Разбиение области на траектории

Соответствующее разбиение области (/) на траектории медленных движений изображающей точки приведено на рис. 572. В этой области имеются две прямолинейные траектории y = A- -XjX и [c.836]

Мы скажем, что разбиение замкнутой области на траектории системы А) г-тождественно разбиению замкнутой области на траектории системы (Л ), если существует топологическое отображение на Gf, переводящее траектории системы (Л) и траектории системы (Л) друг в друга, при котором соответствующие друг другу точки находятся на расстоянии меньшем е. [c.430]

Пусть система (Л) определена в области О и пусть — какая-нибудь замкнутая область, целиком (вместе с границей) содержащаяся в О. Система (Л) называется грубой в замкнутой области (З , если для любого е>0 можно указать 8 > О такое, что какую бы систему (Л), удовлетворяющую в области О неравенствам (6.6), мы пи взяли, найдется содержащаяся в области О замкнутая область (3, разбиение которой на траектории системы (Л) Е-тождественно разбиению области Ог па траектории системы (Л). [c.430]

Покажем, что в обоих случаях можно указать сколь угодно близкую к системе (Л) измененную систему, у которой разбиение на траектории некоторой области, содержащей начало, качественно отлично от разбиения этой области на траектории, заданного системой (Л). Для этого рассмотрим измененную систему (Л) [c.439]

Системы сравнения и исследование топологической структуры расположения траекторий (см. также [104-106]), Метод ТСП, о котором говорилось в 6, является частным случаем метода исследования с помощью систем сравнения. Рассмотрим две системы уравнений на плоскости и характеристическую функцию определяющих их векторных полей, которая, как указывалось, отвечает за знак синуса угла между векторными полями данных систем. Зная принцип разбиения на траектории одной из них, возможен анализ устройства фазовой плоскости другой системы, В частности, ТСП позволяет, к примеру, исследовать вопрос существования предельных циклов. Таким образом, основной упор делается на вычисление угла между двумя полями рассматриваемых систем в одной и той же области фазовой поверхности. [c.94]

Разбиение на траектории фазового цилиндра системы для первой области параметров. Рассмотрим систему (2.4) в области параметров I. [c.222]

Траектории маятника на сфере. В соответствии со свойствами разбиения на траектории фазового пространства, типичные траектории точки D плоской области делятся на классы. [c.261]

Разбиение на траектории фазового пространства системы для первой области параметров. Рассмотрим систему [c.277]

Разбиение области G фазовой плоскости на траектории. Некоторые элементарные сведения о траекториях. [c.26]

В силу теоремы 3 динамическая система, заданная в области G, определяет некоторое семейство траекторий или, как мы будем говорить, некоторое разбиение области G на траектории. [c.28]

О п р е д с л е и и с V. Мы будем говорить, что разбиения на траектории, определенные двумя динамическими системами (А,) и (Аг), имеют соответственно в областях G и Со одинаковую пли тождественную топологическую или качественную) структуру, если существует отображение Т области С на область Ст1, удовлетворяющее следующим требованиям. [c.125]

Вместо ТОГО, чтобы говорить разбиения на траектории, определенные динамическими системами (Aj) и (Ag) соответственно в областях G и Gn, имеют одинаковую топологическую структуру мы будем говорить короче динамические системы (Aj) и (А2) имеют соответственно в областях i , и 2 одинаковую топологическую структуру . Мы будем также часто для краткости говорить динамические системы (Aj) и (А2) имеют одинаковую топологическую структуру либо топологические структуры разбиения на траектории областей 0 и G2 одинаковы . При этом подразумевается, что в первом случае известно, о каких областях, а во втором—о каких системах идет речь. [c.126]

Теорема 36. Пусть даны две дина.мические системы, определенные или обе на сфере, или обе — в ограниченных плоских областях (G и G ). Если топологические структуры разбиения на траектории у этих [c.259]

Множество точек замкнутой области С, не принадлежащих множеству Е, является открытым множеством. Оно может распадаться на конечное или счетное множество областей без общих точек. Ниже будет показано, что число этих областей конечно. Этп области мы будем называть ячейками разбиения на траектории, или, для краткости, просто ячейками. [c.288]

Полное качественное исследование динамической системы. Схема динамической системы. Доказанные в настоящем параграфе предложения делают очевидной ту роль, которую играют особые траектории в разбиении на траектории в целом особые траектории разделяют область О, в которой рассматривается динамическая система, на частичные области — ячейки с одинаковым (в смысле теорем 47, 48, 49, 52, 53 и 57) поведением траекторий. [c.315]

Л е м м а 7. Топологические структуры разбиения на траектории всех замкнутых элементарных областей следующих типов 1) элементарного четырехугольника-, 2) правильного параболического сектора 3) правильной эллиптической области 4) правильной седловой области — различны между собой. [c.339]

