Пространство гильбертово сепарабельное

Множество М будет называться плотным в гильбертовом пространстве Я, если любой элемент ф е Я может быть получен как предел последовательности ср е М. Если при этом множество М является счетным, то пространство называется сепарабельным. [c.126]

Мы будем также считать, что рассматриваемое гильбертово пространство является сепарабельным.. Это означает, что в этом пространстве существует счетное множество векторов, образующих базис. [c.190]

Цель этого упражнения—дать другое доказательстве леммы Лакса — Мильграма (теорема 1.1.3 см. также упр. 1.1.2) в случае, когда гильбертово пространство У сепарабельно. При [c.52]

Для всякой линейно независимой системы векторов (аД сепарабельного гильбертова пространства можно построить базис Процесс построения О. с. в. наз. [c.474]

В силу сепарабельности гильбертова пространства в Я( существует система элементов g , принадлежащих D(A), линейно независимая и полная в /fi. Обозначим через Kn пространство Я1, натянутое на элементы go, Si,. , sn. [c.8]

Системы векторов. Пусть —комплексное сепарабельное гильбертово пространство со скалярным произведением (f, й) и нормой llf f = (f, Мы введем несколько понятий, относящихся к системе f (/=1,2,. ..) векторов этого пространства в частности, скажем, когда [/ называется полной системой, базисом со скобками, базисом, базисом Рисса, базисом Бари. Здесь каждое следующее свойство является усилением предыдущего. Будет приведено несколько утверждений некоторые из них очевидны, доказательства других и дальнейшие подробности можно найти в [6], гл. VI, 1—3. [c.297]

Абстрактный аналог шкалы Ях( ) (см., например, [49]). Пусть — сепарабельное гильбертово пространство и о — самосопряженный оператор с дискретным спектром в / (/=1, 2,. ..) —ортонормированный базис в составленный из собственных векторов оператора о 0 / = Будем считать, что О < V, V2 ---- [c.329]

Пусть снова > —сепарабельное гильбертово пространство, I — оператор с дискретным спектром и А — вполне непрерывный оператор в ф, ([ —система корневых векторов оператора I или А (см. пп. 3 и 4 31). Условимся пользоваться следующими обозначениями (определения см. в 31) [c.335]

Пусть TQ — T - - гТз — любой вполне непрерывный оператор в сепарабельном гильбертовом пространстве ф, Г] и Го —его вещественная и мнимая части. Это, как мы знаем, самосопряженные вполне непрерывные операторы (см. формулу (31.13)). Рассмотрим уравнение Фредгольма [c.380]

Ж векторов состояний заданной физической системы, вектор ф> удовлетворяет условию < ф ф>>0. (При этом вектор <115 1 является дуальным относительно вектора ф>.) Для г15> справедливы все аксиомы и правила вычисления собственных элементов гильбертова пространства (в особенности линейность, сепарабельность, комплексность, эрмитовость метрики, полнота). Пространство Ж может быть натянуто на полный орто-нормированный базис /> со свойствами [c.72]

Предполагая гильбертово пространство сепарабельным, введем ортонормированный базис. Тогда решение уравнений (9.72) будет иметь вид [c.242]

В нерелятивистской квантовой механике естественно рассматривать только сепарабельные гильбертовы пространства, поскольку обычно приходится иметь дело с конечным числом частиц и состояния реализовать кате век- [c.120]

В первую очередь заметим, что если Ж и Жг, Жв, последовательность сепарабельных гильбертовых пространств, то тогда и их прямая сумма Ф Ж) будет пространством Гильберта. Прямая сумма имеет элементами последовательности Ф1, Фг,. .. , гд Ф] Ж] и [c.121]

Состояния теории описываются единичными лучами в сепарабельном гильбертовом пространстве Ж. Релятивистский закон преобразования состояний задается непрерывным унитарным представлением неоднородной группы 8Ь 2, С) а, А - и(а, А). [c.136]

Основные идеи мы разъясним на примере вычисления вращения векторного поля, заданного па сферах сепарабельного гильбертова пространства Н. [c.73]

Лемма 27.3. Пусть 3 (/) — линейный и ограниченный функционал в некотором сепарабельном гильбертовом пространстве /. Тогда [c.236]

Теорема 8.3. Рассмотрим полугруппу Pt i>o линейных (возможно, неограниченных) операторов Р1 в сепарабельном гильбертовом пространстве Ж, которая обладает следующим свойством существует плотное линейное подпространство в Ж, такое что [c.181]

Рассмотрим случай, когда ф — состояние КМШ динамической системы Я, 6, а , такое, что пространство сепарабельно. Поскольку центр — абелева алгебра фон Неймана на сепарабельном гильбертовом пространстве, оно порождается единственным эрмитовым оператором 7ф. Чтобы не усложнять нашу первую попытку построить теорию, предположим, что оператор обладает дискретным спектром. Тог (1а мы можем написать, что [c.277]

При квантовомеханическом описании движения одной частицы вдоль действительной прямой Р обычно используется гильбертово пространство, реализуемое в виде (сепарабельного ) гильбертова пространства 2(R) всех функций с интегрируемым [c.290]

