Момент инерции (относительно оси) точки

Определение моментов инерции. Так как в приложениях встречаются только моменты инерции относительно осей, то полезно ввести следующие определения. Если задана произвольная система материальных точек, то [c.15]

Если маховик посажен на общий вал со звеном приведения, то его момент инерции относительно оси вращения вала может быть уменьшен на величину момента инерции звена приведения относительно той же оси. [c.388]

Найти, при каком условии верхнее вертикальное положение равновесия маятника является устойчивым, если свободному вращению маятника препятствует спиральная пружина жесткости с, установленная так, что при верхнем вертикальном положении маятника она не напряжена. Вес маятника Р. Расстояние от центра масс маятника до точки подвеса равно а. Найти также период малых колебаний маятника, если его момент инерции относительно оси вращения равен /о. [c.408]

Для вычисления осевых моментов инерции можно расстояния точек от осей выражать через координаты лг, у, , этих точ ек (например, квадрат расстояния от оси Ох будет у Л-г1 и т. д.). Тогда моменты инерции относительно осей Охуг будут определяться фор- [c.265]

Здесь и везде далее /л обозначает момент инерции относительно оси, проходящей через точку А и направленной перпендикулярно плоскости изображенного на чертеже сечения тела. [c.266]

Если требуется определить момент инерции тела относительно оси Ох, проходящей через его центр тяжести, то тело можно подвесить на двух жестко прикрепленных к телу штангах (стержнях) так, чтобы ось Ох была горизонтальна (рис. 326), и найти экспериментально момент инерции относительно оси АВ (величина а в этом случае наперед известна). После этого искомый момент инерции вычисляется по теореме Гюйгенса Jqx=Jab—(P/g)o- - [c.328]

Так как координаты х, у я z этих точек не равны нулю, то равенство выполняется лишь при условии D = 0, = 0, т. е. при равенстве нулю центробежных моментов инерции относительно осей у, Z п х, г [c.103]

Так как масса блока равномерно распределена по ободу, то его момент инерции относительно оси Ох [c.223]

В гл. V было показано, что коэффициенты А, В и С представляют собой моменты инерции относительно осей т], соответственно. Отсюда сразу следует, что при движении тела с неподвижной точкой перманентное вращение вокруг тех главных осей, относительно которых момент инерции наименьший и наибольший, будет устойчивым. Применяя теорему Четаева о неустойчивости, можно показать, что перманентное вращение вокруг третьей оси (момент инерции относительно которой — средний по величине) неустойчиво. [c.235]

Сумма осевых моментов инерции сечения относительно взаимно перпендикулярных осей равна полярному моменту инерции относительно точки пересечения этих осей. Моменты инерции относительно осей, проходящих через центр тяжести сечения, называются центральными. [c.194]

Задача 289. Вычислить моменты инерции относительно осей координат X, у, г тонкой однородной круглой пластинки радиуса г, внутри которой вырезан квадрат с длиной стороны, равной г. Центры квадрата и круга совпадают М — масса пластинки без выреза. [c.199]

Если оси хну, проходящие через точку О, не являются осями эллипсоида, то ф О, т. е. если только одна из осей будет главной осью инерции в данной точке твердого тела, то в нуль обращаются лишь два центробежных момента инерции относительно осей, одной из которых является главная ось инерции например, если д — глав- [c.245]

ОСИ, которая И явится главной осью инерции. При наличии в твердом теле плоскости материальной симметрии надо одну из координатных осей направить перпендикулярно к плоскости материальной симметрии. Эта координатная ось является главной осью инерции твердого тела в точке пересечения с плоскостью материальной симметрии. При наличии главной оси инерции в данной точке твердого тела два центробежных момента инерции относительно осей, одной из которых является главная ось инерции, обращаются в нуль, и остается вычислить только третий центробежный момент инерции, не равный нулю. Так, если вдоль главной оси инерции направлена ось г, то = = 0 [c.246]

Эти величины не имеют самостоятельного физического смысла и служат как вспомогательные для вычисления моментов инерции относительно оси и для разработки их теории. Математически они выражаются суммами-(200), в которых г означает расстояние материальной частицы от полюса или плоскости. У полярных моментов инерции индекс справа внизу означает полюс, индекс у момента инерции относительно плоскости обычно состоит из двух букв, означающих эту плоскость, причем между буквами не ставят точки в отличие от центробежных моментов инерции (205). [c.342]

