Бореля мера

Более слабая топология 78 Большая группа симметрии 240 Борелевское множество 79 Бореля мера 79 --, регулярная 79 [c.415]

Чтобы понять теорему и природу ее применения, необходимо прежде всего упомянуть меру (Бореля-Лебега), то есть вероятность в смысле схематически описанном Пуанкаре в третьем томе его Новых методов в небесной механике . Ограничимся случаем отрезка прямой единичной длины с координатой ж, О ж 1. Предположим, что имеется конечное множество нeпepe eкaюп иx я интервалов общей длины I < 1. Вероятность (в определенном интуитивном смысле) того, что точка, взятая наугад, лежит на одном из этих интервалов, равняется I, а вероятность того, что она лежит в дополнении этого множества, очевидно, 1 — [c.349]

Если Т Х Х — гомеоморфизм компактного метрического пространства, то естественную о-алгсбру образуют борелев-ские множества. Вероятностная мера на этой о-алгебре называется борелевской вероятностной мерой. Обозначим М(Х) множество борелевских вероятностных мер на X, а Мт-(А ) — подмножество иивариантных мер, т. е. )л М/-(Х), если [c.10]

Определение П 6.6. Пусть X — сепарабельное локально компактное хаусдорфово пространство и В — сг-алгебра борелевских множеств, т. е. сг-алгебра, порожденная замкнутыми множествами. Тогда мера Бореля — это такая мера fi, определенная иа В, что fi B) <оо для компактных множеств В. [c.716]

Главное свойство борелевских мер состоит в том, что они регулярны, т. е. для каждого В бВ мы имеем — inf fi(0)) В СО открыто = supifi(ii) К С В компактно . Кроме того, каждая непрерывная функция / X ->R измерима по Борелю, т. е. прообразы открытых множеств измеримы по Борелю, и для каждого компактного множества К имеется такая вложенная последовательность / еи неотрицательных непрерывных функций с компактным носителем, что / - Хк поточечно, где Хк характеристическая функция К. Из сепарабельности X следует сепарабельность меры для каждой точки х из счетного плотного подмножества рассмотрим счетную совокупность открытых окрестностей с такими компактными замыканиями 8,у, что П = xj . Тем самым определен базис. Кроме того, каждый атом является точкой, [c.716]

Таким образом, из теоремы Гейне — Бореля следует с очевидностью (см. 84), что если решение (2г), определяемое начальными условиями T]i(io), перестает существовать при стремлении t к некоторому конечному вещественному t = t или же по крайней мере одна из бге аналитических функций (2g) в этом решении имеет при вещественном t = t ф оо особую точку, то положительная функция (1) вещественной переменной t должна приближаться сколь угодно близко к нулю нри Другими словами, если t стремится к критическому значению t (убывая или возрастая при io > t или io < t соответственно), то нижний предел Иш r t) = 0. Так как переменная t может быть. заменена на + onst, то можно без потери общности предположить, что начальное о > О и что критическое t = О, т. е. что 1шг(г) =0 при г- -+0. [c.401]

Множество Бэра и борелевские множества на совпадают, и мера Пф сосредоточена на в смысле Бореля. То обстоятельство, что в общем случае мера сосредоточена на лишь в смысле Бэра, — это та цена, которую нам приходится платить за обобщение теории на случай С -алгебры Я, не сепарабельной в сильной топологии. [c.280]

Второе из двух примечаний к теореме 15 можно распространить и на рассматриваемый нами теперь случай. В частности, как показал Рюэль [337], из локальной нормальности состояния ф следует, что мера Дф сосредоточена в смысле Бореля на о. Впоследствии рассуждения Рюэля были видоизменены применительно к случаю КМШ и был получен результат, упоминавшийся при обсуждении теоремы 15. [c.287]

Единственная максимальная мера ассоциированная (гл. 2, 2, п. 6) с локально нормальным G-инвариантным состоянием G-абелевой системы, сосредоточена в смысле Бореля на множестве д. Как мы уже говорили в гл. 2, 2, п. 6, тот же результат можно распространить и на множество При доказательстве последнего утверждения нужно сначала определить непрерывное отображение а множества р (т. е. либо о, либо р) в R°° соотношением [c.363]

V- f) = W, f°a) для всех выпуклых функций / на (т( р). Поскольку мера максимальна на множестве р, мера максимальна на компактном выпуклом метризуемом множестве сг ( р) и, стало быть, сосредоточена в смысле Бореля на крайних точках этого множества. Отсюда следует, что мера Цф сосредоточена в смысле Бореля на прообразе ст ( [ст( р)]) множества сг( р). Как нетрудно убедиться, Jf ( 9i )—борелевское множество Цф-меры 1, а поэтому — максимальная мера, сосредоточенная в смысле Бореля на Л ( 9i )сг ( [сг ( р)]). Учитывая то обстоятельство, что последовательность Л/ отделяет Jf ( Ш ) от , мы заключаем, что мера сосредоточена в смысле Бореля на [c.363]

Подставив ЗЗф вместо в разложение инвариантного состояния на его экстремальные инвариантные компоненты (гл. 2, 2, п. 6), мы расширим состояние ф на Зф и произведем его центральное разложение относительно этой алгебры. При этом мы получим не только разложение алгебры ЗЗф, но и разложение бикоммутанта Лф (Я)" и коммутанта Лф (Э ), которые, как мы уже видели, содержатся в 2%. Нетрудно убедиться, что мера, соответствующая этому разложению, сосредоточена (сначала в смысле Бэра, а затем, после принятия соответствующих допущений о сепарабельности, в смысле Бореля) на множестве состояний т] , таких, что 58ф = Я/). Таким образом, это разложение представляет Собой не что иное, как разложение состояния ф на его равномернокластерные компоненты. Такое разложение называется разложением состояния ф на бесконечности. Если ф — состояние равно- [c.377]

Остается показать, что J f — 0. Воспользуемся конструкцией, изложенной при доказательстве теоремы 2. Пусть сначала / = 1. Лля любого Ло G А рассмотрим круг )ло(г), г = г(Ло), такой, что при 2 G Dxo r) HQ выполняются представления (5), (б), где 5(2г) с < 1, а dim/io < 00. Скалярная функция Det(/—А"(2г)) голоморфна по z Е Dxo r) Q, и непрерывна вплоть до Л, а соотношения 1 G r A[z)) и Dei I — K z)) — О равносильны. Функция Det(7 — K z)) не равна тождественно нулю в Dxo(r) П Q. Поэтому в силу теоремы 2.1 множество ее нулей на (Ло — г, Ло + г) имеет меру нуль. Отсюда следует, что Л/ П (Ло — г, Ло + г) = 0. Коль скоро согласно лемме Гейне— Бореля А покрывается конечным числом построенных промежутков (Ло — г, Ло -f г), то мера всего Ai также равна нулю. [c.67]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...