Компоненты вектора метрического

Метрический тензор может быть весьма полезным при получении одного типа компонент векторов или тензоров из компонент [c.26]

На основании (2 .17) метрический тензор является симметричным. С помощью метрического тензора можно установить соотношения между -контравариантными и ковариантными компонентами вектора а. Исходя из (2 .4) и (2 .3) имеем [c.410]

Геометрический смысл компонент метрического тензора. Компоненты метрического тензора g y представляют собой компоненты векторов основного базиса eg во взаимном базисе е/, а именно [c.31]

Аналогично этому компоненты метрического тензора g4 представляют собой компоненты векторов взаимного базиса в ос-новном базисе е , а именно [c.31]

Таким образом, связь между компонентами вектора в основном и взаимном базисах осуществляется с помощью компонент метрического тензора. [c.32]

Если известны компоненты вектора в основном и взаимном базисах, то его длину можно найти по формуле (1.40), не используя компоненты метрического тензора [c.32]

Связь между компонентами тензора с различным строением индексов осуществляется как и между ковариантными и контра-вариантными компонентами вектора 1см. (1.51) и (1.52)1, с помощью компонент метрического тензора [c.37]

Таким образом, опускание и поднимание индексов у компонент тензора, так же, как и у компонент вектора, производится с помощью компонент метрического тензора. [c.37]

Выражения для компонент тензора деформаций через компоненты вектора перемещений найдем, составив полуразность метрических тензоров деформированной и недеформированной координатных систем. С учетом (3.1.12) для поперечных сдвиговых деформаций получаем зависимости [c.42]

Величина ри би — скаляр. Чтобы выяснить физический смысл этого абсолютного скаляра, перейдем к контравариантным компонентам вектора скорости в эйлеровых переменных, так как в лагранжевых переменных метрический тензор зависит от компонент тензора деформаций и подлежит варьированию. При переходе к новым переменным скаляр не изменится. Обозначив контравариантные компоненты вектора скорости в переменных Эйлера найдем [c.29]

Конечно, gsk= s k вычисляемые по заданию (6) вектор-радиуса места, тождественно обращают в нуль тензор кривизны. Если же, задавшись положительной симметричной матрицей , и определив по ней обратную матрицу вычислим величины (18) и все они окажутся нулями, то это укажет на то, что квадратичная форма (3) приводима к пифагорову виду (1), ВзА—ковариантные компоненты евклидова метрического тензора. В противном случае ds —квадрат линейного элемента в [c.489]

Контравариантные компоненты можно получить при помощи операции поднятия индекса, используя метрический тензор. Ковариантные и контравариантные векторы поля V/ иногда обозначают символами Dif и D f соответственно. [c.31]

Этот скаляр, как видно из формулы (1.615), является скалярным произведением векторов а и Ь. Действие свертывания с метрическим тензором, приводящее к подниманию или опусканию индексов, установлено пока лишь для мультипликативных тензоров. Однако каждый тензор можно представить в форме суммы мультипликативных тензоров соответствующего ранга. Это утверждение не требует доказательства, так как мы не ограничиваем количество мультипликативных составляющих тензора. Поэтому действие поднимания и опускания индексов распространяется на тензоры произвольного ранга и строения. Это подтверждается также тем, что метрический тензор принадлежит к так называемым единичным тензорам, так как его смешанные компоненты совпадают с символами Кронекера. [c.58]

При параллельном переносе вектора в евклидовом пространстве (Ди)7 = 0. Действительно, в евклидовом пространстве существует декартова система координат с единичным метрическим тензором. В этой системе все символы Кристоффеля равны нулю. Следовательно, равны нулю компоненты тензора Римана — Кристоффеля. [c.507]

Примеры тензоров второго ранга (ранга 2). Как показывает формула (1.13), совокупность скалярных произведений (е,-, ej) векторов базиса (неортогонального) представляет собой совокупность координат некоторого тензора ранга 2 этот тензор называется метрическим. В ортонормированном базисе компоненты метрического тензора определяются по закону (1.14) совокупность чисел, обладающих свойством (114), называется символом Кроне-кера (или дельта-тензором) и обозначается через б,-/ по определению [c.311]

Лапласиан вектора а в криволинейных координатах определяется формулой (2 . 100). Входящие в нее контравариантные компоненты метрического тензора g l на основании (2 .25) и (11.3) равны [c.366]

Преобразование компонент метрического тензора. Оно определяется преобразованием векторов базиса. Пусть g f, — компоненты метрического тензора в новой системе координат. Тогда, в соответствии с (1.21) и (1.26), получим [c.30]

Таким образом, скалярное произведение векторов выражается через их компоненты и компоненты метрического тензора. Но [c.33]

Метрический тензор. Сравнивая (1.42) с (1.65), видим, что скалярные произведения векторов базиса- преобразуются так же, как и компоненты тензора второго ранга. Следовательно, они являются компонентами симметричного тензора второго ранга, который называется метрическим тензором [c.38]

Здесь gnk, gnk — ковариантные метрические тензоры соответственно в 5 и dx — компоненты бесконечно малого вектора PQ, определяющего положгаие точки Q относительно точки Р, а dx — компоненты вектора PQ (см. рис. 10), который в силу непрерывности является бесконечно малым. [c.47]

