Компоненты вектора ковариантны контравариантные

Заметим, что компоненты вектора называются контравариантными, а компоненты - ковариантными. [c.8]

При изменении координатной системы меняются также ковариантные и контравариантные компоненты вектора. Изменение координат определяется системой трех соотношений типа [c.19]

Для координатных систем, не являющихся ортогональными, также можно говорить о физических компонентах при условии, что выбран векторный базис, составленный безразмерными векторами единичной длины. Однако в этом случае выбор неоднозначен. Можно взять векторы единичной длины, имеющие те же самые направления, что и векторы естественного базиса. В качестве альтернативы можно выбрать также векторы, имеющие направления векторов дуального базиса. В соответствии с этим мы определяем физически контравариантные компоненты или физически ковариантные компоненты векторов. Аналогичные замечания можно высказать и в отношении тензоров. Мы не будем использовать каких-либо компонент такого типа. [c.81]

Косоугольные координаты. Контравариантные и ковариантные компоненты векторов [c.49]

Покажем теперь, что между контравариантными и ковариант-ными компонентами вектора существуют линейные зависимости, которые устанавливают между ними взаимно однозначное соответствие. Рассмотрим сначала равенство (1.43с) и, пользуясь им, найдем ковариантные компоненты вектора на основании формул (1.44). Получим [c.52]

Величины dx можно рассматривать на основании (П.49Ь) как контравариантные компоненты вектора dr. Заметив, что ds является инвариантом, заключаем (см. 24), что g,-ft— компоненты симметричного ковариантного тензора второго ранга. Это заключение совпадает с тем, которое мы сделали в ч. I, рассматривая косоугольные системы декартовых координат. [c.92]

Конечно, в этих формулах не надо суммировать по одинаковым верхним и нижним индексам. В ортогональных системах координат вместо контравариантных и ковариантных компонент векторов пользуются их проекциями на оси местного координатного базиса. [c.96]

Приращения контравариантных и ковариантных компонент вектора при его параллельном переносе определяются формулами (IV. 157) и (IV. 158) первого тома [c.174]

Предположим, что метрика выбрана ). Тогда можно найти все контра-вариантные или ковариантные компоненты вектора бг на основании соотношений 24 первого тома. Вычисления, связанные с этим определением, сводятся к решению системы линейных алгебраических уравнений с 2Л1 неизвестными. Предположим, что это вычисление выполнено. Пусть найдены контравариантные компоненты вектора бг Ьг> = ЬхК Предположим, что форма [c.389]

Определим значения контравариантных и ковариантных компонентов вектора а, заданного в точке Р пространства. Проведем через эту точку три координатные поверхности [c.16]

Обозначим контравариантные и ковариантные компоненты вектора а через A и Ак, а его компоненты в прямоугольной декартовой системе координат — через йт- Далее и обозначают проекции вектора а соответственно на вц и e . Учитывая, что а — = — орты прямоугольной декартовой системы коорди- [c.17]

По формулам (3.17) при помощи ковариантных производных кова-риантных и контравариантных компонентов вектора перемещения и в системе направлений базисных векторов е и йа вычисляются компоненты тензора деформации. [c.49]

КОНТРАВАРИАНТНЫЕ И КОВАРИАНТНЫЕ КОМПОНЕНТЫ ВЕКТОРА [c.407]

На основании (2 .17) метрический тензор является симметричным. С помощью метрического тензора можно установить соотношения между -контравариантными и ковариантными компонентами вектора а. Исходя из (2 .4) и (2 .3) имеем [c.410]

Если обозначить ортогональные проекции вектора а на направления единичных векторов локального базиса через a(s), называемые физическими компонентами а, то между ними, контравариантными и ковариантными компонентами вектора имеют место соотношения [c.417]

Наряду с контравариантными компонентами вектора В можно ввести ковариантные (часто говорят просто о ковариантных векторах) В , = В. Для [c.498]

Связь между ковариантными и контравариантными компонентами вектора [c.32]

Каков геометрический смысл контравариантных и ковариантных компонент вектора Как они преобразуются Какова между ними связь [c.34]

В какой системе координат ковариантные и контравариантные компоненты вектора совпадают и почему [c.34]

Ковариантные производные являются тензорными величинами. Например, ковариантные производные контравариантных компонент вектора есть [c.61]

Величины V/ai(V/a ) называются ковариантными производными от ковариантных (контравариантных) компонентов вектора а. Аналогично ковариантные производные от компонентов тензора вычисляются по формулам вида [c.212]

В декартовой системе координат с ортонормальными базисными векторами ki ковариантные и контравариантные компоненты векторов и тензоров совпадают, и в этом случае векторы и тензоры представляются в виде [c.15]

Коэффициенты и , ы этих линейных комбинаций базисных векторов называются соответственно ковариантными и контравариантными компонентами вектора и. Между этими компонентами существуют зависимости [c.17]

Рис. 2.2. Ковариантные и контравариантные базисные векторы, связывающие компоненты вектора и в двух измерениях

