отображений окружности и гиперболического автоморфизма тора) со сложной, экспоненциально растущей структурой орбит все три естественные меры экспоненциального роста орбит — скорость роста числа периодических точек р, топологическая энтропия и энтропия действия на фундаментальной группе h, — совпадают. Совпадение первых двух величин является широко распространенным, хотя и далеко и не универсальным явлением. Этот факт, так же как и структурная устойчивость, связан с наличием локальной гиперболической структуры (см. 6.4, теорему 6.4.15, и 18.5, теорему 18.5.1). Совпадение же h, с другими двумя характеристиками в большой степени случайно и зависит как от наличия гиперболичности, так и от малой размерности. Можно показать, что уже для автоморфизмов торов больших размерностей это совпадение может не иметь места (см. упражнение 3.2.8). Однако теорема 8.1.1 показывает, что /г, Дня топологических цепей Маркова скорость роста числа периодических точек и топологическая энтропия также совпадают. Причиной этому вновь служит гиперболичность, поскольку, как мы знаем из конструкций п. 2.5 в, топологическая цепь Маркова топологически сопряжена с ограничением некоторых гладких систем, ограниченных на специальные инвариантные подмножества, которые обладают гиперболическим поведением. [c.134]

Теория динамических систем с положительной энтропией (см. 3 гл. 3) обобщается на действия групп 2 , т 2. Чтобы избежать громоздких обозначений, мы опять будем вести изложение для т = 2. [c.88]

При построении теории действий группы 2 с положительной энтропией именно понятие строгой инвариантности служит естественной заменой инвариантности разбиения для действий 2 . [c.88]

Другое сходство растягивающих отображений и автоморфизмов тора проявляется при подсчете энтропии /г. их действий на фундаментальной группе. Фундаментальная группа имеет вид тг,(Т , (0,0)) = Z , и отображение Е действует на ее естественных образующих 7, = (1,0) и = (О, 1) следующим образом F ,(7,) = 27, + 72, ,(72) = 7i + Ъ- к как это свободная абелева группа, представления F y , i = 1,2, вида (3.1.22) могут быть приведены к каноническому виду, который оказывается не чем иным, [c.134]

Энтропия h G) является метрическим инвариантом если два действия Сь G2 одной и той же группы метрически изоморфны, то h G,)=h G2). [c.87]

Пусть М — пространство последовательностей х= хп , /z6Z, где каждое Хп — точка пространства Лебега (Х, S , Я), на котором действует автоморфизм S. Мера х на М, как и в предыдущем примере, является produ t-мерой меры Я. Автоморфизмы Гь Т2 пространства М задаются формулами i( n ) = S , Т2 Хп ) = Хп+ . Энтропия действия группы Z , порожденного 7 и Гг, равна h S). [c.87]

В 3.1 было введено несколько инвариантов, описьшающих асимптотический рост сложности структуры орбит. Наиболее непосредственную информацию такого рода содержат такие инварианты, как рост числа периодических орбит (3.1.1) и топологическая энтропия (определение 3.1.3), отражающая скорость роста числа орбит, различимых с ограниченной точностью. С другой стороны, мы определили энтропию фундаментальной группы (3.1.23) и спектральные радиусы действия данного преобразования на группах гомологий (п. 3.1 д), которые не столь непосредственно отражают рост топологической сложности орбит с гомотопической и гомологической точек зрения. Очевидное преимущество последних инвариантов состоит в том, что их, вообще говоря, легче вычислять, так как они инвариантны относительно гомотопической эквивалентности. Например, поскольку каждое отображение тора гомотопически эквивалентно линейному отображению (подробнее см. в 2.6 и 8.7), для вычисления энтропии фундаментальной группы и спектральных радиусов действий на группах гомологий достаточно рассматривать лишь линейные отображения. В данной главе мы покажем, как с помощью этих гомотопических и гомологических инвариантов получить информацию относительно роста сложности орбит, т. е. установим количественную связь между ростом (и, в частности, существованием) периодических орбит и топологической энтропией с одной стороны и этими топологическими характеристиками с другой. [c.314]

Определение инвариантов типа энтропии, для действий групп, естественно обобщающее определение энтропии автоморфизма,, было дано в [21] (см, также [67], [81]). Как и при обобщении эргодических теорем, достаточно развитую теорию можно построить для класса аменабельных групп. Мы будем в основном рассматривать лишь группы 2 , от 2, для которых имеются наиболее полные результаты, и начнем с определения энтропии для этого случая. Для упрощения обозначений положим т = 2. [c.85]

