Неблуждающая точка

Напомним, что векторное поле удовлетворяет аксиоме А, если его множество неблуждающих точек гиперболично и в нем плотны периодические траектории поля. Условие сильной трансверсальности состоит в следующем устойчивые и неустойчивые многообразия всех неблуждающих траекторий пересекаются трансверсально. Подробнее о гиперболической теории см. том 2 настоящего издания. [c.114]

Во-вторых, определим минимальное множество А а 0.1 как непустое замкнутое инвариантное (т. е. состоящее только из целых траекторий) множество фазовых точек, не имеющее обладающих такими же свойствами подмножеств. В-третьих, минимальные множества А неблуждающих точек, имеющие окрестности, в которых [c.21]

В одно- и двумерных фазовых пространствах структурной устойчивостью обладают так называемые системы Морса—Смейла, у которых множества неблуждающих точек состоят лишь из конечного числа неподвижных точек и замкнутых траекторий, причем все они — гиперболические отвечающие любым таким точкам устойчивое и неустойчивое многообразия трансверсальны (т. е. либо не пересекаются, либо касательные к ним пространства в каждой точке их пересечения и в сумме образуют полное касательное пространство). [c.127]

Таким образом, при N 3 для фазовых потоков в определенном смысле типично наличие бесконечного множества Q гиперболических неблуждающих точек со всюду плотным в нем множеством периодических траекторий (Аносовым (1967) обнаружены даже потоки, у которых гиперболическим множеством является все фазовое пространство). [c.128]

В противном случае точку Ро мы будем называть неблуждающей точкой и соответственное движение неблуждающим движением . Неблуждающими мы будем, разумеется, называть также точки равновесия и соответственные вырождающиеся движения ( ). [c.196]

НОМ соседстве ни с какой кривой движения, принадлежащей РГ, то то же самое будет справедливо относительно любой точки кривой движения, проходящей через Мы видим также, что достаточно малая частица, содержащая Q, будет вся содержаться в М[, так что М[ является открытой совокупностью неблуждающих точек. Отсюда следует свойство региональной рекуррентности. [c.197]

Очевидно, что аналогия с М полная. Неблуждающие точки относительно Мг образуют замкнутую совокупность Мг, состоящую из кривых движения. К этой совокупности стремится асимптотически любая точка Р, принадлежащая совокупности г блуждающих относительно Мг точек, при возрастании или убывании времени мы можем так же сформулировать утверждение, аналогичное приведенному в конце предыдущего параграфа. [c.198]

Во избежание недоразумений формулируем точное определение блуждающих и неблуждающих точек, относящееся ко всем случаям. [c.389]

Множество неблуждающих точек й определяется равенством [c.109]

Множество неблуждающих точек й(а) динамической системы (Ел. а) можно представить в виде объединения попарно непересекающихся базисных множеств [c.206]

Следствие 5.1. В любой окрестности неблуждаЮщей точки X ограничения f Л найдется периодическая точка диффеоморфизма /. [c.212]

Если f является У-диффеоморфизмом, то М — локально максимальное гиперболическое множество. В силу следствия 5.1 периодические точки плотны во множестве неблуждающих точек (1). Известна следующая нерешенная проблема верно ли, что = М [c.214]

В заключение предположим, что р = 2 п для некоторого нечетного п. Тогда для отображения полученного из / с помощью метода квадратного корня, примененного к раз, мы имеем (Л, ) = S j,. Кроме того, конструкция удвоения периода превращает отображение / в отображение /, которое переставляет отрезки [О, 1/3] и [2/3, 1], и единственной неблуждающей точкой отображения / из интервала (1/3,2/3) является неподвижная точка. Таким образом, отрезок [О, 3 ] инвариантен относительно отображения и объединение образов этого отрезка содержит все непериодические неблуждающие точки Но тогда по третьему пункту предложения 3.1.7 мы получаем, что (At) = bgA . [c.508]

Рассмотрите неподвижные точки. Если неподвижная точка только одна, то это единственная неблуждающая точка, и все доказано. Аналогично, если существуют две неподвижные точки н их производные не равны единице по абсолютной величине, то тоже все доказано. Если же существуют две неподвижные точки с производной равной единице по абсолютной величине, то данное отображение сопряжено вращению сферы. [c.745]

Неблуждающие точки. Центр.........219 [c.152]

Совокупность всех неблуждающих точек ДС обозна- [c.220]

Точка xGM называется неблуждающей точкой гомеоморфизма S, если для любой ее окрестности U найдется такое пФО, что 8 и)[ иф0. Гомеоморфизм S называется топологически транзитивным, если он обладает всюду плотной траекторией. [c.130]