Настоящая глава непосредственно примыкает по своему содержанию к главе VHI. Она посвящена исследованию свойств со- и а-предельных континуумов, а также континуумов, являющихся граничными для ячеек, заполненных замкнутыми траекториями, и затем описанию схем таких континуумов. Кроме того, в настоящей главе рассматривается также схема границы области G в предположении, что эта граница нормальна. Полные схемы предельных континуумов и схема границы области являются наряду с полными схемами состояний равновесия основными элементами того описания расположения особых траекторий (с указанием среди них предельных) — схемы динамической системы , которое, как мы увидим в следующей главе, полностью определяет топологическую структуру разбиения на траектории. [c.411]

После этих предварительных общих замечаний перейдем к подробному доказательству основной теоремы. Отметим прежде всего, что топологическая тождественность разбиения на траектории соответствующих друг другу по схеме канонических окрестностей доказана в теореме 72, а топологическая тождественность областей типа Наш и Sa , оо и после элементарного проведения вспомогательных дуг (в случае областей Еаю этими дугами являются дуги траекторий, соединяющие циклы без контакта, а в случае Zoo эти дуги являются дугами без контакта, соединяющими граничные замкнутые кривые, существующие в силу леммы 7 19) сводится к лемме 8 18 (о топологической тождественности разбиений элементарных четырехугольников). [c.490]

Теорема 75. Если схемы двух динамических систем /) и J), рассматриваемых соответственно в замкнутых областях G и G , тождественны с сохранением ориентации и направления по t, то топологические структуры разбиений областей G и G соответственно на траектории систем D и D тождественны с сохранением ориентации и направления по t. [c.495]

Основная теорема 76. Для того чтобы топологические структуры разбиения на траектории динамических систем В и В в замкнутых областях С и С были тождественны, необходимо и достаточно, чтобы схемы этих систем были тождественны. [c.497]

Таким образом, задавая в области С (которая может совпадать со всей плоскостью) динамическую систему (А), мы тем самым задаем некоторое семейство траекторий, или, в другой терминологии, разбиение этой области (или плоскости) на траектории. [c.17]

Математическое определение качественной (топологической) структуры разбиения на траектории и качественного исследования динамической системы. Для того чтобы привести соответствующие математические определения, напомним прежде всего использующееся при этом понятие топологического отображения плоскости в себя (или в другую плоскость) или области в себя (или в другую оол стъ).. Топологическим отображением (или гомеоморфизмом) плоскости (области) в себя называется взаимно однозначное и двусторонне непрерывное отображение плоскости (или области) 2°). [c.37]

Если дана динамическая система (А), то она определяет (на плоскости или в рассматриваемой области плоскости) некоторое семейство траекторий, или, в другой терминологии, некоторое разбиение на траектории. [c.37]

Теорема 9. Если разбиения на траектории, заданные двумя динамическими системами в ограниченной области С, тождественны, т. е. существует топологическое отображение области в себя, при котором траектории этих систем отображаются друг в друга, то орбитно-устойчивые полутраектории отображаются в орбитно-устойчивые, а орбитно-неустойчивые — в орбитно-неустойчивые. [c.52]

Разбиение области Н на аектории системы (А) называется г-тож-дествелпым разбиению области Яна траектории системы (А), если существует топологическое отображение замкнутых областей Я и Я, при котором траектории систем (А) и (А) отображаются друг в друга, и при этом соответствующие точга находятся на расстоянии, меньшем е (при этом всякая точка области Я находится в е-окрестности некоторой точки области Я). [c.140]

В приведенном определении может вызвать недоумение рассмотрение вспомогательных областей Я и Я Непосредственно представляется естественным следующее определение система называется грубой в замкнутой области Со с С, если при любом е > О можно указать б > О такое, что, какую бы систему (А), б-близку10 в области С к системе (А), мы ни взяли, существует замкнутая область разбиение которой на траектории системы (А) е-тождественно разбиению области Оо па траектории системы (А). [c.140]

В соответствии с этими Со 1учаями пространство параметров системы разбивается на области значений, при которых топологическая структура разбиения фазового пространства на траектории остается одинаковой. Уравнения границ указанных областей находятся из условия изменения числа [c.115]

Под разбиением фазового пространства понимается разбиение про-ютранства переменных Жз,. . х на фазовые траектории, т. е. на кривые х = х (1), Х2 = Х2 ( ),. . ., = х ( ), соответствующие -всевозможным решениям уравнений (1), Под изучением структуры этого разбиения имеется в виду в первую очередь выделение в этом пространстве особо важных движений — устойчивых состояний равновесия и устойчивых периодических и квазипериодических движений, затем отыскание их областей притяжения и выяснение их взаиморасположения. Под полным изучением структуры разбиения фазового пространства на траектории лонимается полное топологическое описание этого разбиения. [c.139]

