Линейное дифференциальное уравнение с вещественным

Линейное дифференциальное уравнение с вещественным ограниченным коэффициентом [c.97]

Содержание этой главы можно сформулировать очень кратко. Задана произвольная система совместных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Известно, что зависимые переменные х, у, г,. .. можно выразить через независимую переменную i посредством выражений, содержащих вещественные или комплексные экспоненты. Пусть X = — одна из этих экспонент тогда М — функция на- [c.290]

Сформулированные выше утверждения относились к случаю, когда линейное приближение приводит к дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами. Это типично для задач об устойчивости состояний равновесия или стационарного движения. В общем случае матрица 6 уравнений первого приближения зависит от 7. При этом нельзя утверждать, что из асимптотической устойчивости решений уравнений первого приближения следует устойчивость решений нелинейной системы. Ляпунов выделил класс так называемых правильных систем, для которых справедлив аналог теоремы об устойчивости по первому приближению. Среди этих систем - системы с переменными коэффициентами, которые являются ограниченными периодическими функциями времени с одинаковым вещественным периодом. [c.460]

Коэффициенты системы (2.4) выражаются явно через решения серии линейных краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений с переменными комплексными коэффициентами по формулам, которые приводятся в [3, 4]. При этом коэффициенты /4, D являются вещественными, а В, Р, Q,R,S- комплексными. [c.100]

Уравнения (4.3) являются обычными дифференциальными уравнениями с вещественными постоянными коэффициентами, а в случае (o= onst они становятся линейными. Решение подобных уравнений излагается в математических справочниках и не вызывает затруднений. Однако постоянство индуктивных сопротивлений в (4.3), достигнутое при пренебрежении насыщением, приводит к большим погрешностям в решении уравнений. Учет насыщения в осях d, q осуществляется проще, чем для исходной модели ЭМП (рис. 4.1, а). Обычно насыщение учитывается раздельно по каждой из осей d. q. Для этого вводятся новые переменные в виде собственных и взаимных потокосцеплений катушек, которые связываются с токами с помощью заданных функций насыщения. [c.86]

Определение 3. Пусть А — оператор линейной части сильно однорезонансного векторного поля в особой точке или диффеоморфизма в неподвижной точке, или периодического дифференциального уравнения с автономной линейной частью, Я — спектр А. Оператору А соответствует вещественный резонансный моном, определяемый следующим образом. [c.72]

Лагранж в 60-е годы отправлялся от этих работ в своих исследованиях колебаний системы конечного числа материальных точек. Ему было нетрудно придать утверждению Д. Бернулли форму математической теоремы, так как в 40-е годы XVIII в. Эйлер показал, как проинтегрировать линейное дифференциальное уравнение произвольного порядка с достоянными коэффициентами, а Даламбер — как интегрируются системы таких уравнений. Это позволяло просто сослаться на то, что общий интеграл дифференциальных уравнений описывающих малые колебания, является суммой слагаемых, каждое из которых соответствует малым изохронным колебаниям простого маятника. При этом, однако, надо было допустить, что корни алгебраического уравнения (уравнения частот, или векового уравнения ), которое попутно приходится решать, вещественны, положительны и не равны между собой. Однако Лагранж этим не ограничился и провел все исследование в общем виде, используя открытую им форму уравнений движения — уравнения Лагранжа второго, рода. В первом издании Аналитической механики Лагранжа (1788 г.) эти результаты даны в улучшенной редакции, в окончательном виде они вошли во. второе издание Аналитической механики (т. I., 1813 г.). [c.265]

В качестве простого примера рассмотрим сохраняющие площадь потоки в случае размерности 2, индуцированные линейной системой х = Ах обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, т. е. потоки вида для некоторой матрицы А, для которой =с1е16- = 1, или А =0. В этом случае трансверсальные неподвижные точки могут быть только эллиптическими или гиперболическими седлами собственные значения матрицы равны А и —Л, и мы можем считать, что матрица А приведена к жордановой форме. Если А = О, то начало координат не является изолированной неподвижной точкой. Если А / О, то число Л либо чисто мнимо А = га гК, либо вещественно. В первом случае собственные значения равны е= = для некоторого з е К, и тогда нуль — неподвижная эллиптическая точка. В противном случае собственные значения имеют вид для некоторого в е К и нуль — гиперболическая неподвижная точка. Другими словами, возможны только два случая [c.328]

