Основы второго метода А. М. Ляпунова

ОСНОВЫ ВТОРОГО МЕТОДА А, М. ЛЯПУНОВ 77 [c.77]

Прямой (или второй) метод Ляпунова относится к группе методов, при которых условия устойчивости определяются только на основе однородной системы уравнений без использования их решений [56, 57, 59]. А. М. Ляпунов ввел в рассмотрение некоторую функцию V q, q,. . <" >), называемую функцией Ляпунова Функция V называется знакопостоянной, если она кроме нулевых значений может принимать значения только одного знака. Знакопостоянная функция, принимающая нулевые значения только при равенстве,нулю всех ее переменных, называется знакоопределенной. На основании первой теоремы, доказанной А. М. Ляпуновым, если дифференциальное уравнение свободных колебаний таково, что возможно найти знакоопределенную функцию V, производная которой V, вычисленная согласно этому уравнению, была бы знакопостоянной функцией противоположного знака с V или тождественно равной нулю, то равновесное состояние устойчиво. [c.75]

Важным для обоснования универсальности метода функций Ляпунова является вопрос об обратимости основных теорем, лежащих в основе этого метода. Действительно, если вторым методом Ляпунова пользоваться как основным при решении задач устойчивости, то должна быть уверенность, что соответствующие функции в самом деле существуют. Сам А. М. Ляпунов не рассматривал вопроса о существовании в общем случае функций, удовлетворяющих его основным теоремам. Этот вопрос впервые был поставлен Н. Г. Четаевым перед участниками его семинара по устойчивости в Каэаня и к настоящему времени разрешен трудами ряда советских и иностранных ученых. Первой работой в этой области была статья И. Г. Малкина (1930), в которой рассматрива лись автономные системы второго порядка. Было показано, что для устойчивого установившегося невозмущенного движения может не существовать знакоопределенной не зависящей от времени функции, производная которой в силу уравнений возмущенного движения была бы знакопостоянной противоположного знака однако можно найти такую функцию, зависящую явно от времени. [c.18]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...