Периодические точки диффеоморфизма Аносова 5 класса плотны в множестве 2(5) неблуждающих точек ). Число Р периодических точек периода С л конечно и [c.130]

Л-диффеоморфизмы. Говорят, что диффеоморфизм 5 удовлетворяет аксиоме А (или является А-диффеоморфизмом (см. [13]), если его множество неблуждающих точек Q(5) гиперболично и периодические точки S плотны в Q(5). Можно показать, что если S удовлетворяет аксиоме А, то множество I2(5) локально максимально его компоненты топологической транзитивности (т. е. множества Qi в теореме 2.5) называются базисными. [c.135]

Блуждающие и неблуждающие точки [c.52]

СЛЕДСТВИЕ. 2.12. Множество неблуждающих точек инвариантно. [c.54]

Свойства множества неблуждающих точек [c.54]

Рассмотрим в качестве исходного метрического пространства инвариантное множество A R. Если при этом точка ре А оказывается неблуждающей, то назовем ее не блуждающей в А. [c.54]

СЛЕДСТВИЕ 2.13. Если существует хотя бы одно дв((же-ние, устойчивое по Лагранжу хотя бы в одном направлении, то множество неблуждающих точек не пусто. [c.55]

СЛЕДСТВИЕ 3.13. В компактном. метрическом пространстве множество неблуждающих точек не пусто. [c.55]

СЛЕДСТВИЕ 4.13. В компактном метрическом пространстве всякое движение стремится к множеству неблуждающих точек. [c.55]

Вопрос 1.14. Существует ли точка, устойчивая по Пуассону для динамической системы, заданной в плоскости и имеющей хотя бы одну неблуждающую точку [c.58]

Теорема ([ИЗ]). В типичном однопараметрическом семействе векторных полей встречаются векторные поля с вырожденной особой точкой О, имеющей одно собственное значение О, седло по гиперболическим переменным и р гомоклинических траекторий Г,- точки О, р>1. Тогда для всех полей v , соответствующих достаточно близким к критическому значениям параметра, лежащим по одну сторону от критического значения, справедливо следующее утверждение. Для некоторой окрестности и объединения ОиГ,- ограничение потока поля на множество неблуждающих траекторий топологически эквивалентно надстройке над топологической схемой Бернулли из р символов. [c.113]

Для структурной устойчивости системы с более чем двумя степенями свободы по гипотезе Смейла (1965) необходимо и достаточно, чтобы у каждого осуществляемого фазовым потоком преобразования Г/ фазового пространства множество Q неблуждающих точек было гиперболическим, а множество периодических точек — всюду плотным в й (так называемая аксиома А ) и, кроме того, чтобы каждое устойчивое и каждое неустойчивое многообразия точек из Q были бы трансверсальными. Достаточность этих условий доказана в довольно общем виде, а необходимость — пока что лишь при более ограниченном определении структурной устойчивости. Стохастичность аттракторов в системах, удовлетворяющих аксиоме А , доказана Боуэном и Рюэллем (1975). [c.128]

Неблуждающая точка 196 Нсблуждающис дпижспия 196 Неинтегрируемая система 258 Некинетическая частица 34 Неравенство Сундмана 263, 272 Неспециальные движения 248 Неустойчивость пфаффовых систем 114 Неустойчивые движения 133 Нормализация 89 [c.406]

Равным образом в этом определении можно полагать, что N сколь угоднс велико. В самом деле, если для каждого и выполняется условие /" 7) Г пи =0, N0, то точка х не периодическая. Следовательно, можно наит такую окрестность V эх, что / (Т )П У =0, г =0,1,..., К,, и ж не може быть неблуждающей точкой. В определении для потоков с самого начал следует потребовать, чтобы время возврата не было слишком маленьким Другое простое замечание состоит в том, что для обратимого отображения ] неблуждающей точки х и открытого множества V э х существует скол) угодно большое (по модулю) отрицательное N. для которого / У)пУф0 [c.140]

