ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Уравнение Матье из "Механизмы с упругими связями Динамика и устойчивость " Подставив сюда значение х = —п, получим г/г(-я)= г/ (я). [c.53] ОТ ПОСТОЯННЫХ параметров а w q уравнения Матье и не зависит от начальных условий. [c.54] Решение (2.26) называют устойчивым, если оно остается ограниченным при х—- со, и неустойчивым, если оно неограниченно возрастает при х— оо. [c.54] Так как в этом решении функция Ф(л ) является периодической, а Л и 5 —постоянные величины, то, очевидно, его устойчивость полностью определяется величиной характеристического показателя [х, т. е. величинами корней ф1 и ф-2. [c.54] Если р представляет собой простую рациональную дробь вида njm, то оба частных решения представляют собой периодические функции с периодом 2лт. Если р окажется иррациональной величиной, то оба решения, оставаясь ограниченными, будут непериодическими. [c.54] Периодические решения, имеющие период я, иногда называют просто периодическими, а периодические решения, имеющие периоды 2п, — полупериодическими. [c.55] Таким образом, в случаях кратных корней одно из частных решений уравнения Матье оказывается периодическим с периодом я или 2п. [c.55] Периодические и полупериодические решения уравнения Матье, имеющие важное значение для различных приложений, получили название функций Матье первого рода. [c.56] Подставляя в уравнение Матье ряды (2.27) и (2.28) или (2.27) и (2.29) и собирая члены, содержащие одинаковые степени q, получают систему линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, при помощи которой определяют и с, х) либо а и S х). [c.56] Подставляя найденные величины а и функции с, (л ), Si x) в соответствующие ряды, получают искомые периодические решения, т. е. функции Матье. [c.57] В случае (2.28 если т = 2м —любое четное число, решения получаются четными, периодическими если т = 2п I — нечетное число, решения получают четными, полупериодическими. В случае (2.29), при т четном решения получаются нечетными, периодическими, а при т нечетном — нечетными, полупериодическими. [c.57] При m = 0 имеется только одна четная функция Матье, период который равен я (функция сео(х, д)). [c.57] Индексы 2л, 2/г+ 1 и 2п- -2 указывают число нулей соответствующей функции на интервале О л , обозначая этим самым порядок функции. Индексы 2г, 2г+, 2г 2 относятся непосредственно к коэффициентам А и В соответствующих функций величины коэффициентов А я В зависят от параметра д. [c.57] Каждой из функций Матье соответствует определенная зависимость между параметрами а п q уравнения. Эта зависимость представлена рядом (2.27), а числа а. [c.58] В обоих случаях одна из сближающихся кривых свойственна функции, имеющей период я, другая — функции, имеющей период 2л. [c.60] Линии характеристических чисел функций Матье делят плоскость а, q на ряд областей или зон. Ниже показано, что в зависимости от того, в какую из этих областей попадает характеристическая точка (а, q) уравнения Матье, решение уравнения оказывается либо устойчивым, либо неустойчивым. Вследствие этого рис. 2.1 часто называют картой устойчивости. [c.60] Вернуться к основной статье