Вообще говоря, матрицы и не обязательно совпадают (совпадение имеет место для ортогональных преобразований), поэтому законы преобразования компонент градиента скалярной функции и компонент вектора г различны. В связи с этим в общей теории тензоров оказывается необходимым различать два вида векторов и тензоров — контравариантные и ковариант-ные. Не приводя полного определения, дадим часто употребляемое. Говорят, что контравариантный вектор — это такой вектор, компоненты которого Л,- преобразуются при переходе к другой системе координат, как компоненты вектора г. Аналогично величины /4,- определяют ковариантный вектор, если прй переходе от одной системы координат к другой эти компоненты преобразуются как компоненты градиента функции, т. е. как частные производные по координатам. Для аффинных ортогональных векторов понятия ковариантного и контравариантного векторов являются совпадающими. В общей теории тензоров рассматриваются не только неортогональные, но и нелинейные преобразования координат. [c.25]

Читатель, знакомый с тензорным анализом, заметит, что если рассматривать символ Ь как сокращенное обозначение совокупности контравариантных Ь или ковариантных bi компонент вектора в произвольной криволинейной системе координат, а S — как сокращенное обозначение совокупности компонент тензора, то приведенные выше определения инвариантны по отношению к произвольным преобразованиям координат. Таким образом, введенную нами векторную символику можно в равной мере считать и сокращенным обозначением операций тензорного анализа. [c.9]

Вывод этой формулы аналогичен выводу формулы (12.9), На практике часто бывает удобно рассматривать вместо ковариантных или контравариантных компонент вектора Ь его физические компоненты Физические компоненты вектора Ь определяются равенствами [c.36]

Ковариантная производная контравариантных компонент вектора определяется формулой [c.72]

Задача 14. Выписать закон преобразования ковариантных и контравариантных компонент векторов при преобразовании прямоугольной системы координат в сферическую и цилиндрическую [c.105]

С помощью соотношений, связывающих ковариантные и контравариантные компоненты вектора скорости в виде [c.547]

Величины являются контравариантнымп компонентами тензора внутренних напряжений, а и, — ковариантными компонентами вектора п. Контравариантные компоненты п определяются выражением [c.18]

Таким образом, ковариантные компоненты преобразуются с помощью той же матрицы, что и базисные векторы е,-, контравариантные —с помощью обратной. Это обстоятельство и объясняет название ковариантные в буквальном переводе означает сопреобразующиеся, контравариантные —противопре-образующиеся (по отношению к закону преобразования векторов базиса е,-). [c.314]

Одной из важнейших особенностей является здесь то, что при вычислении нужно тщательно различать ковариантные и контравариантные компоненты векторов и тензоров. Это приводит, однако, не к большим осложениям, чем, например, применение косоугольных декартовых координат. [c.680]

В этой книге всюду будут употребляться координаты Минковского. Они имеют то большое удобство, что для них ковариантные компоненты векторов и тензоров те же, что и контравариантные компоненты, и все векторы и тензоры можно написать с индексами внизу, избегая, таким образом, сложности в обозначениях. Если мнимое время Xi, окажется некоторым источником неясностей, то мы можем сразу перейти от координат Минковского х, к действительным декартовым координатам а , положив Хр = х , Xi = ix . Нам представится случай перейти к действительным координатам в 111 для того, чтобй обсудить вопрос о знаке. [c.392]

Наряду с представленным здесь вариантом часто используется также 4-мериое описание, в к-ром временная координата (обычно с индексом 0) берётся действительной, но 4-мерному пространству приписывается гиперболич. сигнатура (-f-, —, —, —) в таком пространстве приходится различать ко- и контравариантные компоненты векторов и тензоров (см. Ковариантность и кантравариантность). [c.37]

Здесь а, — контравариантные компоненты вектора и тензора fli, hij — ковариантные компоненты h j, — смешанные компоненты знаком обозначена операция диадного (полиадного) произведения базисных векторов. Здесь и далее индексы компонент векторов и тензоров пробегают значения 1, 2, 3 по повторяющимся индексам проводится суммирование. [c.14]

Формула (12.1 ) встречается также в дифференциальной геометрии в теории параллельного переноса и ясно показывает различие между 8F/Si и йР1(И. Заметим, что в прямоугольной системе координат оба этих определения совпадают, ЬР Ы .йР1М другими словами, точно так же как обобщение обычной производной приводит к понятию ковариантной производной, обобщение понятия материальной производной с1Р (11 приводит к операции ЬР Ы. Заметим, наконец, что при использовании понятия материальной производной удобнее исходить из формулы (12,1 ). а не (12.1). Ниже мы будем пользоваться векторными обозначениями определения п. 2 переносятся при этом на случай произвольной криволинейной системы координат очевидным образом. Например, символ будет теперь обозначать упорядоченную тройку ковариантных или контравариантных (в зависимости от ситуации) компонент вектора скорости, а формула (12.1) запишется в виде [c.34]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...