Эллипсоид напряжени

Это и есть уравнение эллипсоида напряжений. Получаем действительно эллипсоид, если ни по одному из направлений, проходящему через точку О, рпп не обращается в нуль. В этом случае расстояние от точки О до точек эллипсоида не равно бесконечности. В правой части (24) следует взять знак плюс в случае растяжения (р > 0) и минус — при сжатии < 0). [c.552]

Эллипсоид имеет три взаимно перпендикулярные главные оси. Компоненты касательных напряжений для площадок, перпендикулярных главным осям, равны нулю. Для главных осей Ог/ц Ог уравнение эллипсоида напряжений принимает вид [c.552]

Эллипсоид напряжений Ламе. Пусть координатные оси в данной точке совпадают с главными осями тензора напряжений. Тогда уравнения Коши (2.6) примут вид [c.50]

Величины X, F и Z в данном случае можно рассматривать как координаты конца вектора полного напряжения в некоторой произвольной площадке. Если эту площадку поворачивать в пространстве, то конец вектора полного напряжения опишет эллипсоид, уравнение которого мы получили. Главные напряжения являются полуосями этого эллипсоида, который называется эллипсоидом напряжений. Понятно, что этот эллипсоид ничего общего не имеет с тон поверхностью, которую мы искусственно создали ранее для доказательства существования главных площадок. [c.29]

Теперь, когда значение р определено, разбиение напряженного состояния на два слагаемых также приобретает определенность. Первое слагаемое называется обычно гидростатической составляющей напряженного состояния или шаровым тензором. Оба названия вполне объяснимы гидростатическая составляющая — конечно, по аналогии с нагружением гидростатическим давлением, а шаровой тензор — тоже понятно если три главных напряжения равны друг другу, эллипсоид напряжений превращается в шар. [c.48]

Этот эллипсоид называется эллипсоидом напряжений или эллипсоидом Ламе. [c.43]

Поверхность эллипсоида напряжений представляет, как это следует из предыдущего, геометрическое место концов векторов напряжений / на всем множестве площадок, проходящих через данную точку М тела. [c.43]

Если два главных напряжения равны нулю, то эллипсоид напряжений превращается в отрезок прямой линии, расположенной на одной из главных осей тензора напряжений. Напряженное состояние в этом случае называется одноосным. Необходимым условием существования одноосного напряженного состояния в некоторой точке тела является одновременное равенство нулю второго и третьего инвариантов тензора (о- ,). . . [c.44]

Эллипсоид напряжений и направляющая поверхность [c.232]

Если два из трех главных напряжений численно равны, эллипсоид напряжений становится эллипсоидом вращения. Если эти численно равные напряжения имеют один и тот же знак, результирующие напряжения на всех площадках, проходящих через ось вращения эллипсоида, будут равны и перпендикулярны к площадкам, на которых они действуют. В этом случае напряжения на любых двух перпендикулярных площадках, проходящих через эту ось, можно рассматривать как главные. Если все три главных напряжения равны и имеют один и тот же знак, эллипсоид напряжений становится сферой и любые три перпендикулярных направления могут рассматриваться как главные оси. Когда одно из главных напряжений равно нулю, эллипсоид напряжений сводится к эллипсу на плоскости, и векторы, представляющие напряжения на всех площадках, проходящих через данную точку, лежат в той же плоскости. Такое напряженное [c.232]

Каждой радиус-вектор эллипсоида напряжений представляет в некотором масштабе напряжение по одной т площадок, проходящих через центр эллипсоида. Чтобы найти ату площадку, воспользуемся, наряду с эллипсоидом напряжений (112), направляющей поверхностью напряжений, определяемой уравнением [c.233]

Напряжения, представленные радиусом-вектором эллипсоида напряжений, действуют на площадке, параллельной касательной плоскости к направляющей поверхности напряжений в точке ее пересечения с названным радиусом-вектором. Это можно показать следующим образом. Уравнение касательной плоскости к направляющей поверхности напряжений (113) в некоторой точке с координатами х , Уо, Zg, представляется в виде [c.233]

Эллипсоид напряжений в этом случае является шаром. Любые три перпендикулярных направления можно принять за главные, и напряжение на любой площадке представляет собой нормальное сжимающее напряжение, равное р. Условия на повер> ности (124), очевидно, будут удовлетворены, если давление р равномерно распределено по поверхности тела. [c.289]

Эллипсоид напряжений 232 Энергия волны 499 [c.575]

Эйлера задача 505 Эллипсоид напряжений 309 [c.584]

Эллипсоид напряжений применяется для изображения напряженного состояния в рассматриваемой точке уравнение эллипсоида [c.74]

Полуоси эллипсоида напряжений равны величинам aj, Oj, og. [c.75]

Эллипсоид напряжений может быть в форме шара (oj = = Oj), эллипсоида вращения (два главных напряжения равны между собой) и может переходить в плоский эллипс (плоское напряженное состояние), отрезок прямой (линейное напряженное состояние). [c.75]

Эйлера задача 421 Эллипсоид напряжений 260 Энергия изменения объема 283 [c.512]

При рассмотрении пространственной задачи вместо эллипса напряжений получаем в общем случае трехосный эллипсоид напряжений, причем в этом случае будем иметь уже не два главных напряжения (ai и стг), а три главных напряжения (ai, аг, аз). [c.24]

Известно, что в частном случае, когда в рассматриваемом напряженном теле отсутствуют касательные напряжения (такой случай может иметь место, например, когда данное твердое тело является невесомым, причем оно подвергнуто всестороннему равномерному сжатию) эллипсоид напряжений обращается в шаровую поверхность (рис. 1-10,6). Следовательно, при отсутствии касательных напряжений (в рассматриваемом теле) значение (модуль) полного напряжения в любой точке данного тела не зависит от ориентировки площадки действия. [c.24]