Задача № 62. Определить модуль, направление н точку приложения равнодействующей всех сил инерции звена, вращающегося вокруг неподвижной оси О при следующих данных масса звена т, момент инерции относительно оси вращения J, расстояние центра масс С от оси вращения ОС — с, угловая скорость в данное мгновение со, угловое ускорение е. [c.252]

Величина Jpp представляет собой момент инерции относительно оси, направляющий орт которой имеет номер р. Как уже отмечалось выше, осевой момент инерции Jpp равен сумме произведений масс точек на квадраты их расстояний до соответствующей оси. [c.46]

Согласно определению, эллипсоид инерции с центром в точке О есть геометрическое место таких точек Р, расстояние от которых до точки О обратно пропорционально квадратному корню из момента инерции относительно оси, проходящей через точки О и Р. Рассмотрим, как преобразуются осевые моменты инерции при переходе от полюса к полюсу. [c.52]

Доказательство. Возьмем единичный вектор, параллельный вектору угловой скорости ш. По определению оператора инерции Лд (см. 1.8) момент инерции относительно оси, проходящей через точку А и имеющей направляющий вектор е.ш, выражается формулой [c.447]

Тензору инерции или симметричному тензору второго ранга соответствует геометрический образ в виде эллипсоида, центр которого находится в точке О. Для доказательства этого рассмотрим момент инерции относительно оси А, проходящей через О и направленной под углами а, р, у к осям координат. [c.173]

Полярный момент инерции относительно некоторой точки равен сумме осевых моментов инерции относительно любых взаимно перпендикулярных осей, проходящих через данную точку [c.183]

Моменты инерции относительно оси и точки имеют одинаковую размерность — произведение массы на квадрат длины (кг-м ). [c.263]

Моменты инерции относительно осей и точек — величины положи тельные, так как в них входят квадраты координат. Центробежные мо менты инерции содержат произведения координат и могут быть как положительными, так и отрицательными. В отличие от осевых центробежные моменты инерции зависят от точки, в которой выбраны оси координат. [c.264]

Конструктивно маховики оформляют в виде дисков или колец со спицами (рис. 28.3). Их изготавливают из чугуна или стали. Для дисковых маховиков (а) момент инерции относительно оси равен J = тВ 18. Если массу т выразить через объем и плотность р материала, то получим [c.347]

Конец, начало, положение, свойства, положительное (отрицательное) направление. .. оси. Точка. .. на оси. Момент инерции. .. относительно оси. Расстояние. .. от (до) оси. Движение, вращение, поворот. .. вокруг оси. Система, взаимность, пучок, ориентация, точка пересечения. .. осей. Начало. .. координатных осей. Расстояние. .. между осями. [c.55]

Определить момент инерции относительно оси Оу механической системы, состоящей из трех одинаковых материальных точек, если радиус г = 0,6 м, а масса каждой точки т = = 3кг. (1,62) [c.234]

Поверхность, определенная уравнением (1.94), не имеет точек на бесконечности, поскольку отрезок ОМ d — конечный. Действительно, этот отрезок, как видно из формул (I. 93), мог бы стать бесконечно большим лишь при условии, что и обращается в нуль. Но, как видно из определения момента инерции относительно оси, /и всегда является положительной величиной, отличной от нуля. Таким образом, поверхность, определенная уравнением (1.94), может быть только эллипсоидом. Этот эллипсоид называется эллипсоидом инерции. [c.80]

Мы рассматривали моменты инерции относительно осей, проходящих через фиксированную точку пространства. Теперь сравним между собой моменты инерции относительно параллельных осей. [c.84]

Здесь Д — момент инерции относительно оси вращения, проходящей через точку О. Выразим Д через радиус инерции рс, используя формулы (I. 100) и (I. 101) [c.87]

Следовательно, ось Ог не подвергается удару, если она является главной осью инерции, ударный импульс перпендикулярен к ней и точка его приложения лежит в -одной плоскости с осью вращения и центром инерции тела. Расстояние точки приложения импульса S от оси вращения Ог определяется формулой (III. 101). Сравнивая ее с формулой (1.85), приходим к выводу, что при отсутствии импульсов динамических реакций точкой М приложения ударного импульса S является центр колебаний физического маятника с моментом инерции относительно оси вращения, равным 1 , и расстоянием центра инерции от оси вращения, равным ус- Точка М называется центром удара. [c.474]

Умножая площади тех же площадок на квадраты расстояний и суммируя эти произведения в пределах той же площади, получим величину, которая называется осевым (или экваториальным) моментом инерции относительно оси у и обозначается Jy. [c.248]

