Подвижные оси и уравнения Эйлера

ПОДВИЖНЫЕ оси и УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА [c.217]

Входящие в уравнения (4 ) и (5 ) проекции угловой скорости на неподвижные и подвижные оси координат вычисляются по известным углам Эйлера с помощью формул [c.468]

Эти уравнения после подстановки в них значений Кх< Ку, Кг из (3) приведут к обобщенным динамическим уравнениям Эйлера. Это еще довольно сложные уравнения. Дальнейшее их упрощение получается, если использовать второе предложение Эйлера — выбрать в качестве подвижных осей координат, скрепленных с телом, главные оси инерции для точки О. В этом случае Кх К у, Кг определяются по формулам (4). Моменты инерции по-прежнему не будут зависеть от времени и их можно выносить за знак производных по времени. Таким образом, из (13), используя (4), получим следующие динамические уравнения Эйлера [c.478]

Записать уравнения Эйлера для осесимметричного тела в подвижной системе координат с осью z, осью узлов и третьей осью, перпендикулярной к осям z, [c.199]

Для того чтобы получить скалярные дифференциальные уравнения движения тела, имеющего одну неподвижную точку О, в наиболее простом виде, Эйлер предложил проектировать уравнение (14) на подвижные оси Охуг, неизменно связанные с движущимся телом и направленные по главным осям инерции тела в точке О (рис. 387). Этим достигаются два существенных упрощения проекции вектора кинетического момента на главные оси инерции тела в точке О определяются весьма простыми формулами (6), а входящие в эти формулы осевые моменты инерции У ,, У остаются при движении тела величинами постоянными. [c.701]

Дифференциальные уравнения (28) представляют собой обобщенные уравнения Эйлера движения твердого тела около неподвижной точки, отнесенные к осям координат, подвижным как в абсолютном пространстве, таки по отношению к рассматриваемому телу. Пользуясь обобщенными уравнениями (28) Эйлера, нетрудно получить простые (необобщенные) уравнения Эйлера, широко используемые при изучении движения самолета, ракеты, корабля и др. [c.39]

Уравнения Эйлера. Примем в качестве подвижных осей три оси, неизменно связанные с телом и совпадающие с тремя главными осями инерции. Тогда имеем [c.337]

Если свободное твердое тело не является симметричным, то аналитическое решение уравнений Эйлера не может быть получено с помощью элементарных функций. Показать, что, используя теоремы о сохранении энергии и кинетического момента, можно выразить составляющие вектора (о по подвижным осям через эллиптические интегралы. [c.202]

Вряд ли нужно напоминать читателю, что уравнения Эйлера, полученные в этом параграфе как следствие уравнений Гиббса — Аппеля, легко могут быть выведены с помощью элементарных методов. Эти уравнения Эйлера содержатся в его книге [3] 1765 г. Примечательно то, что Эйлер открыл свои уравнения задолго до того, как пользование подвижными осями стало обычным для математиков, и сразу осознал значение своего открытия. [c.234]

Уравнения (98) называются кинематическими уравнениями Эйлера. Они определяют проекции вектора угловой скорости тела о на подвижные оси Охуг через углы Эйлера, Из равенств (98) действительно видно, что, зная уравнения движения (65), можно найти и> , ау, т. е. вектор , на что и указывалось в 86. [c.238]

Два других уравнения Эйлера не могут быть непосредственно получены применением уравнений Лагранжа, поскольку параметры и не соответствуют вращению твердого тела вокруг подвижных осей X я у. Эти уравнения легко могут быть получены из уравнения (а) циклической подстановкой. Изменяя наименования осей, переименуем ось х на у, у яа г и т. п. При этом должны быть изменены обозначения моментов инерции и проекций мгновенной угловой скорости [c.399]

При пользовании уравнениями Эйлера начинающие специалисты нередко забывают о тех непременных условиях, при которых эти уравнения получены оси подвижного трехгранника связаны с телом и являются его главными осями инерции. Нередко упускают также из виду, что при необходимости описать движение сложной системы, состоящей из нескольких твердых тел, можно составить уравнения Эйлера для каждого из них или же прибегнуть к более общим уравнениям [c.66]

Зная зависимости угла прецессии угла нутации О и собственного вращения (р от времени, воспользуемся кинематическими уравнениями Эйлера (1) для определения проекций угловой скорости па подвижные оси координат. Подставляя в (1) заданные функции, получаем [c.223]