Структура разбиения фазового пространства на траектории зависит от параметров рх, р2,. . Рт и тем самым пространство параметров Р1, р2,. . Рт разбивается на области, соответствующие различным разбиениям фазового пространства на траектории. Границы этих областей соответствуют бифуркационным значениям параметров, т. е. значениям параметров, при переходе через которые возможно какое-то изменение структуры разбиения фазового пространства на траектории. Под структурой пространства параметров понимается топологичесйая структура его разбиения на области, соответствующие различным структурам фазового пространства. [c.139]

В главе 4 качественно исследованы и проинтегрированы два модельных в зианта плоскопараллельного движения тела в сопротивляющейся среде, которые описываются динамическими системами с переменной диссипацией с нулевым средним. Такие случаи движения предполагают наличие некоторой связи в системе (а именно, в одном случае величина у = V постоянна со временем, в другом — скорость центра масс как вектор постоянна) [186, 187]. Такие системы являются относительно структурно устойчивыми (относительно фубыми) и топологически эквивалентными системе, описывающей закрепленный маятник, помещенный в поток набегающей среды. Указан дополнительный первый интеграл в системе, являющийся трансцендентной (в смысле теории функций комплексного переменного, имеющей существенно особые точки после ее продолжения в комплексную область) функцией фазовых переменных и выражающейся через элементарные функции. Более того, фазовый цилиндр 7 а,О (или К а,оз ) квазискоростей имеет интересную топологическую структуру разбиения на траектории. На цилиндре имеются две области (замыкание которых и есть фазовый цилиндр) с совершенно различным характером траекторий (см. ил. 2). [c.34]

Определение VI. Топологическим качественным) свойством разбиения области С, на траектории или множества траекторий или тчкжг топологическим инвариантом разбиения на траектории называется свойстзо или величина, остающиеся инвариантными при всевозможных отождествляющих отображениях. [c.128]

Обозначим через S множество точек сферы. Мно/кество точек сферы, не принадлежащих множеству Е, т. е. множество S E, очевидно, яв.пяется открытым множеством и, следовательно, может распадаться на конечное или счетное число областей. Эти области так же, как и в случае динамической системы в плоской области, мы будем называть ячейками разбиения на траектории. Очевидно, точки ячеек принадлежат целым орбитноустойчивым траекториям. [c.290]

В настоящей главе вводится понятие полной схемы динамической системы, имеющей конечное число особых траекторий. В полную схему динамической системы как составные части входят полные схемы состояний равновесия и предельных континуумов. Полная схема дает исчерпывающее описание взаимного расположения особых элементов и полностью определяет топологическую структуру разбиения на траектории. Осиов-ной теоремой настоящей главы является следующая теорема если схема двух динамических систем В п В, рассматриваемая соответственно в замкнутых областях (т и О , тождественна с сохрансиием ориентации. и направления по 1, то топологические структуры разбиения областей С и С соответственно на траектории систем В п В тождествецны. Доказательство этой теоремы заключается в фактическом построении отождествляющего отображения, т. е. топологического отображения области С в С , при котором траектории систем В и В отображаются друг в друга. [c.453]

Лемма 5. Если схемы систем D и D тождественны с сохранением ориентации и направления по t и области Паь и Oa-b соответствуют друг другу по схеме, то разбиения на траектории этих об.тстсй топологически тождественны с сохранением ориентации и направления по t. [c.490]

Здесь прежде всего следует отметить работу Брауэра, в которой вопрос о разбиении. сферы на области, заполненные траекториями со сходным поведением, рассматривается для весьма общего случая, именно, для случая непрерывного векторного поля на сфере, с конечным числом особых точек. (В силу того, что Брауэр предполагает по.т1е просто непрерывным, а не непрерывно-дифференцируемым, как в настоящей книге,— через неособые точки сферы может проходить более одной траектории.) Если классификацию областей, данную Брауэром, использовать в рассматриваемом нами случае непрерывно-дифференцируемого поля, то отдельные области Брауэра, вообще говоря, будут состоять из нескольких ячеек в смысле 17. В качестве примера можно привести область, представленную на рис. 341, образующую одну область Брауэра. Она состоит из двух ячеек. Вопрос о выделешш траекторий, определяющих топологическую структуру разбиения на траектории, Брауэром не ставился. [c.555]

Возможные типы ячеек. Односвязные и двусвязные ячейки. Естественно возникает вопрос о возможных типах элементарных ячеек. Именно, так же, как о топологотеской структуре разбиения области С (или замкнутой области О) на траектории системы (А), можно говорить о топологической структуре ячеек [c.55]

Оп р е д е л е н и е Г. Динамическая система (А) называется грг/бой в замкнутой области Со если существует замкнутая обладть Я, целиком содержащаяся в О (На С) и целиком содержащая Со (СосЯ), в которой вьшолняются следующие условия при любом 8 > О можш указать б>0 такое, что, какую бы систему (А), б-близкую в области С к системе (А), мы ни взяли, существует замкнутая область Я с О, разбиение которой па траектории системы (А) 8-тождественно разбиению области Я на траектории системы (А). [c.140]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...