Именно, мы скажем, что пара (Р, Q) самосопряженных операторов, действующих на сепарабельном гильбертовом пространстве Ж, образует представление Гейзенберга канонических перестановочных соотнощений, если в существует плотное линейное многообразие SD, такое, что 2) Р) г 2) (Q) и [c.293]

Теорема 2. Чтобы пара (Р, ) замкнутых симметричных операторов, действующих в (сепарабельном) гильбертовом пространстве Ж, была унитарно-эквивалентна прямой сумме представлений Шредингера, необходимо и достаточно, чтобы существовало линейное многообразие Ф, содержащееся в 20 Р) г 3) Q), плотное в Ж и такое, что [c.295]

Теорема 4, Пусть Р и Q — два замкнутых симметричных оператора, действующих в сепарабельном) гильбертовом пространстве Ж, пересечение областей определения которых 2) Р) г 2) Q) плотно в Ж и таких, что [c.296]

Теорема 6. Пусть Ж — сепарабельное гильбертово пространство, и (а) I а е R и V (6) й е R — две слабо непрерывные однопараметрические группы унитарных операторов, действующих на Ж и таких, что [c.300]

Покажем теперь, что при некоторых условиях представление алгебры Ш, канонически ассоциированное с состоянием Гиббса, определено на сепарабельном гильбертовом пространстве. [c.361]

Доказательство. Если ( >) — алгебра всех ограниченных операторов, действующих на сепарабельном гильбертовом пространстве то, как показали Порта и Шварц [302], состояние ф на 23 ( ) нормально в том и только в том случае, если гильбертово пространство представления Яф алгебры 23 ( >), канонически ассоциированного с состоянием ф, сепарабельно. Предположим, что —подалгебра фон Неймана алгебры (ф), а ф — нормальное состояние на Ш. Тогда существует последовательность с , такая, что и (ф Л ) = [c.361]

Если выбрать более сильную топологию, например потребовать, чтобы Sn было непрерывно лищь относительно эвклидовых движений петель как твердых тел, то в результате физическое гильбертово пространство (см. ниже) может стать неприемлемо больщим (несепарабельиым). Заметим, что с нашей топологией пространство петель сепарабельно. [c.177]

ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА ФУНКЦИЙ (от греч. orthogonios — прямоугольный) — конечная или счётная система ф-ций [c.471]

Первый пункт, который мы хотим обсудить, — это сепарабельность гильбертовых пространств, встречающихся в квантовой теории поля. Напомним, что множество /5 векторов плотно в Ж, если для каждого вектора Ф е и е>0 найдется вектор Ч "е5 такой, что Ф —Ч ИСе. Гильбертово пространство сепарабельно, если оно содержит счетное плотное множество или же, другими словами, если в нем имеется последовательность векторов, являющаяся плотной. Альтернативно эта особенность описывается в терминах полных ортонормированных множеств. Гильбертово пространство сепарабельно, если оно содержит счетное полное ортонормированное множество оно не сепарабельно, если полные ортонормированные множества не счетны. От одного описания к другому можно перейти с помош ью ортонормализащш плотного множества, чтобы получить счетное полное ортонормированное множество, 11ли же, образуя конечные линейные комбинации счетных полных ортонормированных множеств с комплексными числами, вещественные и мнимые части которых рациональны,— чтобы получить счетное плотное множество. В первоначальную аксиоматизацию фон Неймана требование сепарабельности входило как определяющее свойство гильбертова пространства. В наше время вошло в обиход употребление этого термина также в несепарабельяом случае. Недавно физики начали рассматривать векторные пространства со скалярным произведением, на которое требование (2-111) и (2-112) не налагается (индефинитная метрика). Такие пространства мы не будем называть гильбертовыми и даже вообще не будем их рассматривать. [c.120]

Выражения Е(8), которые могут появиться в теории, инвариантной относительно специальной группы Лоренца, а тЭ(Кже относительно гручшы трансляций, не могут быть произвольными, в частности, имеется лишь одно р, при котором возможен дискретный точечный спектр р = 0. Легко видеть, почему так должно быть. Если бы было = р Тр и (Тр, Тр) = 1 при каком-то р ф О, то 7(0, А)Тр удовлетворяло бы Р> 7(0, А)Тр = = (Ар) U(О, А)Ч р, причем, когда А пробегает, векторы и (0,А)Тр были бы непрерывным семейством нормированных состояний, ортогональных при А р ф Кгр, что невозможно в сепарабельном гильбертовом пространстве. Интересно, что это позволяет проще охарактеризовать вакуумное состояние это единственная нормируемая собственная функция Р или Р или РЧ [c.130]

Мы применили здесь следующую лемму. Если 5 — сепарабельное гильбертово пространство и о —полная ортоиор-мироваииая система в этом пространстве, то подмножество и в 5 -обладает компактным замыканием тогда и только тогда, когда ряд 2 ( < 6) Р имеет равномерно ограниченную сумму и равномерно сходится в и (см. [4], стр. 231—232). [c.16]

