Алгоритмы для канонических систем

Алгоритмы для канонических систем [c.229]

С другой стороны, понятна также роль условия невырожденности. Действительно, в случае вырождения орбита общего положения невозмущенной системы эргодична на торе меньшей размерности к < но не на торе размерности п. Алгоритм теории возмущений позволяет в этом случае предсказать усреднение на торе размерности к. Но тогда эволюция становится возможной и для канонических систем. [c.106]

Система канонических уравнений после ее составления решается. Если порядок ее невелик, для этого могут быть использованы настольные вычислительные машины. Начиная примерно с /г = 6, целесообразнее вычисления производить на ЭЦВМ, пользуясь специальными программами для решения систем линейных алгебраических уравнений. В основу этих программ, как и в основу ручного счета, целесообразно класть алгоритм Гаусса. [c.563]

Для решения задач были разработаны на базе метода канонических разложений случайных функций общие методы определения оптимальных линейных систем для нестационарных входных сигналов, применяемые к системам с любым числом входов и выходов, а также решен ряд частных задач по определению оптимальных систем различного назначения. Кроме того, нри помощи теории канонических разложений был разработан общий метод нахождения оптимальных систем и оптимальных алгоритмов обработки информации но любым статистическим критериям качества. Этот метод, применимый к линейным и нелинейным системам с любым числом входов и выходов, позволил объединить одной общей теорией все задачи обнаружения сигналов в шумах и их оптимальной обработки, возникающие в теории информации, теории связи, радиотехнике, автоматике и других областях науки и техники. Было показано, как этот общий метод может быть применен для построения алгоритма обучающихся машин. [c.274]

Анализ системы уравнений (77) показывает, что на основе метода канонической формы строятся недостаточно эффективные алгоритмы решения дифференциальных уравнений. Так, для решения дифференциального уравнения п-го порядка необходимо решить систему из 2п дифференциальных уравнений первого порядка. Для построения более экономичных алгоритмов применим метод решения дифференциальных уравнений, использованный при реализации на АВМ передаточной функции запаздывания (см. рис. 56). Структурная схема, представляющая собой алгоритм решения уравнения (76) и полученная по этому методу, изображена на рис. 79, б. Приведем систему дифференциальных уравнений, эквивалентную уравнению (76) [c.122]

На основе только что рассмотренного алгоритма (рис. 79, б) можно получить систему дифференциальных уравнений в канонической ( рме для уравнения (78) [c.122]

Шестая глава посвящена важнейшему разделу механики — гамильтонову формализму. Основная цель этого раздела — представить математические аспекты гамильтоновой динамики как мощный аппарат решения широкого круга задач механики, физики и прикладной математики. В лагранжевом подходе проблема решения уравнений лежит вне рамок лагранжева формализма. Положение меняется в гамильтоновом подходе, который позволяет получить решение как каноническое преобразование начальных данных, не обращаясь непосредственно к уравнениям. Вся информация об эволюции системы содержится в одной функции — гамильтониане в результате канонического преобразования можно получить новый гамильтониан, который в определенном смысле мал . Более того, поскольку все операции ограничены рамками группы движения кососимметричной метрики, то удается создать универсальные алгоритмы построения приближенных решений. В рамках гамильтонова подхода изложены теория специальных функций, каноническая теория возмущений, метод усреднения нелинейных систем, методы анализа движения системы в быстропеременном внешнем поле и т.д. Особый интерес представляет лекция 30, в которой развит метод Дирака удвоения переменных, позволяющий представить в гамильтоновой форме систему нелинейных уравнений общего вида и получить решения уравнений, описывающих сингулярно-возмущенные системы, решения алгебраических и трансцендентных уравнений, разрешить проблему обращения интегралов и т.д. В лекции 32 приведено решение задачи о движении релятивистской частицы в гиперболическом волноводе, представляющей интерес для проблемы сепарации частиц по энергии и удельному заряду. В рамках канонического формализма рассмотрена задача о движении протонов в синхрофазотроне. [c.8]

