Задача п точечных вихрей

Задача о движении п точечных вихрей по плоскости ( 8, гл. I) вполне интегрируема при п 3. Случай п = 1 тривиален при п = 2 независимыми коммутирующими интегралами являются, например, функции Я и М при п = 3 — функции Н, М и +Ру. В задаче четырех вихрей независимых интегралов ровно столько, сколько степеней свободы. Однако они не все коммутируют. [c.92]

В 1885 г Громека [5] рассмотрел задачу о движении вихрей на сфере, указанную ему Преображенским. В дальнейшем она была исследована многими авторами с разных точек зрения (см. обзоры [4, 12]). Важность модели точечных вихрей для динамической метеорологии отмечена в книге [6]. Общая гамильтонова форма уравнений движения п точечных вихрей на сфере выведена в работе [2]. [c.354]

Движение точечных вихрей в круговой области. Характерной особенностью круговой области является возможность выполнить нулевые условия для нормальной составляющей скорости на границе, убирая окружность и добавляя к исходной системе п точечных вихрей дополнительные п вихрей. Они располагаются на продолжениях радиусов — векторов исходных, причем их радиусы связаны с исходными радиусами и радиусом круга а соотношением = а, а интенсивности равны и противоположны по знаку. Такая зеркальная инверсия позволяет рассмотреть многие интересные ситуации. И хотя такие задачи впервые рассмотрены на ранних этапах развития вихревой динамики [ 129, 1о9 ], в последнее время наблюдается устойчивый интерес к движению нескольких точечных вихрей в круговой области (90, 131, 153, 154 ]. Этот интерес связан с попыткой понять влияние границ на природу порядка и хаоса в динамике точечных вихрей. Не ставя целью охарактеризовать все полученные в этом направлении результаты многие из рисунков цитированных работ обладают не только научной, но и эстетической ценностью, показывая, как причудливо и красиво организовано упорядоченное движение двух вихрей ), дадим лишь общую постановку и приведем ряд любопытных данных, характеризующих специфические особенности движения при дополнительных ограничениях симметрии. [c.171]

Богомолов [3] первым проанализировал задачу устойчивости конфигурации Уд(п, 6 о) одинаковых точечных вихрей, расположенных на сфере [c.354]

Задача п точечных вихрей. Не следует думать, ч. уравнения Гамильтона появляются в механике лишь в результате применения к уравнениям Лагранжа преобразования Лежандра. Рассмотрим плоское стационарное течение идеальной несжимаемой жидкости. Пусть v=(a x, у), Ь х, i/))—поле скоростей ее частиц в декартовых координатах х, у. Из условия несжимаемости divt = 0 следует, что 1-форма ady—bdx является дифференциалом некоторой функции Yix, у). Уравнение движения частицы жидкости можно представить тогда в виде уравнения Гамильтона [c.36]

Рассмотрим задачу о плоском движении цилиндрического твердого тела и п точечных вихрей с циркуляциями Г в безграничном объеме идеальной несжимаемой жидкости, покоящейся на бесконечности. Будем считать, что внешние силовые поля отсутствуют, поверхность цилиндра является идеально гладкой, а его обтекание является циркуляционным — т. е. циркуляция вдоль замкнутого контура, охватывающего цилиндр, Г 7 0. Уравнения движения такой системы почти одновременно получены С. М. Рамодановым [2], а также в [4], причем в [2] предлагается, что п = 1, а в [4], что Г = 0. Расширенный вариант [2], содержащий наиболее общие уравнения движения тела и вихрей, представляет собой работа [3] (Г 7 0),п — произвольно. В дальнейшем мы придерживаемся работы [3]. [c.321]

Большой интерес представляют стационарные движения п точечных вихрей, когда расстояния между ними не меняются система вихрей как твердое тело движется поступательно, либо вращается с постоянной угловой скоростью вокруг их общего центра завихренности. К сожалению, эта алгебраическая задача представляет значительные трудности даже в случае равных интенсивностей вихрей. Дж. Дж. Томсон в 1883 г. исследовал частный случай, когда вихри расположены в вершинах правильного и-угольника. Он нашел, что такое стационарное вращение устойчиво при и < 6 и неустойчиво при и > 7. В работе Л. Кемпбела [65] доказано существование устойчивых стационарных вращений при всех значениях и и с помощью численных расчетов составлен каталог устойчивых равновесных конфигураций для п < 50. Оказывается, вихри расположены на одной или нескольких концентрических окружностях ( атомных оболочках , по терминологии Кельвина). В работах [56, 63] обнаружены неподвижные устойчивые конфигурации п вихрей, когда п является квадратом целого числа. К сожалению, и эта задача еще далека от полного решения. Имеются важные (с точки зрения приложений) примеры стационарных движений бесконечного числа точечных вихрей (например, цепочки Кармана см. [42], 156). [c.32]

Ранее были описаны элементарные винтовые вихревые структуры -бесконечно тонкая винтовая нить и вихревая пелена, состоящая из винтовых вихревых нитей. Однако реальные вихри имеют конечный размер ядра. Начнем рассмотрение этого класса винтовых вихрей с простейшего частного случая осесимметричных, или колоннообраз1Гых, вихрей. В отличие от вихря Рэнкина, который состоит из равномер1Юго распределения прямолинейных вихревых нитей (или точечных вихрей в круге), рассмотрим осесимметричный винтовой вихрь, представляющий суперпозицию винтовых вихревых нитей (рис. 3.14) [Куйбин, Окулов, 1996]. Если известно распределение интенсивностей нитей в цилиндрической области, то задача об отыскании поля скорости сводится к интегрированию представления (2.56) или (2.69). Однако эту задачу можно решить, не привлекая результатов п. 2 6. [c.151]

