Полиномы

Широко используется также при решении задач теории - переноса излучения метод сферических гармоник, т. е. метод разложения интенсивности излучения по полиномам Лежандра. При этом уравнение переноса сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений относительно весовых функций разложения. [c.143]

Однако в случае, когда N имеет значение целого числа, определяемого произведением (т + 2k)(m 2k 1), коэффициент и все последующие коэффициенты ряда при п = О равны нулю, и бесконечный ряд вырождается в полином степени 2k, который является конечным при х, равном +1 и —1 подобным образом ряды при п, равном единице, вырождаются в полином, когда = (ш + 2А -f l)(m 2k + 2). В каждом случае общее решение для v можно выразить как сумму полинома и бесконечного ряда. Так как ряды неприемлемы для волновой функции, то полиномы представляют единственно возможное решение. [c.82]

Поскольку m и — целые числа, величина N, необходимая для образования полинома и получения приемлемой волновой функции, может быть выражена [c.83]

Очевидно, что чем сложнее применяемые аппроксимирующие функции и чем шире класс этих функций, тем сложнее задача формализации метода и его реализации в САПР. Особенностью МКЭ является выбор аппроксимирующих функций для каждого КЭ в отдельности. Малые размеры КЭ позволяют использовать простые аппроксимирующие функции, причем одного и того же типа для всех КЭ определенной формы. Обычно в качестве w(X) для отдельного КЭ применяют полиномы степени не выше третьей, например в одномерном случае [c.163]

Метод полиномиальной аппроксимации заключается в определении полинома, аппроксимирующего функцию F ) (чаще всего — квадратичного полинома), и поиске его минимума. [c.290]

Этим полиномом были описаны результаты измерений с газовым термометром, выполненные НФЛ [2]. Окончательная таблица получила название Предварительная таблица значений зависимости W 01 Т для платинового термометра сопротивления в интервале от 12 до 273,15 К, ККТ-64 и была опубликована ККТ [7]. В табл. 2.3 приведены наиболее надежные значения температур реперных точек в соответствии с таблицей ККТ-64 [3]. Эти значения были получены после публикации таблицы ККТ-64 и несколько отличаются от значений, рекомендованных в самой таблице. [c.52]

При использовании вириального уравнения следует помнить, что число членов в нем бесконечно, и если применяется разложение с конечным числом членов, как это практически и бывает, то коэффициенты такого разложения не являются, строго говоря, вириальными коэффициентами. Разница между вторым коэффициентом полинома низкого порядка и действительным вторым вириальным коэффициентом, который требуется знать, обычно очень мала, так как последний является определяющим членом ряда. Однако это не относится к третьему и четвертому коэффициентам в конечном разложении они могут очень сильно отличаться от третьего и четвертого вириальных коэффициентов. [c.78]

Свойства гелия, который используется в качестве термометрического вещества, слабо отличаются от свойств идеального газа, и коэффициентом А2(Т) можно пренебречь всюду, кроме области очень низких температур, поэтому акустические изотермы обычно выглядят как прямые линии с наклоном, который зависит главным образом от В(Т) и его первой производной. В п. 3.2.1 было показано, что зависимость В(Т) выражается полиномом по степеням Т, согласно уравнению (3.18), и соответственно зависимость А1(Т) также может быть выражена в виде полинома согласно уравнению (3.20). [c.101]

Записать в явном виде и с нужной точностью соотношение между сопротивлением и температурой, основываясь на физической теории, не удается, однако уверенность в том, что эта зависимость близка к экспоненциальной, приводит прежде всего к полиномам вида [c.241]

Если используются преобразованные переменные, что обычно помогает линеаризовать соотношение между Я к Т [например, уравнения (5.36) и (5.37)], то следует обратить внимание на то, чтобы экспериментальные точки располагались равномерно по отношению к новой переменной иначе в отдельных участках диапазона могут возникнуть неожиданные осцилляции. Другими словами, если германиевый термометр градуируется в диапазоне от 1 до 20 К, то между 1 и 2 К должно быть столько же экспериментальных точек, сколько их между 10 и 20 К, и в качестве аналитического выражения должен использоваться указанный полином. По возможности следует также брать несколько точек за пределами аппроксимируемого интервала, чтобы среднеквадратичное отклонение на краях интервала было не хуже, чем внутри его. Если это невозможно, то у краев интервала следует брать больше точек, чем в середине. Для хорошей подгонки полинома методом наименьших квадратов требуется, чтобы дисперсия новой зависимой переменной была постоянной по всему интервалу. На практике осуществить это удается обычно лишь в том случае, когда интервал аппроксимирования очень узок. Поэтому для обеспечения постоянства дисперсии приходится придавать экспериментальным данным статистические веса. Поскольку в случае германиевого термометра как Я, так и Т имеют дисперсию, которая непостоянна в пределах интервала аппроксимации, весовой множитель зависимой переменной должен быть обратно пропорционален полной дисперсии которая дается выражением [c.241]

