Сопряженные подпространства

В гл. II излагается общая теория конечных элементов. При этом свойства конечноэлементных моделей полей общего вида представлены в форме, пригодной для пространств любой конечной размерности. Рассматриваются различные типы конечноэлементных моделей, а также критерии сходимости метода и некоторые приложения к линейным и нелинейным дифференциальным уравнениям, волновым явлениям и динамике разреженных газов. Кроме того, в зтой главе подробно обсуждаются понятия сопряженных подпространств и сопряженных аппроксимаций. [c.7]

Поэтому обратной к фундаментальной матрице Сдг подпространства Ф является фундаментальная матрица сопряженного подпространства Ф. [c.71]

Здесь индекс указывает, в каком подпространстве берется скалярное произведение. Подчеркнем, что если L отображает Н в Н , то L+ отображает Яг в Н, при этом подпространства Hi и Н пространства Lj, вообще говоря, не совпадают друг с другом, хотя функции, являющиеся их элементами, имеют одну и ту же область определения D. Функцию называют сопряженной [c.211]

Мы докажем эту теорему в простейшем случае, когда сливаются все собственные значения Л, 1тЛ > 0. Общий случай сводится к простейшему, если выбрать каноническое подпространство соответствующее I сталкивающимся собственным значениям и комплексно сопряженным с ними. [c.222]

Пусть А — линейный оператор, определенный на элементах линейного многообразия 2)(А) гильбертова пространства Ж и принимающий значения в Ж. Многообразие (А) называется областью определения оператора А, а линейное многообразие 1 (А) = АФ Ф S) А)) —областью значений оператора А. Пусть В — оператор, определенный аналогично оператору А. Если E>(A) содержится в 3) В) и ЛФ==БФ для всех Фе (Л), то оператор А называется сужением оператора В на (Л), а оператор В — расширением оператора Л на Ю В). Пусть Л и Л —два линейных оператора, определенных в Ж Л — на 2)(А), а Л — на (Л ). Операторы Л и Л называются сопряженными, если (W, ЛФ) = (Л Ч , Ф) при всех Фе (Л) и всех е А ). Говорят, что линейный оператор Л имеет всюду плотную область определения )(А), если замыкание (Л) по норме, заданной в Ж, совпадает с гильбертовым пространством Ж. Если оператор Л имеет всюду плотную область определения, то существует единственный линейный оператор Л, называемый максимально сопряженным с Л, такой, что любой оператор А, сопряженный с Л, совпадает с сужением оператора Л на некоторое линейное многообразие (А ), содержащееся в (Л ). Линейный оператор В называется замкнутым, если для каждой последовательности Ф из S) B), элементы Ф которой сходятся (по норме) к некоторому вектору Ф Ж, их образы 6Ф сходятся (по норме) к некоторому вектору Т е и при этом Ф З) В) и ЙФ = Если оператор Л имеет всюду плотную область определения, то Л — замкнутый оператор. Оператор Л с всюду плотной областью определения называется симметричным, если 3) А) содержится в S) A ) и Л совпадает с сужением оператора Л на (Л). В этом случае оператор Л есть замкнутое симметричное расширение оператора Л и называется замыканием оператора Л. Говорят, что линейный оператор Л самосопряженный, если он симметричен и, кроме того, удовлетворяет условию (Л) — 2Е> А ). Вообще говоря, у симметричного оператора может быть не одно, а несколько самосопряженных расширений. В частности, симметричный оператор Л называется существенно самосопряженным, если его замыкание самосопряженно. В этом случае Л допускает лишь одно самосопряженное расширение, а именно А . Говорят, что линейный оператор Л ограничен (в области определения), если существует конечная положительная величина М, такая, что при всех Фе (Л) выполняется неравенство ЛФ М. В противном случае оператор Л называется неограниченным. Линейный оператор Л допускает (единственное) ограниченное расширение на подпространство (Л) [замыкание (Л) по норме] в том и только в том случае, если он ограничен на S)(A). Если оператор Л имеет всюду плотную область определения и ограничен на ней, то его можно неявно [c.21]