Развитие результатов Эйлера в области динамики твердого тела было проведено в дальнейшем главным образом русскими учеными . Знаменитая русская женщина-математик С. В. Ковалевская (1850—1891) обнаружила новый случай интегрируемости уравнений Эйлера в динамической задаче о движении твердого тела около неподвижной точки. В своей работе Ковалевская задается целью отыскать такие классы движений тяжелого твердого тела, для которых проекции мгновений угловой скорости на подвижные оси выражаются в виде некоторых функций времени, имеющих особые точки только в форме полюсов первого порядка. Этим путем она нашла решение новой, труднейшей задачи о движении несимметричного гироскопа, и ее работа вызвала появление обширной литературы как в нашей стране, так и за границей. [c.33]

Основные характеристики движения гиро-скопа. Исходя из найденных первых интегралов (106), (107) и (108), выведем дифференциальные уравнения для определения углов Эйлера ф, -ф, 0 в функции времени. Проекции мгновенной угловой скорости на подвижные оси р, q, г можно затем найти из кинематических уравнений Эйлера. [c.464]

Если оси, по отношению к которым рассматривается движение тела, будут подвижными, то очевидно, что необходимо иметь какой-либо способ определения положения и движения этих осей в пространстве. Это может быть осуществлено с помощью другой системы осей, которые сами неподвижны в пространстве и по отношению к которым в свою очередь мы можем рассматривать перемещение подвижных осей. Это путь, выбранный Эйлером так, и уравнениях, обычно называемых теперь его именем (т. I, гл. V), попользуются две систе.мы осей. Однако преимущество отнесения движения к таким осям в значительной мере уменьшается, если 1ю все время движения необходимо использовать также и систему неподвижных осей. По этой причине мы будем теперь задавать движение подвижных осей угловыми скоростями вращения [c.11]

Связь между проекциями угловой скорости на оси подвижной и основной систем координат и принятыми углами Эйлера дается уравнениями [c.30]

Для вывода уравнений колебаний тела вблизи положения статического равновесия воспользуемся неподвижной O vf, и подвижной О- хуг (связанной с телом) системами координат (рис. 1). При этом в положении равновесия предполагаем совпадающими точки О и О], а также оси 0 , Ог, 0 соответственно с осями ОхХ, Oji/, OiZ. Углы Эйлера 6, и ф выберем по способу А. Н. Крылова. [c.265]

В этом случае наиболее удобными кинематическими уравнениями, выражающими связь между указанными подвижными осями и осями ОХ, ОУ, 0Z, неподвижными в пространстве, являются уравнения, обычно называемые кинематическими уравнениями Эйлера (т. I, гл. V). Они приведены подробно в предыдущем пункте, где вместо г") , тЭ а, в левых частях необходимо, конечно, написать oi, сог и соз dxidt. На рис. 3 Z = XZ — ф, ЕСА ф. [c.21]

Выберем на конусе Штауде образующую q, ориентированную по юдному из своих направлений и имеющую относительно твердого тела направляющие косинусы fg) Tfa и предположим, что она совпадает (также и по стороне) с нисходящей вертикалью, проходящей через точку О. По предположению, направляющие косинусы fa, Ys Удовлетворяют уравнению (39 ), и все сводится к тому, чтобы убедиться, можно ли при соблюдении условия (39 ) определить, по крайней мере, одно действительное значение v, которое удовлетворяло бы уравнению (37). Это векторное соотношение, после проектирования на подвижные оси, дает три линейных уравнения относительно (уравнения Эйлера перманентного вращения тяжелого твердого тела) [c.109]

СтЕРЕОнодАльныЕ УРАВНЕНИЯ. К ОДНОЙ ИЗ систем подвижных осей, о которых говорилось в предыдущем пункте, мы придем, если обратимся к вспомогательным осям, введенным при определении углов Эйлера 9, 6, (т. I, гл. III, п. 32). Вспомним, что одна из этих систем осей, которая обозначена через Ox y z, имеет третью ось, совпадающую с осью г, неизменно связанной с телом, и ось х, расположенную вдоль линии узлов (общий перпендикуляр к осям Сиг, ориентированный таким образом, чтобы вращение от С к 2 на острый [c.150]