Начальные деформации Если начальное состояние реально осуществимо, то можно ввести перемещения от начального состояния к актуальному. Компоненты тензора деформаций в этом случае выражаются через компоненты вектора гс и удовлетворяют уравнениям совместности. Если же начальное состояние не может быть осуществлено в реальном физическом пространстве, то Егу не удовлетворяют уравнениям совместности. В этом случае иногда вводят некоторое промежуточное характерное состояние (начальное состояние без кавычек) с метрическим тензором так, что перемещения от состояния к состоянияю " можно ввести. Тогда [c.310]

Метрический тензор ковариантиые и контравариантные компоненты векторов и тензоров. Пусть f" —п-мерное (в данной [c.208]

Таким образом, координатные векторы, компоненты метрического и дискриминантного тензоров при ковариантном дифференцировании можно считать постоянньпли. Заметим, что операция ко-вариантного дифференцирования введена для компонент векторов и тензоров. Сами же тензоры (векторы) являются инвариантными (не зависящими от выбора системы координат) величинами (без индексов). Для них ковариантная производная совпадает с обычной производной. [c.14]

Таким образом, координатные векторы, компоненты метрического и дискриминантного тензоров при ковариантном дифференцировании можно считать постоянными. Кроме того, как нетрудно видеть, на ковариантное дифференцирование распространяется правило обычного дифференцирования произведения. Отметим, что операция ковариантного диф( ренцирования введена для компонент вектора и тензоров. Сами же векторы и тензоры являются ин- [c.87]

Учитывая, что контравариаитиые компоненты метрического тензора g i определяются формулами (1.63), и удерживая в разложении Тейлора (1.64) четыре члена, получаем следующие выражения для моментов компонент вектора плотности теплового потока [c.33]

Внося теперь (8.П), (8.5) в формулы 6 iк = - 1Т>к и учитывая ортогональность векторов т и находим ковариантные компоненты второго метрического тензора поверхНЬсти 0, соответствующие ее параметризации уравнением (8.2) [c.37]

В общем случае ввести систему координат, в которой компоненты метрического тензора были бы везде постоянными, нельзя, но, как мы далее увидим, такие системы всегда можно получить локально, т. е. в малой окрестности каждой точки 4-пространства. Выберем произвольную систему S координат (х ) с метрическим тензором gik (х), н пусть Хр — координаты события Р. Рассмотрим совокупность четырех взаимноортогональных единичных векторов (тетрада) в точке Р. Пусть е а) (а = 1, 2, 3, 4) — контравариантные компоненты а-го вектора тетрады. Один из этих векторов в(4) — времениподобный, а остальные три е(а) — пространственноподобны. Из (9.16) ковариантные компоненты векторов тетрады равно e( ),- = gik ta), где gif. = gj (Р) — значения компонент метрического тензора в точке Р. Ортонормированность векторов тетрады выражается соотношениями [c.223]

В уравнениях (1)-(3), как и во всей статье, обозначено -оператор ковариантной производной =5 +ag ,J =е, + g,J /3 -компоненты тензоров напряжений и скорости деформации, соответственно - компоненты девиаторов напряжений и скорости деформации, соответственно а, - компоненты шаровых тензоров - компоненты метрических тензоров У , у - компоненты векторов скорости и ускорения, соответственно g , - плотность заданной массовой силы р - массовая плотность верхние индексы соответствуют контравариантным, а нижние - кова иант-ным компонентам тензоров. [c.6]

Весьма существенным является сочетание действия умножения с действием свертывания. С частными случаями этого действия мы встречались выше. Рассмотрим это действие подробнее, вводя как множитель метрический тензор. Простейшие случаи применения этого комбинированного действия определены формулами (1.53) и (1.55). Из этих формул видно, что, применяя действия умножения на метрический тензор и свертывания к вектору, можно поднять индекс компоненты вверх, превратив ковариантиые компоненты в контравариантные, или, наоборот, опустить этот индекс вниз. Это действие поднимания или опускания индексов, являющееся результатом комбинированного действия умножения и свертывания, можно распространить на произвольные мультипликативные тензоры. [c.58]

Величины gift называются, как было указано в ч. I, компонентами метрического тензора. Они связаны с координатными векторами ej соотношениями [c.92]

Симметричность величин относительно индексов /г следует из правой части равенства (а). Теперь рассмотрим закон преобразования величин Первый член в правой части преобразуется как компонента смешанного тензора второго ранга, так как величины 6, совпадают со смешанными компонентами метрического тензора, а является абсолютным скаляром. Что касается второго члена, то следует отметить, что радиус-вектор в криволинейной системе координат нужно считать определенным своими компонентарли в местном координатном базисе начало местной координатной системы должно совпадать с началом радиуса-вектора. Зная модуль радиуса-вектора и его направление относительно упомянутой местной координатной системы, можно найти его компоненты, как это отмечалось в первом томе. [c.78]

Таким образом, используя наряду с основным базисом взаимный базис нам удалось выразить скалярный инвариант вектора через его коварианткые и контравариантные компоненты, не привлекая компоненты метрического тензора в форме, аналогичной выражению инварианта в прямоугольной декартовой системе координат [c.29]

Сопутствующая ось поворачивается на угол Y. вектор базиса удлиняется до величины ej = 1/соз7 = 1 + tg V = К1 + а матрица компонент метрического тензора ё равна [c.78]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...