По аналогии с данным нами определением обертывающей алгебры фон Неймана 91" алгебры й мы можем теперь канонически сопоставить любой абстрактной С -алгебре 3 некоторую 2-алгебру й , называемую а-оболочкой алгебры Я. Мы определим Я как ст-замыкание универсального представления алгебры Э (стр. 158). В общем случае Я ст-оболочка) будет собственным подмножеством обертывающей алгебры фон Неймана алгебры Я, и рассмотрение ее не представляет труда. Например, если Г — компактное хаусдорфово пространство, то (5 (Г) =2 (Г). Рассмотрим еще один пример (в котором, однако, ст-оболочка и обертывающая алгебра фон Неймана совпадают). Пусть Я есть С -алгебра всех компактных операторов на сепарабельном гильбертовом пространстве. Тогда = [c.192]

Примечание. Из результата 7 вытекает ряд интересных следствий, на которых мы сейчас кратко остановимся. Прежде всего напомним, что если Ш — алгебра фон Неймана типа III, то и ее коммутант (стр. 171) также является алгеброй фон Неймана типа III. Отсюда мы заключаем, что множество 9 " чисто и, следовательно, собственно бесконечно. Таким образом, из результата 7 следует, что всякий С -автоморфизм алгебры фон Неймана типа III унитарен, если он оставляет инвариантными все элементы центра алгебры 3- Последнее условие можно отбросить, если считать, что алгебра фон Неймана типа III действует в сепарабельном гильбертовом пространстве [77, гл. 3, 8, п. 6, следствие 7 79, приложение А, результат 51]. В любом случае условие относительно действия автоморфизма на центр алгебры становится излишним, если алгебра является фактором. Таким образом, всякий С -автоморфизм фактора типа III унитарен. В случае факторов типа ситуация не столь проста. Предположим, что Ш есть фактор типа П . Потребуем дополнительно, чтобы в Ж существовало конечное множество М, разделяющее для 3i. Тогда [77, гл. 1, 1, п. 4, предложение 5 и следствие] М —конечное циклическое множество для iR. Поскольку Ш есть фактор, его коммутант Ш также есть фактор, который либо конечен, либо собственно бесконечен. Но если бы коммутант Ш был бесконечен, то фактор 97 также был бы бесконечен, поскольку для 9 существует конечное циклическое множество (стр. 171), а это противоречило бы предположению. Итак, наше дополнительное условие достаточно для того, чтобы коммутант 91 был собственно бесконечным, и мы можем заключить, что всякий С -автоморфизм фактора типа П , допускающего конечное разделяющее множество, унитарен. Предположение о том, что 97 есть фактор, как видно из леммы иа стр. 168, не является существенным. Действительно, эта лемма утверждает, что в центре алгебры фон Неймана Шгл Ш существует оператор проектирования Е, такой, что коммутант We конечен, а коммутант 9i/ собственно бесконечен. Кроме того, мы видим, что множество ЕМ циклично в ЕЖ относительно W и, следовательно, относительно Ш е. Таким образом, алгебра фон Неймана Ше=Ше= 31 е) конечна. Поскольку элемент Е принад-лел<ит центру алгебры 9i, мы, пользуясь той же леммой, заключаем, что где (/ —f) — наибольший оператор проектирования из центра алгебры фон Неймана 97, такой, что алгебра фон Неймана 97(/ Р) собственно бесконечна. Но так как алгебра 9i собственно бесконечна по предположению, мы имеем F = I я, следовательно, = 0, т. е. коммутант 97 собственно бесконечен. Итак, мы видим, что требование в результате 7, а именно требование собственно-бесконечности коммутанта 91, можно заменить требованием собственно-бесконечности самой алгебры фон [c.206]

Действительно, нетрудно построить математический контрпример лемме, если отказаться от предположения, что 81 содержит единицу. Пусть 81 — С -алгебра всех компактных операторов, действующих на (сепарабельном) гильбертовом пространстве Ж. Далее, пусть Н — (ограниченный) самосопряженный оператор, действующий на Ж. Потребуем, чтобы спектр [c.225]

Рассмотрим теперь один пример, который понадобится нам, когда речь пойдет о представлениях Вейля КПС. Пусть Ж — сепарабельное вещественное гильбертово пространство, (где г — множество всех неотрицательных целых чисел) — ортонормированный базис в Ж, а Ж — многообразие, совпадающее с линейной оболочкой множества еу , т. е. множество всех конечных линейных комбинаций (с действительными коэффициентами) ортов б/. Введем естественную комплексификацию Же пространства Ж. Например, если < = S (R), то в качестве базиса е мы могли бы выбрать множество собственных функций [c.325]

Рассмотрим теперь нетривиальный случай, когда Ж — бесконечномерное пространство со счетным базисом (т. е. — сепарабельное вещественное гильбертово пространство). Следуя Гихарде [154], определим С -алгебру 91 канонических антиперестановочных соотношений как 91 = 09 , где 9 (для каждого [c.347]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...