Удобным методом, позволяющим учесть условие непротекания на поверхности тела произвольной геометрии, является метод присоединенных вихрей [Белоцерковский, Пишт, 1978]. Поскольку поверхность тела, обтекаемого невязкой жидкостью, является линией тангенциального разрыва скорости, то ее заменяют присоединенной вихревой пеленой, которую, в свою очередь, моделируют набором точечных вихрей. Само же условие непротекания ставится лишь в конечном числе контрольных точек, расположенных мелоду вихрями. Вопрос о способе размещения присоединенных вихрей и контрольных точек и о выборе их числа наиболее полно изучен в работах Д.Н. Горелова [1980, 1990]. В отличие от обычно применяемого равномерного размещения (см. С.М. Белоцерковский, М.И. Ништ [1978]), здесь предлагается находить положение контрольных точек из условия равенства в них скорости, индуцированной присоединенными вихрями, и скорости, индуцированной непрерьшным вихревым слоем, что позволяет существенно повысить точность определения циркуляций сходящих вихрей или увеличивать шаг интегрирования по времени. Общая точность расчетов зависит и от числа присоединенных вихрей. Его увеличение ограничено возможностями ЭВМ - приходится решать системы линейных уравнений с большим числом неизвестных. По этой причине возникает сложность в применении метода присоединенных вихрей в задачах о движении завихренных областей вблизи протяженных границ (около плоскости, в каначе и т. п.). [c.327]

Как пишет сам Громека [21] Задача о движении вихрей на сфере была мне указана профессором В. В. Преображенским, по мнению которого решение этого вопроса должно представлять большой интерес для целей физической географии . В [21] Громека пытался вывести уравнения движения точечных вихрей на сфере из основных принципов гидродинамики с использованием картографических преобразований. Однако он не смог найти в явном виде функцию тока, обобщающую плоскую ситуацию. В дальнейшем этой задачей занимался Э.Цермело [151], в известной книге [25] под редакцией Б. А. Извекова и П. Е.Кочина отмечена важная роль модели точечных вихрей и вихреисточников для целей динамической метеорологии. [c.36]

Работа посвящена проблеме лорда Кельвина (1878) об устойчивости стационарного вращения системы п одинаковых точечных вихрей, расположенных в вершинах правильного п-угольника. В последние годы задача приобрела новую актуальность в связи с исследованием вихрей в жидком гелии и электронных колонн в физике плазмы. Этот режим описывается точным решением уравнений Кирхгофа. Для матрицы линеаризации уравнений Кирхгофа на этом решении задача на собственные значения решается явно. Это использовано в работах Дж. Дж. Томсона (1883) и Т. X. Хавелока (1931), в которых получены исчерпывающие результаты о линейной устойчивости. В работе Л. Г. Куракина (1994) было показано, что при п < 6 имеет место и нелинейная (орбитальная) устойчивость. Случай п = 7 остался сомнительным — в литературе можно найти как утверждения об устойчивости, так и утверждения о неустойчивости с неполными или неточными доказательствами. [c.238]

Лорд Кельвин (1878), отчасти в связи с его вихревой теорией атома, поставил вопрос об устойчивости стационарного вращения системы п одинаковых точечных вихрей, помещенных в вершинах правильного п-угольника. Благодаря работам Дж. Дж. Томсона и Т. X. Хавелока, вопрос был полностью рассмотрен в линейной постановке. Однако известные результаты по нелинейной устойчивости неполны (а частично ошибочны). В данной работе, на основе полного анализа нелинейных уравнений Кирхгофа показано, что устойчивость имеет место лишь при п < 7, а при п 8 рассматриваемый режим неустойчив. При этом в случае п < 6 линейный анализ оказывается достаточным для заключения о нелинейной устойчивости, а при п = 7 необходимо привлекать к рассмотрению и нелинейные члены. В работе изложена также общая теория стационарных движений динамической системы с группой симметрии, которая будет полезна и при исследовании других задач. [c.239]

Ком рмноФ отобрашеии и теорема Рауса. Как и в других задачах. связанных с отысканием гармонических функций на комплексной плоскости, при изучении движения точечных вихрей естественен вопрос о возможностях метода конформного отображения. Другими словами. пусть иавестно движение вихрей в области О комплексной плоскости ж + у. Требуется определить характеристики вихрсВОго движения в области Е, плоскости -f п. получаемой из с [c.165]

Имеется много примеров интегририруемых систем геодезические потоки на поверхностях вращения, геодезический поток на трехосном эллипсоиде, биллиард внутри эллипса, система трех точечных вихрей двумерной гидродинамики и др.-В последнее десятилетие много новых примеров интегрируемых систем было открыто с помощью метода обратной задачи теории рассеяния (см. кн. Теория солитонов. Метод обратной задачи (под ред. С. П. Новикова). М. Наука, 1980, 319 с.).. [c.115]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...