Интегрирование уравнений равновесия произвольных

Как следует из формул (6.45), непрерывные выражения для перемещений получаются в безмоментной теории только в том случае, если произвольные функции (ф), 7а (ф). возникающие при интегрировании уравнений равновесия, непрерывны вместе со своими производными соответственно до третьей и до второй включительно. Это накладывает определенные ограничения на допустимые виды нагрузок и граничных условий. Так, в част- [c.305]

Интегрирование линейных уравнений равновесия винтового стержня. Если винтовой стержень используется в качестве чувствительного элемента, например акселерометра, он нагружается распределенными силами, причем вектор q распределенных сил может иметь произвольное направление. В этом случае определить напряженно-деформированное состояние винтового стержня можно только решая систему дифференциальных уравнений. Если рассматриваются малые перемещения точек осевой линии, для определения напряженно-деформированного состояния стержня можно использовать уравнения равновесия нулевого приближения (1.107)— (1.111), положив Шо=0 [c.206]

При решении статически определимой задачи, когда известны внутренние усилия М, Q и N, тождественно удовлетворяющие уравнениям равновесия (3.84), надо использовать уравнения (3.85) или (3.89) и (3.86), или (3.87), которые имеют третий порядок и интегрирование которых даст три произвольные постоянные. [c.75]

Решая уравнение равновесия (121) совместно с условием пластичности (138) после интегрирования и отыскания значения произвольной постоянной интегрирования с использованием граничных условий, по которым для зоны тангенциального растяжения при р = R напряжение 0р = О, а для зоны тангенциального сжатия при р = г напряжение 0р = О, находим формулы, характеризующие распределение напряжений и Од по толщине заготовки при гибке моментом с учетом упрочнения. [c.122]

Уравнения (2.19) и (2.21) представляют собой выражения первого интеграла (2.3) дифференциального уравнения равновесия упругой линии (2.1) через новую переменную ф( ). Произведем второе интегрирование вдоль упругой линии от ее начальной точки (5=0, г )= фо) до произвольной текущей точки ( , г]) , тогда из (2.19) и (2.21) получим соответственно [c.32]

В частности, при вытяжке с прижимом цилиндрического стакана из плоской заготовки, как было показано С. И. Губкиным [14], толщина заготовки во фланце изменяется, причем наибольшее утолщение наблюдается у края фланца. Благодаря этому при параллельных рабочих плоскостях прижима и матрицы силы трения, возникающие при перемещении фланца, будут приложены по периферийной части заготовки. В этом случае влияние трения на поле напряжений может быть выявлено, если при анализе в решении учесть действие сил трения в граничных условиях, используемых для отыскания произвольных постоянных интегрирования дифференциальных уравнений равновесия. [c.16]

Подставляя значение Од из уравнений пластичности в уравнение равновесия (105) и выполняя интегрирование с использованием для отыскания произвольной постоянной интегрирования граничных условий, по которым 0р = О при р = R и при р = г, получаем следующие формулы, позволяющие оценить распределение напряжений по ширине изгибаемой на ребро заготовки [c.100]

Использование такого граничного условия для отыскания произвольной постоянной интегрирования уравнения, полученного из уравнений равновесия и пластичности, позволяет для этого случая гибки получить формулу, характеризующую распределение напряжения в зоне сжатия [c.104]

Напряжение Од может быть найдено или из уравнения пластичности по известному Ор, или путем интегрирования второго уравнения равновесия системы (229 ) с последующим отысканием новой произвольной функции / (р). Так как мы ставили задачу выяснить характер изменения напряжения Ор по контуру фланца, то отыскивать Од не будем. [c.197]