Доказательство. Сначала докажем, что пересечение устойчивого и неустойчивого многообразий для Р состоит не более чем из одной точки. Будем рассуждать от противного и предположим, что у 6 И "(х) П И (х) и уф X. Выберем окрестность Р точки х с локальной структурой произведения, которая не содержит у. Поскольку множества Р) = г У г)ПР ф ф0 и Р) = г г)ПРф0 открыты, Ш (Р)пШ (Р) представляет собой окрестность точки у. Так как по следствию 6.4.19 периодические точки плотны в = Т", существует поднятие у /-периодической точки из множества И (Р) П И (Р) Р. Но П Р 0 и И (у) ПРф0, так что благодаря наличию стр туры произведения на Р найдется точка х W y ) П П Р. Таким образом, без потери общности мы можем считать, что у 6 х) П 1У (х), уфх я х — поднятие неподвижной точки отображения / (быть может, после перехода к некоторой итерации). Меняя, если нужно, поднятие Р отображения /, мы можем считать, что х — неподвижная точка отображения Р. -гомоклиническая точка у по следствию 6.5.6 является неблуждающей точкой, так что, поскольку периодические точки плотны в iVW(P), найдется периодическая точка г отображения Р вблизи у. Но если п — период г, то тем самым показано, что отображение Р" имеет две неподвижные точки, вопреки лемме 18.6.3. [c.591]

Имеется ряд результатов о типичности для С -топологии. Наиболее важный из них состоит в том, что периодические точки в типичном случае плотны в множестве неблуждающих точек [262], [263]. Для гамильтоновых систем аналогичный результат получен в [264]. Этн результаты основаны на С -лемме о замыкании, доказанной Пью [262], [263], которая утверждает, что иеблуждающая точка может быть сделана периодической посредством малого с -возмущения, сконцентрированного в окрестности этой точки. В такой форме лемма о замыкании не верна в С -топологни, см. [108]. До сих пор неизвестно, верны лн нелокальные С -или С°°-варнанты леммы о замыкании. Среди других интересных С -результатов о типичности имеется результат о том, что в типичном случае все гиперболические периодические точки симплектического отображения имеют гомоклинические точки, которые являются плотными н в устойчивом, н в неустойчивом многообразиях [317], а также результат о типичной плотности гиперболических точек для двумерных отображений, сохраняюшда меру [317]. Для двумерных отображений, которые не являются диффеоморфизмами Аносова и сохраняют меру, плотность эллиптических точек также С -типична, см. [229]. [c.728]

К 1-му типу относятся отображения, для которых почти всякая в смысле меры Лебега траектория (в том числе траектории критических точек) сходится к устойчивому притягивающему циклу, и множество неблуждающих точек состоит из этого цикла и отталкивающего инвариантного канторова множества. Отображения 1-го типа являются структурно устойчивыми. [c.212]

Таким образом, в пространстве параметров рациональных эндоморфизмов сферы Римана, также как для отображений отрезка, имеется два подмножества с противоположными свойствами. С одной стороны, открытое, гипотетически всюду плотное, подмножество, состоящее из структурно устойчивых эндоморфизмов, для которых почти все точки в смысле меры Лебега сходятся к конечному числу притягивающих циклов и множество неблуждающих точек гиперболично. С другой стороны, множество положительной меры, состоящее из эргодических относительно меры Лебега эндоморфизмов. Естественно задать вопрос образует ли объединение устойчивых и стохастических эндоморфизмов множество полной меры в пространстве параметров [c.226]

Обозначим через M множество всех неблуждающих точек. Точки дополнительного множества W= R M называются блуждающими. Этому эквивaлeнfнo [c.52]

СЛЕДСТВИЕ 1.12. А ножество М= неблуждающих точек замкнуто. [c.53]

ЗАМЕЧАНИЕ. 1.13. Не для всякой динамической систем . существует непустое множество неблуждающих точек. Так, в примере 5.6 все точки являются блужаающими. Учитывая, однако, лемму 1.8 и теорему 2.13, получаем [c.55]

На протяжении всего этого параграфа пространство R будем считать компактным. Тогда, согласно следствию 3.13, множество Л1 неблуждающих точек не пусто. Кроме того, оно инвариантно и замкнуч-о (см. следствия 1.12 и 2.12). Будучи замкнутым множеством компактного пространства, М компактно. Если рассматривать в качестве исходного пространства множество М, то в силу его компактности множество иеблуждающих в нем точек н пусто (А1,СМ). Так, в примере 1.9 множество М, состоит всего из двух точек покоя. [c.55]

Лемма (В. С. Афраймович, 1985). Если векторное поле, удовлетворяющее требованиям, наложенным в примере 2 или 3, имеет гомоклиническую траекторию цикла, по которой трансверсально пересекаются множества 5 и S , то все векторные поля из некоторой окрестности поля в пространстве х (Л ) имеют бесконечное множество неблуждающих траекторий и, следовательно, поле не принадлежит границе множества векторных полей Морса—Смейла. [c.91]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...