Области неустойчивости Общий случай

Общие свойства границ областей устойчивости детально исследованы П. Ф. Папковичем [311. В частности, им доказана важная теорема о выпуклости границы области устойчивости. Согласно этой теореме граница области устойчивости не может быть обращена выпуклостью к области устойчивости. Так, для случая действия на систему двух независимых нагрузок граница области устойчивости может состоять из криволинейных участков, обращенных выпуклостью к области неустойчивости, и отрезков прямых. [c.34]

Предварительные замечания. Если задача о параметрических колебаниях распределенной системы сведена к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, то дальнейший анализ может быть проведен методами, описанными в гл. VII. Для обобщенного особого случая, а также для общего случая используют численные методы из гл. VII. Области параметрического резонанса для распределенных систем строят либо путем совмещения областей неустойчивости, полученных для отдельных [c.254]

Рассмотрим теперь общее соотношение (2.1.8) для собственных значений. Предположим, что X, R2/Ri и фиксированы, а R возрастает. Неустойчивость появится, когда R примет значение, при котором а будет иметь чисто мнимое значение. Возможно также, что а всегда действительно и проходит через нуль. Обычно предполагается, что имеет место последний случай, хотя для этого и нет окончательного доказательства (принцип изменения устойчивости) 1). Тем самым предполагается, что нейтральное возмущение является фактически вторичным течением. Таким образом, критическое значение R, отмечающее границу области неустойчивости, будет наименьшим положительным корнем R уравнения 2) [c.27]

Перейдем теперь к исследованию устойчивости состояний равновесия. Напомним определение устойчивости и неустойчивости для этого общего случая. Состояние равновесия называется устойчивым, если, задав вокруг состояния равновесия любую область s, всегда можно найти соответствующую область 8 (е) такую, что помещенная в область 8 (г) (при t = о) изображающая точка никогда (при t t ) не выйдет из области . Состояние равновесия называется неустойчивым, если существует такая область s вокруг состояния равновесия, что для нее нельзя подобрать область 8(е), обладающую только что указанным свойством. Пуанкаре [185] и Ляпунов [84] дали аналитический метод исследования устойчивости состояний равновесия. Мы изложим этот метод и дадим его обоснование. [c.308]

В сечении С поток отходит от стенки, а пограничный слой трансформируется в отрывное течение. Границей отрывного течения и внешнего потока является условная линия раздела (в двухмерном представлении), хорошо прослеживаемая, например, для случая обтекания цилиндра (рис. 160, 161). Обратные скорости отрывного течения убывают с увеличением расстояния от стенки, и можно наметить линию нулевых скоростей, вокруг которой происходит циркуляция частиц. Это течение носит неустойчивый характер. Возникающие вихри, отрываясь от тела, уплывают вниз по течению на их месте возникают новые и т. д. Таким образом, несмотря на общий установившийся характер движения, в области отрывного течения скорости в отдельных точках пространства периодически колеблются. [c.304]

Наибольшее затруднение в использовании (18.173) для отыскания границ между устойчивыми и неустойчивыми состояниями системы состоит в большой сложности построения частных решений fl и Ь хотя бы в пределах первого периода. Областей динамической неустойчивости бесконечное множество. Общий характер расположения этих решений можно исследовать, предполагая, что периодическая составляющая внешней продольной силы очень мала. На рис. 18.113 этому соответствует область, примыкающая к оси абсцисс. Обнаруживается, что при р О решения с периодом 2Т лежат попарно вблизи частот 0 = 2П/А (к = 1, 3, 5,. ..), а решения с периодом Т — вблизи частот О. = 20/ к = 2, 4, 6,. ..). Оба случая объединяются формулой [c.462]