Прямое интегрирование диференциальных уравнений равновесия. Колонна (фиг. 2) сжата силой Р, действующей вдоль оси ее. При малой Р колонна остается прямой. При увеличении Р может наступить такой момент, когда прямолинейная форма колонны делается неустойчивой и колонна искривляется. Для нахождения того значения Р, при к-ром начинается это искривление, предполагают, что колонна уже искривилась, и составляют диференциальное ур-ие изгиба для малых отклонений от прямолинейной формы равновесия. При малых отклонениях это уравнение получается линейным. Интегрируют его и определяют из" граничных условий произвольные постоянные, вошедшие при интегрировании. Эта операция приводит к конечным уравнениям, в к-рые входят произвольные постоянные интегрирования, сила Р и размеры колонны. Критич. значение Р находится из того О соотношения между силой и размерами колонны, при к-ром уравнение изгиба может иметь несколько решений, удовлетворяющих одним и тем же граничным условиям (изгиб продольны й—см. Изгиб). Его иногда изменяют след, обр. к силе Р, критич. значение к-рой надо определить, присоединяют еще какую-либо силу (напр. поперечную силу или момент) и смотрят, при каком значении Р прогиб, вызываемый дополнительной силой, будет неопределенно возрастать. Это значение Р и будет С. к. [c.392]

Решая уравнение равновесия (8.10) совместно с уравнением (8.19) после интегрирования и отыскания значения произвольной постоянной интегрирования из условия, что на поверхностях заготовки (при р = и при р = Ге) напряжение Ор = О, находим формулы, характеризующие распределение напряжений при гибке моментом с учетом упрочнения. [c.349]

Граничные условия. Для определения произвольных функций (постоянных), появляющихся в результате интегрирования дифференциальных уравнений равновесия, необходимо использовать статические граничные условия. [c.18]

Другими словами, пять функций взаимосвязи <7ь <72, <7п, 2 и одна краевая функция взаимосвязи должны обеспечивать выполнение (9.13). В остальном они могут быть произвольными. При этом интегралы уравнений (9.8), (9.9) будут удовлетворять уравнениям равновесия теории оболочек и статическим граничным условиям. Таким образом, задавая функции взаимосвязи <7ь <72, Чп, tui, т.2 произвольно, но так, чтобы удовлетворялось уравнение (9.13), можно построить путем интегрирования (9.8), (9.9) любое статически допустимое состояние для сил и моментов в оболочке. [c.219]

Круговая цилиндрическая оболочка представляет собой частный случай оболочки вращения, поэтому теория, изложенная в 26, полностью для нее применима. В частности, может быть проведен числовой расчет произвольно нагруженной оболочки (в том числе и переменной вдоль образующей толщины) путем численного интегрирования уравнений (5.78). Эти уравнения, однако, существенно упрощаются, так как для цилиндрической оболочки os 0 = = 0 sin 0 = 1 г = = R = onst Ri = oo. В отличие от других оболочек вращения, для круговой цилиндрической оболочки с постоянной толщиной стенки дифференциальные уравнения представляют собой систему уравнений с постоянными коэффициентами. Поэтому можно проанализировать их решения в общем виде. Выведем уравнения равновесия цилиндрической оболочки в перемещениях. [c.277]

Замечания. 1. Условия на лицевых поверхностях (2.9.7), (2.9.8) содержат шесть равенств, а для определения произвольных функций интегрирования, возникающих при вышеописанном методе построения a,-,, 033, достаточно только трех. В этом нет противоречия, так как можно показать, что из каждой пары условий (2.9.7), (2.9.8) достаточно выполнить только какое-либо одно. Второе условие каждой пары будет выполняться автоматически, как следствие того, что удовлетворяется первое осреднеиное уравнение равновесия. [c.35]

