Решение уравнения для каждого столкновения

Под влиянием каждого отдельного столкновения происходит очень малое отклонение частицы от ее макроскопической траектории. Если мы не хотим входить в детали динамики системы многих частиц, то единственное утверждение, которое можно высказать относительно столкновений, заключается в том, что они весьма многочисленны и чрезвычайно нерегулярны как по своей силе, так и по направлению. Вопреки первому впечатлению, это утверждение ни в коем случае не является ни негативным, ни обескураживающим. Напротив, если мы готовы отказаться от детерминизма в описании прогресса, то это утверждение дает нам необходимую основу для применения закона больших чисел и теории вероятности. Мы не можем считать силу А (t) заданной функцией времени однако можем сделать разумные предположения о влиянии столкновений, усредненном по большому числу макроскопически одинаковых ситуаций (т. е. по ансамблю). Аналогично мы не можем предсказать скорость или положение броуновской частицы в каждый момент времени t, но можем предсказать средний результат большого числа экспериментов, выполненных в одинаковых условиях. Следовательно, весь подход к решению уравнения (11.2.2) отличается от традиционной детерминированной начальной задачи для дифференциального уравнения. Уравнение (11.2.2) является типичным (и знаменитым) представителем класса так называемых стохастических (или случайных) уравнений движения. По имени [c.11]

Решение уравнения для каждого столкновения [c.510]

Предположим, что мы смогли найти для каждого / решение уравнения (17.167). Тогда, используя (17.153), мы получим матрицы в импульсном представлении. Соотношения (17.146) и их аналоги дадут нам матрицы Тц. В конечном итоге нам необходимы матричные элементы этих операторов между состояниями, которые соответствуют одной свободной частице и двум связанным. Связанная пара частиц обладает заданным угловым моментом, при сложении которого с орбитальным угловым моментом свободной частицы получается полный момент /. Так как в свободной плоской волне имеется бесконечное число орбитальных угловых моментов, то расчет амплитуды столкновения с перестройкой при изменении спина связанного состояния требует в принципе вычисления Т-матриц, соответствующих бесконечному набору значений /. [c.518]

Для исследования неравновесных явлений мы должны решить уравнение переноса Больцмана с заданными начальными условиями и найти таким образом зависимость функции распределения от времени. Любое решение уравнения Больцмана должно удовлетворять ряду строгих соотношений, которые можно получить, исходя из того, что при каждом столкновении молекул некоторые динамические переменные строго сохраняются. [c.114]

Для каждого из этих предельных случаев главным членом разложения функции распределения в ряд является максвелловская функция распределения [1]. В общем случае можно попытаться построить интерполяционные формулы для расчета кинетических коэффициентов, используя их представление для каждого из предельных случаев. Однако гораздо удобнее прибегнуть к решению интерполяционного линейного интегрального уравнения, в этом случае интерполяционные формулы для кинетических коэффициентов получают как естественное следствие решения упомянутого линейного интегрального уравнения. Изложение указанного подхода (обобщенного метода Энскога), предложенного Б. В. Алексеевым, а также методов возмущений для уравнения Больцмана с неупругими столкновениями можно найти в [1]. [c.127]

Так как масса, покоящаяся в начале оси х, притягивает движущуюся частицу с силой, увеличивающейся с уменьшением х, то и без интегрирования уравнения (21) сразу видно, что каждое решение х = x t) этого уравнения должно стремиться к нулю с приближением t к некоторому конечному U. Таким образом, движение сопровождается всегда столкновением двух тел. Алгебраическое дифференциальное уравнение (21i) обладает при х — О особенностью, и, более того, любое решение этого уравнения имеет при t — to особую точку, если x t) -> О при io. Действительно, из (21г) видно, что х -> оо при л 1 ->-0. [c.240]

При решении уравнений (3.2.9) методом итераций любая дуга может быть исключена. В пределе бесконечного числа итераций все дуги исчезнут и окончательные выражения для будут содержать только вклады сильно связных диаграмм со свободными линиями справа. Таким образом, правила диаграммной техники обеспечивают взаимно-однозначное соответствие между диаграммами и разложениями корреляционных функций по одночастичным функциям распределения. Иными словами, диаграммную технику можно использовать как графический метод решения цепочки ББГКИ. Такой подход обладает двумя важными достоинствами. Во-первых, диаграммы высших порядков составляются из отдельных блоков, каждый из которых, в свою очередь, соответствует некоторой последовательности диаграмм. Во-вторых, во всех порядках теории возмущений остаются только сильно связные диаграммы, которые, как мы вскоре убедимся, дают вклад в интеграл столкновений. [c.188]