Было бы очень интересно построить деформацию действий какой-либо одной группы, например W2, попарно неизоморфными разбиениями на траектории. Есть гипотеза, что бернуллиев-ские действия 2 с разной энтропией образуют такое семейство. Неизвестно также, являются ли траекторно изоморфными бер-нуллиевские действия групп Wh и при кфз —свободная группа с к образующими). [c.104]

АДИАБАТИЧЕСКИЕ ФЛУКТУАЦИИ в космологии — один из возможных типов малых нарушений однородности Вселенной, цривлекаемых для объяснения происхождения её наблюдаемой структуры галактик, а также групп, скоплений и сверхскопле-ний галактик. А. ф. присутствуют, вероятно, уже на самых ранних стадиях эволюции Вселенной — вблизи космологич. сингулярности (см. Сингулярность космологическая). Они представляют собой неоднородности плотности и потенц. возмущения скорости п-ва, к-рые нарушают однородное и изотропное расширение Вселенной и, нарастая под действием сил тяготения, приводят к образованию гравитационно обособленных космич. тел. А. ф. сохраняют уд. энтропию строго неизменной по пространству — отсюда их название (см. Адиабатический процесс). Постоянство уд. энтропии является, согласно совр. теориям (см. Варион-ная асимметрия Вселенной), одним из важнейших свойств ранней Вселенной. [c.26]

Механизм высокоэластичной деформации [22]. Высокоэластичное состояние является промежуточным физическим состоянием между жидким (текучим) и стеклообразным, поэтому в комплексе механических свойств эластомера можно обнаружить элементы свойств жидкого и стеклообразного тела. В простой жидкости молекулы легко перемещаются тепловым движением. Внешнее силовое поле дает преимущество перемещению в направлении поля, что приводит к возникновению макроскопически наблюдаемого течения жидкости. Развитие высокоэластичной деформации можно рассматривать как течение звеньев или групп звеньев макромолекулы под влиянием внешних сил. С этой точки зрения полимеры (и, в частности, эластомеры) близки к жидкостям. Однако, поскольку все звенья в цепи связаны, а цепи сшиты в пространственную сетчатую структуру, то их течение ограничено связями и не является необратимым. Это соответствует твердому состоянию тела. Таким образом, при высокоэластичном состоянии возможность свободного перемещения имеют только участки цепных макромолекул при отсутствии заметных перемещений макромолекулы в целом. Тепловые движения п эиводят к многочисленным-конформациям этих участков, при которых расстояние между узлами цепей пространственной сетки намного меньше контурной длины участков цепи. Под действием внешней силы цепи изменяют свои конформации, причем проекции участков в направлении деформации удлиняются (или сокращаются). Деформация развивается путем последовательного перемещения сегментов этих участков из одного положения в другое, т. е. протекает во времени [4, 49]. Этим объясняется отставание высокоэластичной деформации от изменения внешней нагрузки. Процесс перегруппировки сегментов сопровождается преодолением внутреннего трения и, следовательно, рассеянием механической энергии. После прекращения действия внешней силы участки цепи под действием теплового движения вновь вернутся в наиболее вероятное состояние сильно свернутых конформаций. По терминологии термодинамики переход в более вероятное состояние системы связан с возрастанием энтропии. Поэтому эластомеры имеют энтропийный характер деформации деформация связана с уменьшением энтропии, а возвращение в начальное положение — с увеличением ее. На основе законов термодинамики разработана статистическая (кинетическая) теория деформации и прочности полимеров, устанавливающая связь механических характеристик с температу-4 51 [c.51]

П ри изучении сверхзвуковых течений этой же группой исследователей обнаружен еще один весьма своеобразный эффект. Для определения интенсивности диссипации энергии ими разработан метод, основанный на непосредственном вычислении изменения энтропии при адиабатическом течении. Применение этого метода, который обладает чувствительностью существенно более высокой, чем обычный метод, основанный на определении коэффициента гидродинамического сопротивления, позволило обнаружить весьма значительное ослабление диссипации энергии непосредственно при переходе через скорость звука. Этот эффект в совокупности с эффектами, обнаруженными другими авторами, в особенности с результатами исследований М. Е. Дейча (ламинариза-ция профиля скорости, восстановление докритической формы обтекания тупых тел), приводит к заключению, что в сверхзвуковых условиях имеет место вырождение турбулентности. Естественно связать этот эффект с действием отрицательного градиента давления. [c.15]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...