Концевые условия для балок. Решение уравнений равновесия (2.4i) или (2.4а) должно удовлетворять не только этим уравнениям, но также и граничным условиям в точках (обычно- расположенных на концах), в которых балка закрепляется. Эти уравнения обычно имеют четвертый порядок, т. е. они содержат в качестве старшей производную четвертого порядка от w по а или d w/dx . Наиболее общее решение такого уравнения, т. е. наиболее общее выражение для w как функции от х, которое будет удовлетворять уравнению, будет содержать четыре произвольные константы интегрирования (произвольные постольку, поскольку это касаетегГуравнения, но, разумеется, не произвольные применительно к физической задаче), которые могут,быть использованы для удовлетворения двум условиям в каждом из двух мест вдоль балки, где имеются эакрепления. Если эти места находятся на концах бащ и как это обычно бывает, наиболее общие выражения концевых условий с учетом выражений (2.2) и (2.3) та- ковы [c.63]

Предположим, что нормальные напряжения зависят только от полярного радиуса г, и выполним интегрирование по ф. Учитывая, что v—произвольная функция г, цолучаем уравнение равновесия в виде [c.113]

Как известно из теории пластических деформаций, математический анализ процессов деформирования осуществляется путем совместного решения уравнений равновесия, уравнения пластичности (предельного состояния), уравнений связи напряжений и деформаций (или скоростей деформаций), уравнений неразрывности деформаций и уравнения сплошности. Для отыскания произвольных постоянных интегрирования указанных уравнений, большинство которых задано в дифференциальной форме, исполь-зются граничные условия, определяемые заданными условиями деформирования. [c.10]

Анализ формул (156) и (158) показывает, что искомое перемещение и удовлетворяет условию отсутствия нагрузки на боковой поверхности диска (на его торцах, определяемых линиями 2= onst). На крайних контурных линиях 91 = onst удовлетворить граничным условиям можно за счет двух произвольных постоянных интегрирования уравнения (157). Поэтому получаемые решения уравнения (157) следует рассматривать как точные в отношении удовлетворения граничных условий, но приближенные в отношении равновесия внутри объема. Равновесие по объему диска в данном случае по координате qi выполнено в интегральной форме (в среднем). Однако, как видно из формул (157), если коэффициенты Ламе Яь Яг, Яз раскладываются на множители, зависящие в отдельности только от координаты qi и qi, то искомое ре- [c.198]

Отметим, что равномерное давление, распределенное по части FD мембраны, статически эквивалентно давлению той же величины, равномерно распределенному по пластинке D, а растягивающие усилия в мембране, действующие вдоль границы этой пластинки, находятся в равновесии с равномерной нагрузкой на пластинке. Следовательно, в рассматриваемом случае может использоваться тот же экспериментальный метод с мыльной пленкой, что и раньше, так как замена части мембраны FD пластинкой D не вызывает изменений в конфигурации и в условиях равновесия остальной части мембраны. Рассмотрим теперь более сложный случай, когда границы отверстия уже не являются траекториями иаирял ений для сплошного вала. Из общей теории кручения мы знаем (см. 104), что вдоль каждой границы функция напряжений должна быть постоянной, однако эти постоянные не могут выбираться произвольно. При рассмотрении многосвязных границ в двумерных задачах было показано, что в подобных случаях необходимо обраи1,аться к выражениям для перемещений, и постоянные интегрирования следует подбирать таким образом, чтобы эти выражения становились однозначными. Аналогичная процедура необходима и по отношению к задачам о кручении полых валов. Постоянные значения функции напряжений вдоль границ следует определять таким образом, чтобы перемещения были однозначными. Тогда будет получено достаточное число уравнений для определения [c.335]

Объясняется такой факт тем, что в соответствии с (З81) — (З82) тривиальное решение п = О уравнения (39) соответствует не только тривиальному решению x(i) =0, y(t) = О уравнений (33), но также и изоэнергетическому смещению, получающемуся при умножении функций (37) на произвольную постоянную с. Эта постоянная и является недостающей третьей постоянной интегрирования. Действительно, функции (37) не могут обращаться тождественно в нуль и представлять тривиальное решение X О, у = О, так ка1К иначе решение (311) вырождалось бы в точку равновесия, а это исключено в силу условия (З83). [c.212]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...