Кинематические уравнения Эйлера. Обозначим проекции вектора (о на подвижные оси координат Oxyz через (л , aiy, Связь между этими составляющими и углами Эйлера дается уравнениями [c.49]

Гиростатом (по Кельвину) называется система, состоящая из твердого тела с неподвижной точкой и симметричного ротора, который может свободно вращаться вокруг некоторой оси, неподвижной относительно твердого тела. Эта система имеет четыре степени свободы пространством положений является прямое произведение 50(3) х 5 . Кинетический момент ротора как вектор подвижного пространства постоянен обозначим его Л. Полный кинетический момент системы относительно неподвижной точки равен т + X = 1и) + X. Екли на систему не действуют внешние силы, то вектор угловой скорости и) удовлетворяет обобщенному уравнению Эйлера [c.42]

Свободное твердое тело имеет, как было показано, шесть степеней свободы. Отнесем движение данного свободного твердого тела к системе неподвижных осей координат Oi t] . Возьмем вторую систему осей Oxi/z, неизменно связанную с движущимся твердым телом. Кроме того, проведем через точку О оси Oxi, Oi/i, Ozi, параллельные неподвижным осям Oi , 0 t], Oj . Положение твердого тела будет однозначно определено, если в данный момент времени будет известно положение подвижного начала координат, т. е. координаты точки О, равные ilo. Со, и углы Эйлера ф, ij), 0, определяющие положение системы Oxyz относительно Oxiy zi. Шесть скалярных уравнений, однозначно определяющих положение свободного твердого тела для любого момента времени, называются уравнениями движения свободного твердого тела. При выбранной системе осей коор-динат уравнения движения свободного твердого тела будут иметь следующий вид [c.141]

Уравнения движения (б) после подстановки в них выражения через углы Эйлера оказываются весьма сложными. В 17 рассматривались динамические уравнения Эйлера (17.5) в проекциях на оси подвижной системы. Они также приводятся к переменным 1). О, ф. Однако из уравнений (17.5) только третье уравнение совпадает с уравнением Лагранжа (б) для переменной ), ибо только обобщенная сила Q совпадает с проекцией момента на ось Ог. Остальные два уравнения написаны для проекций моментов на другие оси Ох и Оу. Уравнения рещены для немногих частных случаев, например для свободного симметричного волчка (см. пример 17.3). [c.185]

Связи учитываются автоматически введением в уравнения движения осевых и центробежных моментов инерции волчка. Это —квазигеометрические величины, и если воспользоваться тем преимуществом, что волчок симметричен, то по его оси симметрии следует направить одну из осей декартовой системы координат. Тогда центробежт ные моменты инерции будут равны нулю и таким образом исключатся из рассмотрения. В общем случае ось симметрии будет двигаться в пространстве, и окажется необходимым установить связь подвижной системы с непо движной. Подходящими параметрами для описания положения системы являются, как известно, углы Эйлера (см. рис. 1). Их три угол 0 между осью симметрии [c.45]

Неограниченная задача трех тел. А.М. Ляпунов [30] вывел уравнения движения неограниченной задачи трех тел, используя в качестве части независимых переменных квазискорости Если ввести подвижную систему координат с началом в точке Pq принять за ось абсцисс — направление, идущее от точки Pq к точке Pi, за ось ординат, ось Р т] — направление, перпендикулярное Pq/i в плоскости треугольника Р0Р1Р2, а ось Pq дополняет систему до правой, то uJi,uJ2 0J суть проекции мгновенной угловой скорости UJ триэдра на оси Pq/i, Ро 7, РоС соответственно. Эти величины связаны с углами Эйлера — долготой I7, наклонностью I и углом собственного вращения Ф известными кинематическими соотношениями [c.142]

В уравнениях (1) Эйлера р, q, г обозначают, как обычно, слагающие угловой скорости по главным осям, служащим ребрами подвижного триэдра, а у, Y > Y" — косинусы углов этих ребер с осью Z (вертикально вниз), так что Y=sin6sin(p, у = sin6 os <р, у" = со9б и [c.136]

Из матричного дифференциального уравнения (Пл.28) нетрудно получить соответствующие дифференциальные уравнения для элементов матрицы , . Для удобства сопоставления получаемых ниже кинематических уравнений с кинематическими уразнсннями Эйлера П3.2) да [ес компоненты вектора угловой скорости в проекциях на оси подвижного базиса обозначаются со , со . Перемножая матрицы и и [c.563]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...