Деформация в полярных координатах

Установим зависимость между компонентами напряжений и деформациями в полярных координатах. Для этого в уравнении (I. 16) заменим индекс х на г, а у на 0, получим выражения закона Гука для плоского напряженного состояния в полярных координатах [c.33]

Таким образом, деформации в полярных координатах имеют следующее выражение [c.34]

Таким образом, окончательно линейные и угловые деформации в полярных координатах можно записать в следующем виде [c.92]

Условие совместности деформаций.в полярных координатах. Представим условие совместности деформаций в декартовых координатах (9.100) в форме [c.671]

ОСНОВНЫЕ ЗАВИСИМОСТИ ДЛЯ плоской ДЕФОРМАЦИИ В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ 69 [c.69]

Рассмотрим длинный толстостенный цилиндр внутреннего а и наружного Ь радиусов под действием внутреннего давления р. Для изотропного материала цилиндра на стадии упругого деформирования при плоской деформации в полярных координатах [c.232]

При этих условиях главные оси напряженного состояния можно было считать неизменно совпадающими с определенными тремя направлениями, а именно 1) с направлением ребра гиба, 2) с направлением общей нормали к поверхностям листа, которое условились называть радиальным, 3) с направлением, перпендикулярным первым двум, которое условились называть тангенциальным. Три нормальных напряжения (в направлении ребра гиба) сг —(в направлении радиальном), ае (в направлении тангенциальном) являются главными напряжениями, а их значения зависят только от одной координаты г. Казалось бы на первый взгляд задача кругового гиба листа является простейшей задачей плоской пластической деформации в полярных координатах. Действительно, ее решение сводится к интегрированию простого по написанию обыкновенного дифференциального уравнения (условие равновесия) [c.296]

Переход к случаю плоской деформации в полярных координатах г, может быть осуществлен при помощи замены переменных [c.311]

Приведем основные обозначения 6 — безразмерный малый параметр (Тр, ад, TpQ — компоненты напряжений в полярных координатах р, е, рв — компоненты скоростей деформаций в полярных координатах G — модуль сдвига (Т — предел пропорциональности г — радиус-вектор 9 — полярный угол Vg — радиус-вектор пластической области. Индекс р означает, что компонента относится к области пластического состояния материала, индекс е — упругого. [c.190]

КОМПОНЕНТЫ ПЛОСКОЙ ДЕФОРМАЦИИ в ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ 213 [c.213]

Компоненты плоской деформации в полярных координатах. [c.213]

Два относительных удлинения е ,., и сдвиг вполне характеризуют плоскую деформацию в полярных координатах. [c.214]

Таким образом, компоненты деформации в полярных координатах г, еь уг1 выражаются следующим образом [c.227]

СОСТАВЛЯЮЩИЕ ДЕФОРМАЦИИ В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ 75 [c.75]

Составляющие деформации в полярных координатах. При рассмотрении перемещения в полярных координатах, обозначим через и и V составляющие перемещения, соответственно в радиальном и тангенциальном направлениях. [c.75]

Уравнения (3.3) являются уравнениями бегущих волн деформации в полярных координатах. [c.30]

В случае плоской деформации в полярных координатах для начального осесимметричного состояния [c.94]

Выразить напряжения при плоской деформации (в полярных координатах г, ) в виде производных от функции напряжений. [c.664]

Подставив (2.19) и (2.10), (2.11), получаем в полярных координатах следуюп(не асимптотические представления для этого случая деформации [c.19]

Выражение в скобках представляет собой оператор Лапласа, записанный в полярных координатах. Уравнение совместности деформаций, выраженное через функцию напряжений, примет вид [c.34]

Подставив (4.86) и (4.87) в (4.85), получим бигармоническое уравнение совместности деформаций в полярной системе координат = О или [c.113]

Эти формулы определяют три компонента тензора деформаций в случае так называемой плоской деформации относительно плоскости Гф в полярных координатах. [c.54]

Ссылаясь на (6.56), получаем зависимости между компонентами тензора деформации и компонентами вектора перемещения в полярных координатах [c.261]

Формулы закона Гука для обобщенного плоского напряженного состояния в полярных координатах также получим как частный случай из формул закона Гука в цилиндрической системе координат (3.3), сохраняя только составляющие напряжений и деформаций, действующие в плоскости 0Ог [c.83]

Таким образом, условие совместности деформаций, записанное в полярных координатах через функцию Ф, имеет вид [c.456]

Когда такое решение получено, то в общем случае оказывается, что оно дает ненулевые усилия (ст ., т е) на криволинейной поверхности цилиндра. Влияние устранения этих усилий находится с помощью решения обычной задачи для плоской деформации с использованием общей функции )апряжений в полярных координатах, приведенной в 431). [c.484]