Гидродинамическое давление. При движении реальной жидкости в ней, как правило, возникают силы трения, обусловливающие появление касательных напряжений т, которые отсутствуют в покоящейся жидкости (см. 1-4, п. 4). В связи с наличием т напряженное состояние в данной точке М движущейся жидкости должно быть представлено уже не шаром напряжений (рис. 1-10,6), что мы имели в гидростатике, а - в общем случае - трехосным эллипсоидом напряжений или — для плоской задачи - э л л и п с о м напряжений (рис. 1-10, й). Отсюда ясно, что при движении реальной жидкости в рассматриваемой ее точке нормальное напряжение а будет зависеть (в общем случае) от ориентировки площадки действия в гидродинамике для намеченных в данной точке площадок действия, имеющих разный наклон, значение а будет (в отличие от гидростатики) разное. [c.69]

Как будет показано ниже, в частном случае движения реальной жидкости, когда мы имеем равномерное распределение скоростей движения жидкости (см. ниже), касательные напряжения в реальной жидкости должны отсутствовать, причем мы получим вместо эллипсоида напряжений шар напряжений (как и в гидростатике). [c.70]

Рассматривая реальную жидкость, как сплошную среду (в данном случае движущуюся), имеющую касательные напряжения -с, обусловленные существованием сил Ti и Ti (см. рис. 1-10, а, на котором изображен эллипсоид напряжений, относящийся к общему случаю движения реальной жидкости), мы. [c.134]

Если Oj > 02 = Од (или Oi = аа > Од), то эллипсоид напряжений в одной из главных плоскостей, перпендикулярной направлению (или Оа), сечение имеет в виде круга. Если вблизи такой точки тела с таким напряженным состоянием вырезать элемент в форме круглого цилиндра с основанием, нормальным направлению Oj (или Од), то на любой площадке, касательной к боковой поверхности цилиндра, будет действовать напряжение, нормальное к площадке и равное = Од (или Oj = Oj). При этом все такие площадки являются главными, а само напряженное состояние называется цилиндрическим. [c.389]

Если Oi = Оз = Од, эллипсоид напряжений превращается в сферу, а само напряженное состояние называется сферическим. Так как в сфере любые три ортогональных направления могут быть приняты за главные, все площадки, проходящие через точку напряженного тела, являются главными. Ниже будет доказано, что, действительно, на любой из этих площадок касательная составляющая напряжения равна нулю. На рис. 5.4 показаны общий и частные случаи эллипсоида Ламе. При этом рис. 5.4, г, д относятся к случаям, поясненным в 5.7, а рис. 5.4, е — к случаю, поясненному в 5.14. [c.389]

Элементы поляризующие 55 Эллипсоид напряжений 65 [c.480]

Величины полных напряжений по наклонным площадкам представляются радиусами-векторами, концы которых лежат на поверхности эллипсоида полуоси эллипсоида напряжений равны величинам а , J2. < 3- Эллипсоид напряжений может быть в виде шара (aj = аг = сгз все площадки—главные), эллипсоида вращения (два главных напряжения равны между собой) и может переходить [c.9]

Зйлера задача 415 Эллипсоид напряжений 237 Энергетический метод определении критических сил 440 [c.544]

XiM являются проекциями вектора напряжения Sv, то конец этого вектора всегда находится на поверхности эллипсоида с полуосями ai 02 03. Полученный эллипсоид дает геометрический образ напряженного состояния (тензора напряжений) в точке тела и носит название эллипсоида напряжений Ламе (рис. 2.7). Он показывает, что главное напряжение Oi есть одновременно наибольшее значение полного напряжения l v ma) = amax. Ес-ли а = (Т2=(Гз = ао, то эллипсоид превращается в шар. Тензор напряжений в этом частном случае называют шаровым, а среднее напряжение ао — его модулем. [c.50]

Р1зображение тензора инерции в форме эллипсоида не является чем-то специфическим для тензора инерции. Аналогичные интерпретации возможны и для всех других симметричных тензоров второго ранга. Так, тензору напряжений ( 36) можно было бы сопоставить эллипсоид напряжений, тензору деформаций ( 78) эллипсоид деформаций, тензору скоростей деформаций— эллипсоид скоростей деформаций ( 78). Происхождение названия сферический тензор для тензора, обладающего изотропией, т. е. такого, что все его диагональные компоненты в данной точке равны между собой (единичный тензор, тензор напряжений в идеально текучей жидкости), связано с тем, что в геометрической интерпретации такому тензору соответствует сфера. [c.286]

Эта зависимость означает, что если для каждой наклонной площадки, проходящей через точку О, напряжение представляется вектором, исходящим из точки О, с компонентами А, Y, Z, то концы этих векторов лежат на поверхности эллипсоида, определяемого уравненнем (112). Этот эллипсоид называется эллипсоидом напряжений. Его полуоси представляют главные напряжения в данной точке. Отсюда можно сделать вывод, что максимальное напряжение в любой точке представляет собой наибольшее из трех главных напряжений в этой точке. [c.232]

Рис, 5.4. Эллипсоид Ламе а) общий случай пространственного напряженного состояния (эллипсоид напряжений с разными полуосями) б) частный случай пространственного напряженного состояния (цилиндрическое напряженное состояние одно из главных сечений зллипсоида — круг) в) частный случай пространственного напряженного состояния (сферическое напряженное состояние эллипсоид напряжений — сферическая поверхность) е) общий случай плоского напряженного состояния (эллипс напряжений с разными полуосями) д) частный случай плоского напряженного состояния (круговое напряженное состояние эллипс напряжений — окружность) с) линейное напряженное состояние эллипо напряжений — отрезок прямой (длина одной нз осей равна [c.388]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...