Проблемы могут возникать и с выбором степени полинома, поскольку слишком высокий порядок может привести к нежелательным осцилляциям аппроксимирующей функции, а слишком низкий порядок, естественно, не дает желаемой точности [c.242]

Опыт показывает, что результаты градуировки германиевых термометров могут также хорошо аппроксимироваться уравнением вида T = f nR) с использованием полиномов Чебышева. Не обязательно, конечно, пытаться аппроксимировать весь интервал одним полиномом в предельном случае, используя технику сшивки , можно вообще брать столько полиномов, [c.242]

Рис. 5.38. Сходимость коэффициентов ортогонального градуировочного полинома для германиевых термометров сопротивления. Коэффициенты шумов имеют случай-

СКОЛЬКО имеется экспериментальных точек (см., например, п. 7.6.2 гл. 7, где обсуждается подбор полиномов для описания кривой пропускания интерференционных фильтров). Для облегчения подбора полинома интервал аппроксимации нередко разбивают на два интервала, особенно если он включает точку перегиба между зонами III и IV примерно при 10 К (см. рис. 5.7). [c.243]

Стандартные таблицы были рассчитаны при обработке экспериментальных зависимостей э. д. с. от температуры методом наименьших квадратов. Порядок полинома подбирался обычно таким, чтобы остаточные отклонения соответствовали экспериментальной погрешности. Только для термопары типа В оказалось возможным применить для всего интервала температур единый полином, а в остальных случаях в точках соединений [c.300]

Полиномы, которые были таким образом рассчитаны, не очень удобны для вычислений. Полиномы содержат до четырнадцати членов, коэффициенты которых имеют одиннадцать значащих цифр (для термопар типа 5 и число значащих цифр сокращено до семи). Сократить число знаков в коэффициентах не слишком просто, особенно если для разных коэффициентов требуется разное их число. Однако эти сокращения были в основном выполнены, и в приложении V даны коэффициенты с числом знаков от пяти до восьми для большинства термопар [28]. Кроме того, там приведены коэффициенты полиномов Чебышева, хорошо описывающих таблицы, и можно видеть, что этот способ описания данных гораздо эффективнее. Следующий шаг для упрощения работы со стандартными справочными таблицами состоял в вычислении прямой и обратной зависимостей [28]. [c.301]

Нйя й поэтому МОЖНО ввести поправку [43]. Долговременный дрейф яркостных температур ниже 1500 °С незначителен, но он возрастает примерно до 0,02 °С за 100 ч при 1600 °С, 0,08 °С при 1700 °С и 0,15°С при 1770 °С. Эти величины типичны для вольфрамовых ленточных ламп, так что температура выражается как функция только величины постоянного тока. Это вполне адекватный метод. Он устраняет трудности проведения точных измерений напряжения на вводах при наличии температурных градиентов. Для конструкции лампы, показанной на рис. 7.19, соотношение ток/температура может быть выражено полиномом четвертой степени для вакуумных ламп в области от 1064 до 1700 °С, а для газонаполненных ламп — в области от 1300 до 2200 °С. Для ламп конкретной конструкции коэффициенты полиномов варьируются слабо, что обеспечивает удобный контроль в процессе градуировки [1,26]. [c.359]

Чтобы получить точное значение Т, следует позаботиться о выборе метода численного интегрирования уравнения (7.69). Функции 5(Я) и /(Я) всегда имеют вид таблиц, так как они являются результатом экспериментальных измерений, выполненных для большого числа дискретных длин волн. При выполнении численного интегрирования существует много способов подбора аналитических функций к экспериментальным данным, и результирующая погрешность зависит от выбора функций и от интервалов между экспериментальными точками. Численные методы обработки уравнения (7.69) обсуждались в работе [83], где предложена простая процедура, основанная на подгонке набора полиномов для (Я) и (Я). В каждом интервале между экспериментальными точками при длинах волн X,- и Я,+1 используется полином степени п (4 п 6) для описания в (ц+1) точках по обе стороны Я,. Таким образом, для каждого интервала используются различные полиномы. Интегрирование выполняется по методу Симпсона с величиной шага, который выбирается так, чтобы погрешность интегрирования была ниже выбранного значения. Если определить функцию / (Я, Т) формулой [c.370]

ПО лампе В. которая остается при температуре точки золота. Это делается просто сравнением В с (Л+ секторный диск). Температура лампы В затем повышается и делается равной одной из высокотемпературных точек, которые уже найдены с лампой А, и они используются по очереди как реперные температуры для установления дальнейшей серии температур лампой А. Эта процедура может повторяться до получения достаточного количества градуировочных точек, чтобы вычислить полиномы, хо- [c.375]

Приведенные ниже полиномы описывают градуировочные таблицы МЭК 584-1 (1977) для термопар. Полиномы А описывают градуировку в форме E=f(T), где Е — э. д. с., мкВ, Т — температура, °С. [c.421]

Для течений четвертого порядка F — полиномиальная функция второго порядка от ksti тензоры же Коши и Фингера являются полиномами четвертого порядка от ks и [c.122]