Для случая плоской деформации и материала без упрочнения привести полный комплект уравнений теории пластичности в полярных координатах. Показать, что как и в предыдущей задаче решением трех основных уравнений (два уравнения равновесия и условие пластичности) может быть получено уравнение, содержащее только касательное напряжение это уравнение имеет вид [c.235]

Для составления основного уравнения плоской задачи в полярных координатах с помощью функции напряжений воспользуемся выражениями уравнения совместности деформаций через функцию ф (бигармоническое уравнение) и преобразуем его из декартовых в полярные координаты. При этом мы воспользуемся соотношениями (5.1), (5.3). [c.94]

Материал наращиваемого тела обладает свойством ползучести и старения. Требуется найти поле напряжений, деформаций и перемещений в наращиваемом клине О ( )[35]. Запишем уравнения задачи в полярных координатах г, 0, где г — расстояние до [c.93]

Здесь г, в — полярные координаты в плоскости поперечного сечения цилиндра, а 8 Ц, г) и Ее (1, г) — компоненты деформации. Запишем остальные уравнения задачи уравнение равновесия — [c.115]

Рис. 9.25. Перемещения в элементе и деформация его в плоской задаче теории упругости в полярных координатах.

На этом основании из (IVn) непосредственно получим условие со вместности деформаций в полярных координатах [c.187]

Рассмотрим деформацию малого элемента в полярных координатах (рис. 7.10). Она характеризуется относительными удлинениями Err в радиальном и бее в окружном направлениях и сдвигом угв=2ггв. Нетрудно получить выражения деформаций [c.151]

На основании формул (1.13) для плоского напряженного состояния и плоской деформации к, I, г, s=l,2) между компонентами тензора напряжений Огг, овв, сггв в полярных координатах и компонентами тензора напряжений оц, (Т22, аи в прямоугольных декартовых координатах имеют место соотношения [c.134]

В 160 и 162 мы использовали по-разному дифференциалыые уравнения теплопроводности. Если мы хотим рассмотреть совершенно произвольное распределение температуры, скажем, некоторое заданное начальное распределение температуры во всем теле, то потребуются другие методы. Рассмотрим сейчас один из таких методов для случаев плоской деформации или плоского напряженного состояния в полярных координатах. [c.484]

В первых пяти главах учебника рассматриваются общие вопросы теории упругости (теория напряжений и деформаций, основные соотношения и теоремы, постановка и лгетоды решения задач теории упругости, плоская задача в декартовых координатах, плоская задача в полярных координатах). В шестой и седьмой главах излагаются основные уравнения теории тонких пластин (гибких и жестких) и некоторые задачи изгиба и устойчивости пластин. Восьмая глава учебника посвящена рассмотрению приближенных методов решения задач прикладной теории упругости (вариационных, конечных разностей, конечных элементов). В девятой главе рассматриваются основы расчета тонких упругих оболочек, причем основное внимание уделено вопросам расчета безмоментных и пологих оболочек. В десятой главе изучаются основы теории пластичности. Здесь рассмотрена и теория расчета конструкций по предельнол1у состоянию. [c.6]

Далее рассмотргш физические уравнения, устанавливающие связь между напряжениями и деформациями при обобщенном плоском напряя енном состоянии. В полярных координатах уравнения закона Гука имеют следующий вид [c.92]

Уравнения Коши в полярных координатах. На рис. 9.25 показан плоский элемент тела, выделенный координатными линиями-полярной системы координат. Дано два изображения элемента —до (abed) и после (a b d ) деформации. Через точку а проведены оси гид первая из них направлена вдоль радиуса (проходит через полюс 0), а вторая —по касательной к окружности (с центром в 0), проходящей через точку а. Составляющие перемещения точки а по осям гид обозначим символами ы и у. [c.671]

В полярной системе координат положение любой точкп на плоскости определяется двумя величинами радиус-вектором г и полярным углом 0, отсчитываемым от начального радиус-вектора Го. Рассмотрим основные уравнения плоской задачи в полярных координатах дифференциальные уравнения равновесия, уравнение неразрывности деформаций, формулы Коши и формулы обобщенною закона Гука. Вырежем из пластинки толщиной, равной единице, алемент ub d (рис. 32). Для этого проведем радиус ОаЬ иод прои ш1) 1ьным углом 0 к начальному радиус-вектору, затем дадим углу бесконечно малое приращение d0 и проведем радиус Ode. Произвольным радиусом Оа г проведем дуг ad, затем дадим радиусу г приращение аЬ dr и ироье- [c.86]