Параметрический резонанс — уравнение Мать

На ри,с. 4 приведена осциллограмма решения уравнения (1) в зоне третьего параметрического резонанса. Эта осциллограмма (кривая 1) совмещена с законом изменения жесткости (кривая 2) и с осциллограммой свободных колебаний системы при х = О (кривая 3). Сравнение осциллограмм, приведенных на рис. 4, еще раз свидетельствует о том, что и в зонах параметрического резонанса решение уравнения Матье носит колебательный характер с частотой, близкой к частоте свободных колебаний системы при д, = 0. Более тщательная оценка спектрального состава решений уравнения Матье может быть сделана на основании анализа вынужденных колебаний подобных систем. [c.63]

Границы областей параметрического резонанса для уравнения Мать [c.315]

Параметрический резонанс. Найти решение уравнения Матье л +(й)о —й os о)г )л = 0, fe< (oo , в первом приближении метода усреднения. [c.299]

Обратимся теперь к основному уравнению рассматриваемых здесь задач ( .5), которое называется уравнением Матье. Решения уравнения Матье носят колебательный характер, и их свойства зависят от конкретных значений параметров а и с/. В одних случаях данной комбинации значениям а тл д соответствуют колебания, ограниченные по амплитуде, а в других случаях — колебания с возрастающими амплитудами. Очень часто (при исследованиях устойчивости) подробности колебаний малосущественны, так как основную важность представляет именно тенденция колебательного процесса если амплитуды остаются ограниченными, то система устойчива в противном случае имеет место параметрический резонанс и система неустойчива. [c.273]

Влияние диссипации иа устойчивость параметрически возбуждаемых систем. Параметрические колебания системы с одной степенью свободы описываются уравнением (20). Согласно (22) области неустойчивости при 8 0 лежат внутри соответствующих областей уравнения (23), но могут быть смещены относительно областей неустойчивости уравнения (21). Наличие демпфирования делает невозможным параметрическое возбуждение при достаточно малых jx. При этом влияние демпфирования тем сильнее, чем выше порядок р побочного параметрического резонанса. Типичные области неустойчивости для уравнения Матье с демпфированием [c.125]

Вне областей параметрического резонанса поведение решения уравнения (3.6) исследовалось в работах [91, 93, 109, 171, 423, 671] и др. Из теории уравнения Матье известно (см. также [91, 93, 171]), что при достаточно больших значениях частоты и амплитуды колебаний оси подвеса (уо > I, q> q ) верхнее положение равновесия маятника становится устойчивым (при этом нижнее положение равновесия также остается устойчивым). Аналитически оценку границы устойчивости верхнего положения равновесия удобно произвести, если пренебречь затуханием а и записать уравнение (3.6) при малых = х — л в виде [c.278]

Параметрический резонанс. Теорема Флоке (Блоха). Уравнение Матье [c.217]

Обсудим теперь, к чему приводит нелинейность при параметрическом возбуждении. В гл. 11 были изложены результаты исследования параметрического резонанса в осцилляторе, описываемом, например, уравнением Матье (11.8). В результате развития параметрической неустойчивости в системе нарастают колебания линейное затухание здесь, очевидно, не существенно оно лишь сужает полосу возбуждения, не приводя к ограничению амплитуды. При больших амплитудах колебаний в осцилляторе может уже оказаться существенной его нелинейность, проявляющаяся, в частности, в зависимости частоты от амплитуды ш (х) = Шд + Тогда колебания параметрически возбуждаемого осциллятора уже не могут расти безгранично, несмотря на параметрический инкремент. Появляется добавка к частоте, и из-за сдвига частоты, о котором речь уже шла, условия параметрического [c.287]

Опыты с шарнирным четырехзвенником. Количество экспериментальных исследований, прямо или косвенно связанных с рассматриваемыми вопросами, невелико. В работе [108] приведены результаты опытов с маятником, движуш,имся в поле центробежных сил. Эти опыты позволили экспериментально получить движение, соответствующее периодическим решениям уравнения Матье и проверить суш ествование областей неустойчивости. В работе [116] приведены результаты экспериментов, связанных с исследованием возникновения параметрического резонанса эти эксперименты также производились с маятниками. Наконец, в [34] экспериментально показано, что в условиях вибрации точки подвеса неустойчивое положение равновесия маятника оказывается устойчивым. [c.182]

Последние члены в VL дают периодическое решение уравнения (2.3.8) — эксцентриситетные колебания, совпадающие с (2.4.10). Новых параметрических резонансов во втором приближении, как видим, не появляется. В этом состоит отличие решения (2.5.10) от решения уравнения Матье, где во втором приближении появляется новый резонанс. Отметим еще, что в третьем приближении Лз = Вз=0 выявляется резонанс в окрест- [c.79]

Несмотря на то, что в рассматриваемой задаче не удается получить для возмущений неносредственно уравнение типа Матье, карта устойчивости, типичная для параметрического резонанса, показывает, что здесь осуществляется своеобразный параметрический резонанс внешняя частота накачки распадается на две собственных частоты, но не одинаковых, как это имеет место для уравнения Матье, а разных, [c.63]

Классический пример параметрического резонанса — раскачивание качелей. Каждый знает, что легче всего раскачать качели, если приседать в момент максимального их подъема и таким образом, смещая их центр масс два раза за период, увеличивать эффективную длину подвеса. В качестве модели качелей естественно использовать математический маятник, длина которого изменяется по закону I = = о[1 + м(я/ о) os Wpi] (рис. 11.1а), уравнение движения имеет вид х + + (g//o)[l + fi a/lo) osojpt] x = 0. Если fia Iq, то, обозначая g/lg через lOq, получаем известное уравнение Матье (см. [1,2]) [c.217]

Согласно теореме Б. 3. Брачковского [13], возникновение явления потери динамической устойчивости, или так называемого параметрического резонанса, в упругих системах сводится к одному уравнению Матье при наличир следующих условий [c.347]

С математической точки зрения, изучение явления параметрического резонанса сводится к исследованию дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. В частности, для цилиндрической оболочки при малых колебаниях последней оно состоит в исследовании решений уравнения Матье — Хилла при заданном соотношении между возмущающей частотой О и частотой свободных колебаний со. Если решение уравнения Матье — Хилла при заданном отношении со/О окажется неограниченно возрастающим во времени, то это значит, что мы имеем дело с параметрическим резонансом. В том случае, когда решение уравнения остается ограниченным с возрастанием времени, параметрического резонанса не наблюдается и оболочка будет устойчивой. [c.385]

При Е2 = О уравнение (2.14) является уравнением Матье-Хилла с периодическим коэффициентом. Из общей теории этих уравнений следует, что в системе может возникнуть параметрический резонанс в окрестностях значений параметра С1 = п12, и= 1,2,.... Наличие диссипативных сил (Ез > 0) и учет нелинейных членов приведет к тому, что возникнут периодические боковые колебания нити. Применительно к модели поезда периодическая структура крепления рельс (опора рельс на шпалы) обуславливает выбранный выше вид силовой функции. Таким образом, при определенных значениях скорости поезда могут наблюдаться боковые колебания его вагонов. [c.289]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...