Выше речь шла о возникновении неустойчивости относительно осесимметричных возмущений. Рассмотрение возмущений более общего вида проведено в работе [54], где спектральная задача (10.3) решена численно для случая антисимметричных возмущений (ш = 1). Расчеты проведены ддя Рг = 0 0,71 и 3,5 (вода при 50 °С). На рис. 49 приведены результаты для Рг = 0,71, когда неустойчивость имеет гидродинамическую природу. Как видно, в той области, где кривизна существенна (5 < 0,44), антисимметричные возмущения более опасны, чем осесимметричные. Ситуация более сложна при Рг = 3,5, когда дополнительно появляется волновая осесимметричная мода. Как показывают расчеты, при малых 5 (5 < 0,03), а также в интервале 0,16 < 5 0,4 наиболее опасны антисимметричные возмущения гидродинамического типа в области 0,3 < 5 < 0,16 — осесимметричные волновые наконец, при [c.83]

Абсцисса общей точки Д и о, т. е. х, больше абсциссы максимума кривой Д. Расположение линий Д и о на плоскости [х, Уо) показано на рис. 170, в, а соответствующее расположение на плоскости (xq, у о)—на рис. 171, s. При дальнейшем увеличении может быть еще одна возможность, при которой состояние равновесия с меньшей абсциссой устойчиво, а с большей — неустойчиво. Мы предоставляем читателю проследить возникновение такой возможности на плоскости х, уо) и соответствующую картину на плоскости хо, i/o). На рис. 171 в области 1 у системы (1)—единственное состояние равновесия, узел или фокус, в области 2 —три состояния равновесия, оба узла или фокуса устойчивы, в области 3 — фокус или узел с меньшей абсциссой неустойчив, фокус или узел с большей абсциссой устойчив, в области 4 — единственное состояние равновесия неустойчиво, в области 5 — три состояния равновесия, два неустойчивых узла или фокуса. Как уже указывалось, возможен еще случай, когда левое состояние равновесия — устойчивый фокус или узел, правое — неустойчивый. [c.331]

Предел Л — со соответствует случаю нулевой диссипации. Как показали Бейкер и др., в этом предельном случае больших/ периодические решения (3.2.5) в области периодических движений становятся локально неустойчивыми. Это сочетание глобальной устойчивости и локальной неустойчивости, по-видимому, характерно для хаотических дифференциальных уравнений. В более поздней работе [126] изучен более общий класс уравнений третьего порядка вида [c.79]

Так как а = —а>0, и (/) возрастает экспоненциально. Это свидетельствует о том, что состояние <7о = О неустойчиво. В гл. 2 и 3 мы изложим анализ устойчивости по линейному приближению в общем виде. В частности, мы рассмотрим случай, когда неустойчивым становится не только константа-решение <7о, но и движение по предельному циклу или по тору. Последняя проблема приводит нас в весьма странную область квазипериодических движений, где было сделано еще больше открытий (в число которых вносит свой вклад и эта книга). После того как анализ устойчивости произведен, возникает очередной вопрос в какие новые состояния перейдет система. При ответе на него для синергетики наибольшее значение имеют два понятия параметр порядка и принцип подчинения. Для того чтобы пояснить их, рассмотрим два дифференциальных уравнения [c.61]

Если при нагружении пластины силы qx и ( во астают пропорционально одному параметру, то в координатах <7 и q такое нагружение описывается лучом, исходящим из начала координат. Точки этого луча до пересечения границы области устойчивости характеризуют устойчивое начальное состояние равновесия, а после пересечения — неустойчивое. Общий случай комбинированного нагружения пластины описывается в координатах q и q , кривой, исходящей из начала координат и называемой путем погружения. Важно подчеркнуть, что для упругих пластин критическое сочетание величин q и q не зависит от пути нагружения. [c.205]