Проблема интегрируемости. Переход от уравнений движения (1.1) и (2.7) к гамильтоновой системе со скобкой (1.10) и (2.17), описывающей эволюцию взаимного расположения вихрей, соответствует процессу редукции в алгебраической форме. Для реального понижения порядка необходимо, так же как и в случае плоскости, ввести некоторую систему координат (не обязательно канонических) на симплектических листах, которые и являются фазовым пространством приведенной системы. В дальнейшем ( 3) мы проделаем эту процедуру для частного случая при N = Ъ, при введении канонических (симплектических) координат, которые выражаются в очень частном случае через эллиптические функции. При К = 4 нам удалось построить соответствующие симплектические координаты только для случая плоскости, для случая сферы можно указать лишь общие соображения, позволяющие разобрать общий алгоритм, хотя и не являются каноническими, но также могут быть использованы для аналитических и численных исследований. [c.43]

Блоки разрешающей системы и вектор свободных членов были получены формальным вариационно-матричным способом. Для их вычисления согласно (3.61) необходимо иметь в качестве исходной информации законы распределения по сечению перемещений и деформаций [матрицы [Fi], [ 2 и [Li], [Lj] (см. (3.43) и (3.44)] соотношения упругости (матрица [G]), матрицы связи i iJ, [ j] [см. (3.45)] и вектор внешних распределенных нагрузок g . Представленные соотношения (3.57), (3.58) -и (3.61), определяющие алгоритм получения канонических систем, являются общими для Широкого класса одномерных систем. [c.89]

Представленная ЛосЛедовательносТь вычислений определяет алгоритм получения канонических систем и матриц жесткости. Этот алгоритм является общим для широкого класса одномерных систем и легко поддается программированию (при- [c.31]

В последние два десятилетия возникли новые обобщения асимптотических методов нелинейной механики, имеющие тенденцию к выработке общих концепций развития данных методов. Это прежде всего направление, названное методом усреднения с использованием рядов и преобразований Ли (см., например, работу [93]). Впервые ряды Ли в теории возмущений были применены Г. Хори [1261 для канонических систем и распространены далее самим Г. Хори [127] и А. Кэмелом [128] на неканонические системы. Теория возмущений, основанная на рядах и преобразованиях Ли, имеет ряд преимуществ по сравнению с существующими методами. Одним из них является простота алгоритмов. С сутью этих методов и библиографией можно подробно ознакомиться в монографиях [27, 93, 1291. [c.6]

Для канонических систем преобразование (5.2.31), (5.2.32) можно осуществить в более изящной форме, если применить процедуру фон Цайпеля ( 5.6) или ряды и преобразования Ли (п.5.7.5). Последний способ представляет собой простой и эффективный алгоритм, основанный на рекурсивном применении нескольких элементарных операций, и является поэтому очень удобным для расчетов на ЭВМ. С помощью преобразований Ли ( 5.7) был сс рмулирован эффективный рекурсивный алгоритм для неканонических систем. [c.186]

В предыдущем разделе было показано, как, используя последователЫные преобразования смешанных вариационных постановок задачи, удается формализовать процедуры получения канонических систем дифференциальных уравнений и матриц жесткости для Ьдномерных систем общего вида. Алгоритм вариационно-матричного способа получения канонических систем и матриц жесткости будет следующим. [c.31]

Процедура нормализации гамильтонианов и канонических систем становится эффективной, если для этого используются ЭВМ. Реализация описанных выше алгоритмов в виде комплекса стандартных программ нормализации выполнена А. П. Маркеевым и Л. Г. Сокольским [172]. Этот комплекс можно разбить па три части (три иерархических уровия). [c.226]

Для решения задач управляемости и наблюдаемости и вычисления иБдексов Кронекера (управляемости) для систем управления использован численный сходящийся алгоритм, изложенный в работе [4], Метод также позволяет найти ортогональный базис для соответствующих подпространств. На основе этого алгоритма построен и алгоритм для минимальной реализации и полной канонической декомпозиции линейной системы 14]. [c.114]