Если расчет ведется для межмолекулярного потенциала, не позволяющего выразить угол отклонения в виде явной аналитической формулы, то при построении кубатурной сетки решается известное интегральное уравнение из [10], определяющее этот угол для каждой пары молекулярных скоростей, используемых при вычислении интеграла столкновений. Таким образом, не требуется заменять классические потенциалы столкновений более простыми модельными потенциалами типа "сфер переменного диаметра" [11], разработанными специально для экономического расчета молекулярных столкновений. Примеры решения уравнения Больцмана для течений газа со сложными межмолекулярными потенциалами приведены в [12]. [c.160]

При решении кинетического уравнения Больцмана конечно-разностными методами важен вопрос будет ли интеграл столкновений после аппроксимации стремиться к интегралу столкновений Больцмана, когда шаг сетки в пространстве скоростей стремится к нулю Основным критерием точности вычислений является вьшолнение законов сохранения. В методе [8] законы сохранения удовлетворяются приближению в пределах ошибки вычисления и используются как мера точности. В методе [11] выполняется закон сохранения массы, в [5] развит метод коррекции промежуточного решения, делающий метод консервативным. В консервативных методах [12-16] используется специальный выбор узлов кубатурной формулы, при котором скорости до и после столкновения принадлежат одной сетке дискретных ординат. Благодаря этому законы сохранения выполняются точно при каждом столкновении. [c.154]

Теоретический анализ взаимосвязанных физико-химических, динамических и радиационных процессов и явлений в средней и верхней атмосфере представляет чрезвычайно сложную задачу. Наиболее полное и строгое исследование подобной среды может быть проведено в рамках кинетической теории многокомпонентных смесей многоатомных ионизованных газов, исходя из системы обобщенных интегро-дифференциальных уравнений Больцмана для функций распределения частиц каждого сорта смеси (с правыми частями, содержащими интегралы столкновений и интегралы реакций), дополненной уравнением переноса радиации и уравнениями Максвелла для электромагнитного поля. Такой подход развит, в частности, в монографии авторов Маров, Колесниченко, 1987), где для решения системы газокинетических уравнений реагирующей смеси применен обобщенный метод Чепмена-Энскога. Однако ряд упрощений, часто вводимых при решении сложных аэрономических задач (например, учет только парных столкновений взаимодействующих молекул, предположение об отсутствии внутренней структуры сталкивающихся частиц вещества при определении коэффициентов молекулярного обмена и т.п.), существенно уменьшает преимущества, заложенные изначально в кинетических уравнениях. [c.68]

В связи с теорией продольных колебаний возникает важная проблема удара. Когда два тела сталкиваются, каждое из них приходит в состояние внутренних колебаний в свое время, повидимому, надеялись, что разрешение задачи о колебаниях двух стержней, возникающих вследствие их продольного столкновения, может пролить свет ка законы удара. Пуассон первый приступил к разрешению проблемы с этой точки зрения. Его метод интегрирования в тригонометрических рядах чрезвычайно осложняет получение общих выводов вследствие досадной ошибки в анализе, он пришел к парадоксальному заключению, что два стержня из одвого и того же материала и с одинаковым сечением не могут отделиться друг от друга, если только их длины ие равны между собою. Сен-Венан ш) исследовал эту проблему, решая уравнение колебаний при помощи произвольных функций и получил некоторые результаты, наиболее важные из которых относятся к продолжительности удара и к существованию коэфициента восстановления для совершенно упругих тел 11 ). Эта теория не подтверкдается экспериментами. Поправка, предложенная Фохтом 1 ), будучи разработана до конца, также мало улучииет дело. Таким образом попытка свести проблему удара к колебаниям, повидимому, должна быть оставлена. Гораздо более успешной была теория Герца ), основанная иа решении проблемы, которую мы назвали проблемой передачи силы. Герц исследовал независимо частный случай этой проблемы, относящийся к давлению двух тел друг на друга. Он предложил рассматривать деформацию как местный статический эффект, который постепенно возникает и убывает. Он нашел способы определения продолжительности удара, а также величины и формы тех частей поверхностей, которые приходят в соприкосновение. Согласие этой теории с экспериментами оказалось удовлетворительным. [c.38]

В свете (30) правая часть этого дифференциального уравнения снова будет степенным рядом по VI, Vf без постоянного слагаемого, и, поскольку Х, . .., Xf имеют отрицательные вегцественные части, интеграл сходится нри и = оо. Следовательно, для каждого решения, заканчиваюш,егося тройным столкновением, угол р4 также имеет конечный предел р4 нри i 0. Это завершает доказательство того, что столкновение трех частиц происходит в определенных направлениях. [c.119]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...