Так, Лихтенштейн [20] и Одквист [23] доказали суш,ествова-ние решения для общего случая вязкой несжимаемой жидкости в замкнутой области, содержащей конечное число частиц конечных размеров. В случае уравнений Стокса решение также единственно, но при больших числах Рейнольдса это не так. Например, Тейлор [29], рассматривая течение между двумя вращающимися концентрическими цилиндрами, показал, что если число Рейнольдса при вращении внутреннего цилиндра по отношению к внешнему превышает определенную величину, возникает неустойчивость течения, приводящая к установлению другого течения, которое само по себе устойчиво. С увеличением числа Рейнольдса течение становится неустановившимся с вполне определенной периодичностью. Для краевых задач, в которых на границах заданы производные компонент вектора или комбинации скоростей и производных, сформулировать требуемые условия не удается. Обычно сама физическая природа интуитивно используется при формулировке подходящих граничных условий, приводящих к единственному существующему решению. [c.79]

Во всех цитированных работах показано, что, как и ожидалось, граница гидродинамической моды неустойчивости слабо зависит от числа Прандтля и близка к соответствующей границе в случае изотермических стенок. Граница волновой неустойчивости по данным работы А.Т. Лип-чина и Н.И. Лобова [60] приведена на рис. 50 (использовался метод дифференциальной прогонки). Как видно, переход к теплоизолированному случаю приводит к существенному уменьшению порогового числа Прандтля, при котором появляется волновая мода (Рг = 0,89). Кроме того, зависимость Сг (Рг) оказывается немонотонной. При Рг 3,6 имеется глубокий минимум, причем в этой области волновые возмущения более опасны, чем гидродинамические (для которых 500). При Рг расчеты дают общую с изотермическим случаем асимптотику (критиче- [c.85]

Как уже указывалось в 27,в, в области токов до 0,5 а погасания дуги в большинстве случаев происходят при резких взлетах напряжения, соответствующих ее переходной форме. Это послужило основанием считать самопроизвольное погасание дуги естественным исходом неуклонно нарастающей неустойчивости разряда. Но тогда возникает законный вопрос как объяс нить присутствие на осциллограммах -множества импульсов напряжения, не оканчивающихся обрывом дуги С небольшой перефразировкой этот вопрос можно сформулировать следующим образом почему дуга не обрывается во всех случаях при первом же подъеме напряжения Внимательное изучение осциллограмм показывает, что именно такое развитие событий имеет место в действительности при токах около 0,1 а и меньших. Подобный случай зафиксирован на осциллограмме (рис, 34,а). С увеличением тока, однако, распад дуги наступает все позже и позже, приходясь на один из последующих периодов, продолжительность которых при этом не меняется. В результате этой отсрочки распада дуги на осциллограммах укладывается при увеличении тока все большее количество периодов, оканчивающихся восстановлением основной формы дугового разряда, что хорошо видно при сравнении осциллограмм, относящихся к различным значениям тока. Очевидно, причину этого явления следует искать во вмешательстве того восстановительного механизма, в существовании которого убеждает зависимость продолжительности горения дуги от параметров внешней цепи, таких, как э. д. с. и индуктивность (см. 24,6 и 25). Его общий принцип действия вполне ясен из того, что началу нового периода всегда предшествует более или (Менее значительный подъем напряжения. Это может лишь означать, что именно указанное увеличение напряжения является причиной восстановления дуги. [c.130]

Рассмотрим теперь предельный континуум К , не являющийся состоянием равновесия. Ни одна точка границы области пли угловой дуги не может быть точкой предельного континуума, за исключением лишь одного случая, когда граничная замкнутая кривая является орбитно-устойчивой замкнутой траекторией и когда состоящая из граничных и угловых дуг замкнутая траектория является граничным континуумом некоторой ячейки т, заполненной замкнутыми траекториями (см. 24, п. 1). Но в зтом случае канонической кривой континуума К является любая замкнутая траектория ячейки т, а такая траектория, а также соответствующая каноническая окрестность, состоящая из точек ячейки ш, очевидно, не имеет общпх точек с множеством Е. Во всех же других случаях предельный континуум К состоит из орбитно-неустойчивых траекторий и находится на неравном нулю расстоянии от множества Е. А тогда, очевидно, всякая каноническая окрестность этого континуума К 1, лежащая вместе с ограничивающей ее канонической кривой в 11 при достаточно малом е > О не имеет общих точек с множеством Е. [c.455]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...