Полиномы, полученные выше, известны как присоединенные полиномы Лежандра степени / и порядка m и обозначаются символом Pf x) или P ( os0). Приемлемая волновая функция для жесткого ротатора может быть записана в виде [c.83]

Число к узлов интерполирования, т. е. число уравнений системы (2,34), принимается равным числу неизвестных параметров р,. Если приближающая функция представлена в виде обобн еппого полинома (2.32), уравнения системы (2.34) становятся линейными [c.78]

Решая систему уравиенин, находим коэффициенты полинома Ро = 340899,9Э Р --= 7200,01 Р2=-138,56. [c.80]

Если порцию поверхности задать в границах Uk+i, Vs V s+i, то уравнение параметрической сплайновой поверхности имеет вид бикубического полинома [c.42]

Результаты международного сличения [45],показанные на рис. 2.3, послужили основой низкотемпературной части МПТШ-68. Усредненная таблица W T) как функции от Т была рассчитана после пересчета каждой из четырех шкал к значению точки кипения кислорода 90,170 К и точки кипения водорода 20,267 К. Усредненные значения 117(7 ) были обработаны полиномом вида [c.51]

Различие уравнений идеального газа и вириального разложения об Ъясняется существованием сил взаимодействия между молекулами. Вывод уравнения состояния с учетом всех взаимодействий между молекулами газа приводит, естественно, к полиному по степеням плотности. Второй и последующие коэффициенты полинома описывают эффекты, возникающие при столкновении молекул газа. Второй коэффициент учитывает суммарный вклад всех парных взаимодействий между молекулами, третий вклад взаимодействий между тремя молекулами, четвертый — между четырьмя и т. д. Очевидно, что вычисление коэффициентов становится очень трудной задачей, если учитывать столкновение более чем двух молекул. Для задач, связанных с термометрией, вклад третьего и последующих членов в вириальном разложении достаточно мал и им можно пренебречь, за исключением области самых низких температур. [c.77]

Характеристику железородиевого термометра в весьма широком диапазоне температур можно аппроксимировать полиномами разумного порядка [46]. В диапазоне от 0,5 до 20 К полином восьмой степени обеспечивает стандартное отклонение не более 0,2 мК в диапазоне от 0,5 до 27 К для той же точности достаточен полином одиннадцатой степени. Эти полиномы описывают температуру как функцию сопротивления. Менее точные данные в диапазоне от 27 до 273 К могут быть аппроксимированы с точностью до 1 мК полиномом, в котором в качестве независимой переменной принимается lпZ, где Z представляет собой отношение (7 т— 4,2)/( 273,16— 4,2)- Сложности возникают при попытках аппроксимировать диапазоны, включающие температуру 28 К, поскольку в этой точке низкотемпературное сопротивление, обусловленное примесными явлениями, уступает место высокотемпературному сопротивлению, обусловленному рассеянием на фононах, и кривая зависимости сопротивления от температуры проходит через точку перегиба. [c.235]

Рассмотрим в качестве примера применение стандартной градуировочной таблицы термопар типа Я. Сама таблица задана в форме полинома [38] (см. приложение V) седьмой степени в интервале температур от —50 до 630 °С и четвертой степени в интервале от 630 до 1064 °С. Вопрос об упрощении математической аппроксимации этой и других справочных таблиц будет рассмотрен ниже. На рис. 6.16 показаны отклонения показаний значительного числа современных термопар от стандартной таблицы Отклонения были измерены [27] в точках затвердевания цинка ( 419 °С), серебра ( 960 °С) и золота ( 1064°С), точность была оценена величиной 0,2°С. Очевидно, что квадратичной формулы вполне достаточно для описания отклонений в пределах погрешности измерений. Сопостав- [c.299]

ПОЛИНОМОВ обеспечена непрерывность как по э. д. с., так и по чувствительности. Для термопар типа 5 и в точке соединения 630,74 °С величина 5 (Г) имеет небольшой скачок в 0,18 %, возрастая при более высоких температурах. Этот дефект отражает скачок самой МПТШ-68 в этой точке (см. гл. 2). Для описания температурной зависимости термопары типа 5 от 630,74 до 1064,43 °С применена квадратичная формула, как и требуется. при воспроизведении МПТШ-68 в этом интервале. [c.301]

Коэффициенты uj этой стандартной функции даны в табл. 2. Поправки AWi(Te8) при температурах основных реперных точек получают из измеренных значений W(Tq8) и соответствующих значений И7ккт-б8(Тб8) (табл. 3). Чтобы найти поправки AWi Tes) при промежуточных температурах, используют интерполяционные формулы. Диапазон между 13,81 и 273,15 К разделен на четыре участка, в каждом из которых AWi Tss) определяется полиномом от Tes- Коэффициенты полиномов определяют из значений AW, (7 68) в реперных точках и из условий равенства производных dAWi Tes)ldTes на границах соседних температурных участков [c.415]

Коэффициенты Зу уравнения (5) и коэффициенты Су полинома Чебышева, обеспечи-Бающего получение величины совпадающей с получаемой при вычислении по уравнению (5). [c.416]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...