Одним из самых фундаментальных свойств конечноэлементных аппроксимаций является то, что рассмотренные ранее интерполяционные функции г 51у (х) образуют базис некоторого конечномерного подпространства пространства которому принадлежит аппроксимируемая функция Р (X). В случае когда на задано скалярное произведение, функции -ф (х), как правило, не ортогональны, и это наводит на мысль о построении другой системы функций, которые называются сопряженно-аппроксимационными функциями. В этом параграфе подробно рассматривается понятие сопряженно-аппроксимационной функции и показывается, что эти функции обладают некоторыми определенными свойствами, основополагающими для методов аппроксимации вообще и метода конечных элементов в частности. [c.66]

Из (9.17) непосредственно получаются два важных свойства пространства Ф. Во-первых, заметим, что вследствие (9.17) каждый элемент множества (Ф (X) является линейной комбинацией первоначальных базисных функций Фд (X). Поэтому функции фА (X) из Ф принадлежат и Ф, значит, Ф и его сопряженное Ф совпадают, т. е. подпространство Ф самосопряженное. Следовательно, каждый элемент Р (X) 6 Ф можно представить в виде линейных комбинаций либо функций Фд (X), либо функций Ф (X). Вместо (9.10) можно записать [c.71]

Тот факт, что в этих равенствах фигурирует 1Пд, а не 111 , говорит о том, что величины 1Пд являются компонентами некоторой функции на конечномерном подпространстве Ф, сопряженном с пространством Ф, порождаемым глобальными базисными функциями [c.266]

Здесь предполагается, что преобразования от локальных координат к глобальным уже осуществлены. Будучи разрывными, глобальные напряжения T — T (X, 1) не принадлежат конечномерному подпространству Ф или его сопряженному Ф, порождаемым глобальными базисными функциями Фд (X) или Ф (X) соответственно. нако легко можно вычислить проекцию = ПГ напряжения на сопряженное пространство Ф [c.279]

Будем предполагать, что операторы А В действуют в одном и том жо гильбертовом пространстве V V—область определения А и В, V —обласп, значений, где V —сопряженное к V, причем существует пространство Н, такое, что V плотно в Я, тогда Я можно отождествить с некоторым подпространством V, если Н отождествляется со своим двойственным имеют место вложения V с. Н а V. Скалярное произведение в Н будем обозначать <, >. На практике, как правило, И = цф), а V представляет собой пространство типа W (Q) (или подпространство чтого пространства) [c.330]

Для решения дискретных задач используются известные в теории разностных схем прямые и итерационные методы для задачи определения напряженно-деформированного состояния — метод сопряженных градиентов и метод Холецкого [13], для задачи устойчивости — метод градиентного спуска и метод итерирования подпространств [11, 12, 18]. [c.337]

Анализ результатов расчетов. По описанной методике выполнены расчеты для композитного материала, армированного двумя волокнами конечных размеров. С целью повышения скорости сходимости вычислительных процессов и повышения точности полученных результатов расчетов решение дискретных задач выполнялось комбинированным способом на последовательности сгущаемых сеток. Указанный способ решения дискретных задач заключается в следующем сначала в расчетной области вводится сетка с минимальным количеством узлов, которая позволяет получить качественную картину решения затем выполняется решение дискретной задачи прямым методом (метод Холецкого, метод итерирования подпространств) далее выполняется уплотнение сетки по каждому из направлений с последующей интерполяцией полученных результатов решения в дальнейшем решение дискретной задачи выполняется градиентным методом (метод сопряженных градиентов, метод градиентного спуска), для которого в качестве начального приближения используется решение, полученное на предыдущем этапе. Сходимость градиентных методов, являющихся методами вариационного типа, сильно зависит от качества начального приближения. Поскольку, прямые методы на небольшой сетке позволяют быстро и точно получить качественную картину решения дискретной задачи, указанный комбинированный способ позволяет в несколько раз (по сравнению с традиционными процедурами реализации расчетов) снизить время, необходимое для получения решения задач, повысить точность полученных результатов, а также снизить требования к вычислительным ресурсам. [c.337]