Теорема ([38]). Два линейных дифференциальных уравнения х=Ах, xeR", и у—Ву, y6R , топологически эквивалентны, есг ли и только если числа собственных значений с отрицательно (соответственно положительной) вещественной частью операто ров А я В равны, а ограничения этих операторов на их инвариантные подпространства, соответствующие чисто мнимым собственным значениям, линейно эквивалентны. [c.53]

Замена переменных, приводящая систему (2.92) к системе линейных уравнений с постоянными коэффициентами, определяется матрицей G(t) неоднозначно. Изложим алгоритм построения линейного вещественного, 2я-периодического по t, канонического преобразования, приводящего систему дифференциальных уравнений (2.92) к нормальной форме [18]. Будем предполагать,чтохараюеристические показатели Ху системы (2.92) чисто мнимые, Ху lOj, а все мультиштикаторы [c.129]

Аналогия между статическими и геометрическими соотношениями теории оболочек привела В. В. Новожилова (1946) к установлению уравнения в комплексной форме, где неизвестными являются комплексные перемещения. Этот способ применим только для линейных задач равновесия но при их решении он имеет явные достоинства. Уже в первой стадии разработки соответствующей теории были определены несущественные члены в разрешающих уравнениях. Введение комплексных функций позволило понизить вдвое порядок дифференциальных уравнений, что сделало систему уравнений более обозримой. Это имеет большое значение при решении задач с переменными коэффициентами. Например, при рассмотрении осесимметричной или обратносимметричной нагрузки для оболочек вращения задача сводится к уравнению второго порядка, где легко разобраться в осложнениях, вызванных наличием точек поворота. Типичным представителем такого случая является тороидальная оболочка (Е. Ф. Зе-нова, В. В. Новожилов, 1951 В. С. Чернина, 1955), Это замечание относится, однако, к любой оболочке неположительной кривизны в других случаях метод приводит просто к упрощению качественного анализа и нужных при решении выкладок (Р. Л. Малкина, 1954). Любопытно отметить, что существуют задачи, для которых краевые условия могут быть сформулированы в терминах комплексных усилий или перемещений,— в этом случае отпадает необходимость отделения вещественных и мнимых частей до получения решения (в аналитической форме). Задачи этого типа указаны в монографии К. Ф. Черных (1962, 1964), где излон ены все основные результаты, связанные с представлением соотношений теории оболочек в комплексной форме. Отметим из них следующие. [c.242]

Рассмотрим снова систему (1.1) с непрерывной периодической матрицей Н (i). Согласно теореме Ляпунова система (1.1) приводима. Соответствуюш ая замена переменных может быть записана в виде (3.11). Но замена переменных, приводящая систему (1.1) к системе линейных уравнений с постоянными коэффициентами, определяется матрицей Н (t) неоднозначно. В этом параграфе построен алгоритм отыскания линейного вещественного, 2я-периодического по t, канонического преобразования, приводящего систему дифференциальных уравнений (1.1) к нормальной форме. Будем предполагать, что характеристические показатели Kj системы (1.1) — чисто мнимые, = ia , а все мультипликаторы Pf = exp (i2n Tf ), = Pj (А = 1, 2,. . ., n) различны. Черта обозначает комплексно сопряженную величину. [c.39]

Двучленные уравнения раскрывают базовые возможности AVO-анализа в наиболее наглядной форме в системе координат [R, sin 0 ] уравнения (6.5) - это прямые с угловым коэффициентом G ( AVO градиент ), отсекающие на оси ординат отрезок Rq ( AVO интерцепт ). Но выражения (6.2) и (6.3) для двух параметров Rq и G линейной аппроксимации содержат четыре параметра среды - три дифференциальных параметра АУр/Ур, АКу Ар /р, да ещё отношение У /Ур- Ясно, что по двум параметрам уравнений прямой (6.5) можно в принципе устойчиво определить только два параметра среды. Значит, двумя из четырех параметров среды приходится жертвовать в той или иной форме. Как было показано в гл, 5, наиболее интересным с точки зрения вещественного состава среды является параметр У /Ур (выраженный в (6.1с) и (6.5d) через коэффициент Пуассона v), а наиболее устойчиво определяемым является относительный скачок АУр/Ур скорости продольных волн. Поэтому при работе с двухчленной моделью (6,5) в жертву приносят скачки скорости поперечных волн или плотности. В какой форме это делается, будет сказано ниже, здесь важно подчеркнуть, что AVO-анализ в рамках модели (6.5) -это двухпараметрический анализ. [c.191]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...