Очевидным следствием доказанной теоремы является то, что момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс тела, меньше момента инерции относительно любой другой параллельной оси. [c.171]

Выражение (10) представляет собой однородную квадратичную функцию — квадратичную форму — от направляющих косинусов оси, относительно которой определяется момент инерции, в выбранной в данной точке оси системе осей координат. Шесть инерционных характеристик тела в рассматриваемой точке три момента инерции относительно осей координат и три центробежных момента — образуют коэффициенты этой квадратичной формы. [c.284]

Рассмотрим также однородное тело вращения с осью симметрии Z. Так как ось z — ось симметрии, то она является главной центральной осью две любые взаимно перпендикулярные пряные, перпендикулярные к оси г и пересекающие ее, могут быть приняты за главные оси инерции в какой-либо точке оси вращения тела. Действительно, для тела вращения всякая плоскость, проходящая через ось г, является плоскостью симметрии значит, перпендикулярная к этой плоскости прямая, т. е. любая прямая, является главной осью. Эллипсоид инерции в любой точке оси 2 является эллипсоидом вращения. Момент инерции относительно оси вращения эллипсоида инерции называется аксиальным-, моменты инерции относительно осей, перпендикулярных к оси вращения эллипсоида инерции, называются экваториальными. Очевидно, экваториальные моменты равны ежду собой, так как равны соответствующие полуоси эллипсоида инерции. [c.291]

Вычислим теперь величину Для этого определим момент инерции Уд полукруглого диска относительно оси, проходящей через точку D. Как следует из определения понятия момента инерции относительно оси, он равен половине момента инерции круглого диска с мае [c.695]

В геометрической плоскости (рнс. 32, б) строим точки и Dy, соответствующие моментам инерции относительно осей гну. Абсциссами этих точек являются осевые юменты инерции ОКг = = J ОКу = Jу, ординатами — центробежный момент инерции Уг1/. причем [c.29]

Формулы (12) или (12 ) позволяют, зная входящие в их правые части моменты инерции относительно заданных осей Oxyz, определить момент инерции относительно любой оси, проходящей через точку О. Если же известно и положение центра масс тела, то, используя формулу (9), можно найти момент инерции относительно оси, проходящей через любую другую точку. [c.272]

Отсюда следует, что в точке Mi приложена равнодействующая сил инерцин всех точек тела, лежащих на перпендикуляре к плоскости симметрии, восстановленном в этой точке. Таким образом, сложение сил инерции точек тела в этом случае движения сводится к сложению сил инерции точек материальной плоской фигуры, имеющей массу данного тела и тот же момент инерции относительно оси вращения (рис. 224, б). [c.285]

В правой части этого равенства первые три члена содержат моменты инерции относительно осей х, у и г соответственно. Что же касается остальных трех сумм, то они выражают геометрические характеристики распределения масс, которые отличаются от введенных выше моментов инерции. Обозначим каждую из этих сумм буквой J с двойным индексом, указав в качестве этих индексов координаты, фигурируюш,ие в соответствующих суммах [c.176]

Доказательство. По определению, диаметры эллипсоида инерции обратно пропорциональны квадратным корням из соответствующих осевых моментов инерции. Согласно теореме 1.10.2 момент инерции относительно оси, проходящей через точку О парал.чельно вектору ег, остается равным соответствующему центральному моменту инерции при любом значении г. Следовательно, диаметр, параллельный вг при любом г, будет таким же, каким он был в центр<гльном эллипсоиде. Моменты инерции относительно осей, не коллинеарных ег, растут, а соответствующие диаметры уменьшаются, стремясь к нулю при увеличении г. Весь эллипсоид стремится к отрезку, равному диаметру центрального эллипсоида инерции в направ.чении ег. Середина отрезка совпадает с точкой О, а сам отрезок расположен на оси, проходящей через точки О и С. Если х перпендикулярен вг, то вектор нормали к эллипсоиду в точке О можно представить (см. теорему 1.10.3) в виде [c.55]

На основании приведенных выше соображений приходим к выводу, что тензор инерции системы является физической величиной, характеризуюш,ей в целом совокупность моментов инерции относительно осей, принадлежаицих многообразию координатных триедров с вершинами в фиксированной точке — начале координат. Конечно, мы имеем в виду также и центробежные моменты инерции. [c.79]

Yt Мп(у1 +г1),пред.ставляег собой сумму произведений каждой массы на квадрат ее расстояния от оси вращения поэтому мы его называем моментом инерции относительно оси . Если р(г) представляет собой плотность тела в точке, радиус-вектор [c.248]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...