Для всякого линейного отображения А К" К и его действительного собственного значения Л обозначим через Яд корневое подпространство, соответствующее А, т. е. пространство всех таких векторов w G К", что (Л — А Id) w = 0 для некоторого целого к. Аналогично для пары комплексно сопряженных собственных значений А, А обозначим через Яд у пересечение К" с суммой корневых подпространств Яд и соответствующих комплексификации А (т. е. продолжению отображения А на комплексное пространство С"). Для краткости пространства j мы будем также называть корневыми подпространствами. Пусть [c.38]

Теорема 1.3 (см. [24]). Пусть Т есть /С-автоморфизм или Г есть /С-поток, Тогда на инвариантном подпространстве функций с нулевым средним спектр сопряженной группы унитарных операторов счетно кратный лебеговский. [c.38]

Автоморфизм А сохраняет лебеговскую меру в Тог тогда и только тогда, когда det = 1. ГУМ и ГНМ получаются проекцией на тор семейств к- и (п— )-мерных плоскостей первые параллельны собственному подпространству, отвечающему собственным значениям Xii с 1Х, [ <С1 (в количестве к штук) вторые— собственному подпространству, отвечающему остальным собственным значениям (в количестве (п—к) штук). Малое возмущение гиперболического автоморфизма в С -топологии представляет собой аносовский диффеоморфизм тора (см. ниже теорему 2.11). Более того, каждый аносовский диффеоморфизм тора топологически сопряжен с некоторым гиперболичес- [c.130]

Х и)—одномерное подпространство, отвечающее направлению потока), то 5 — поток Аносова. Конечно, условие (7.33) выполняется для метрик отрицательной кривизны, но оно может выполняться и для метрик, допускающих некоторые участки нулевой и даже положительной кривизны. ЭтО обстоятельство привело к рассмотрению так называемых многообразий аносовского типа, допускающих риманову метрику, в которой геодезический поток является потоком Аносова (важный подкласс среди них образуют многообразия гиперболического типа, допускающие риманову метрику отрицательной кривизны, в частности, все поверхности рода >0). Для таких многообразий можно получить информацию о свойствах геодезического потока по отношению к любой метрике без сопряженных точек. [c.162]

Напомним, что сопряженное пространство для пространства это совокупность всех линейных функционалов, определенных на М. Поскольку (9.16) определяет множество линейных функционалов на и функции Ф" (X) линейно независимы, множество Ф (X) определяет проекцию П пространства <0 на некоторое конечномерное подпространство Ф, которое является сопряженным к Ф. Согласно (9.16), два множества Фд (X) и Ф (X) образуют счетный биортогональный базис для Ф. Множество Ф (X) будем называть сопряженным базисом для Ф. [c.70]

Таким обраэом, наилучшей аппроксимацией заданной функции F (X) в подпространстве Ф является функция F (X) 6 Ф, компоненты которой относительно базиса Фд равны скалярным произведениям F (X) с сопряженными базисными функциями Ф (X). [c.75]

Лроизводные сопряженных аппроксимации. Один из наиболее распространенных линейных операторов — оператор частного дифференцирования. Рассмотрим некоторые свойства производных аппроксимационных функций. Пусть (X) обозначают частную производную функции Р (X) 6 Будем предполагать, что (X) существует и что производные базисных функций Фд (X) тоже принадлежат подпространству Ф, т. е. 5цФд 6 Ф (это последнее предположение, конечно, не всегда справедливо). Введем в рассмотрение массив [c.82]

Фундаментальные свойства конечноэлеменшных аппроксимаций. Описав базисные функции Фд (X) для конечноэлементных аппроксимаций, мы можем применить к ним изложенную ранее общую теорию сопряженных аппроксимаций. Подставляя (9.138) в (9.12), получаем фундаментальную матрицу подпространства Ф для конечноэлементных моделей [c.87]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...