В данной статье представлен метод решения задачи РСЗ для многосвязных систем. При разработке метода ставилась цель сделать его пригодным для систем высокого порядка. Для этого используется разделение задачи РСЗ для многосвязной системы на ряд задач РСЗ для одномерных систем. Порядок одномерных систем равен индексам управляемости многосвязной системы, причем предполагается, что порядок одномерной системы значительно меньше порядка заданной многосвязной системы. В этом контексте предложенный метод имеет некоторое сходство с методом Андерсона и Луенбергера [3]. Однако с численной точки зрения предлагаемый метод является более совершенным и использует только ортогональные преобразования, не требуя приведения к канонической форме Луенбергера. Для решения задачи РСЗ для одномерных систем предложен метод, основанный на хорошо известном Q/ -aлгopитмe 19]. Предложенный метод похож на описанный в работе [5], но отличается от него концептуальной и вычислительной простотой (см. замечания после алгоритма 4). [c.281]

Можно заметить, что описанный алгоритм в некоторой степени подобен методу, предложенному Андерсоном и Луенбергером [3]. В этом методе для многосвязных Систем используется каноническая форма Луенбергера, что в принципе приводит к численной неустойчивости. Можно показать [13], что сведение к канонической форме Луенбергера состоит из двух процедур численно устойчивого приведения к БФХ и потенциально численно неустойчивого приведения к блочной форме Фробениуса (БФФ), из которой каноническая форма может быть получена с помощью перестановок строк и столбцов типа описанных в алгоритме 3. В алгоритме, предложенном в данной работе, численная неустойчивость исключена, поскольку во всех операциях вместо сведения к БФФ используют только ортогональные преобразования. [c.308]

Описанный в предыдущем параграфе комплекс программ является универсальным в том смысле, что с ого помощью можно нормализовать гамильтониан канонической системы с произвольным числом степеней свободы. Однако такой комплекс нуждается в больших ресурсах ЭВМ, поэтому для решения конкретных механических задач важное значение имеет создание быстродействующих вычислительных алгоритмов, нормализующих гамильтоновы системы с небольшим числом степеней свободы. Большое количество задач связано с нормализацией автономных гамильтоновых систем с двумя и тремя степенями свободы (порядок системы дифференциальных уравнений равен 4 или 6), для которых знание коэффициентов нормальной формы до члено четвертого порядка включительно позволяет часто рехпить задачу об устойчивости положения равновесия. При этом знапие самого нормализующего преобразования (производящей функции) но является необходимым, а коэффициенты нормальной формы вычисляются через коэффициенты исходного гамильтониана с помощью явных и относительно простых формул. Соответствующие алгоритмы и основанные па них вычислительные программы разработаны и описаны в работах [173, 174]. [c.228]

Удовлетворим сначала уравнениям (4.69) и второму условию (4.70). Дальнейщие преобразования не следует рассматривать как построение алгоритма, позволяющего привести всякую систему квазиканонических уравнений к канонической форме. Эти преобразования являются одним из частных случаев тех, которые приходится применять для указанной цели. [c.111]

Положение главного луча на входе в систему определяется либо положением входного зрачка Зр при фиксированных значениях канонических координат Рг/ = О, либо канонической координатой при неизменном Зр. Таким образом, меняя Зр при неизменных Рх = О или, меняя при неизменных Зр и Ра О, мы изменяем положение луча на входе, а следовательно и ход луча через систему и его координату у на апертурной диафрагме. Необходимо подобрать такое значение Ру или Зр, при котором выполняется равенство у Уц. В дальнейшем для определенности будехМ в качестве параметра использовать Зр. При любом значении Зр мы может произвести расчет луча через систему и найти его координату у на диафрагме. В этом смысле у является функцией от 5 , т. е. = / (5 ). Причем эта функциональная зависимость реализуется алгоритмом расчета луча через систему до апертурной диафрагмы. Таким образом, мы можем сформулировать нашу задачу как решение уравнений [c.112]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...