Представление решения уравнения колебаний в области

Представление решения уравнения колебаний в области 0 . Оценки, полученные в предыдущем пункте, позволяют найти представление регулярных в 0 решений, удовлетворяющих условию излучения (2.26)—(2.29). [c.97]

В главе X ( 2, п. 2) будут построены формулы общих представлений регулярных решений в области D и D уравнения термоупругости в случае бесконечной области D существенную роль будут играть условия термоупругого излучения, подобно тому как это имело место при получении общих представлений регулярных решений уравнения упругих колебаний (см. 2). [c.106]

Представление об уровне случайных колебаний рельсового экипажа дают математические ожидания и дисперсии выходных процессов. Дисперсии могут быть вычислены интегрированием в частотной области спектральных плотностей выходных процессов. Если спектральную плотность возмущений аппроксимировать подходящим дробно-рациональным выражением, то можно составить систему линейных алгебраических уравнений, решение которой сразу дает дисперсии и взаимные корреляционные моменты координат без предварительного определения спектральных плотностей. [c.421]

В основе любой области теоретического естествознания лежит исследование модели явления, которая всегда представляет собой результат идеализации реальных процессов. Правильная модель отражает наиболее существенные черты явления, когда второстепенные подробности умышленно отбрасываются. В одних случаях физические, химические, биологические представления, лежащие в основе модели, настолько ясны и конкретны, что позволяют вывести уравнения, полностью соответствующие принятой модели ( частности, именно так в большинстве случаев обстоит дело в теории колебаний и волн). В других случаях имеющихся представлений может не хватать для строгого вывода уравнений (такая ситуация, например, типична для астрофизики, где для решения той или иной проблемы нужно учитывать много факторов, известных приближенно, а иногда вообще неизвестных). Тогда остается удовлетвориться такими соотношениями, которые характеризуют, физический процесс лишь в общих чертах и отражают значительно меньший объем знаний [c.35]

Функция -A(t, х) представлена на рис. 5.5, я для t = 35, т.е. по окончании одного цикла колебаний. Решение состоит из одного солитона, распространяющегося в область отрицательных х, и осцилляторной волны, пики которой здесь и далее пронумерованы цифрами 1, 2,... Указанная структура сформировалась во время начальной отрицательной фазы колебаний. В положительной фазе образуется стоячая волна, аналогичная представленной на рис. 5.3. Наступающая очередная отрицательная фаза дает возможность распада стоячей волны на два солитона, отмеченных на фиг. 5.5, а символами 1с и 2с. Последние, в отличие от обсуждавшихся выше солитонов, (см. уравнение (5.3.2)), бегут по положительному фону, поэтому величина их фазовой скорости зависит не только от амплитуды, но и от фонового значения. Отметим в этой связи, что преобразование Галилея, примененное к [c.104]

Один из подходов для решения таких задач имеет своим истоком работу А. Б. Бассета. Представим себе, что все прочие граничные условия, кроме условий на свободной поверхности, допускают представление решения в виде агрегата, зависящего от некоторого количества параметров. Например, как следует из работы Бассета, колебание жидкости конечной постоянной глубины может быть описано некоторой комбинацией тригонометрических и гиперболических функций. Условие отсутствия нормальных напряжений на свободной границе дает некоторое трансцендентное уравнение, связывающее параметры волн и комплексное число оз. Определив корни этого трансцендентного уравнения, мы получаем возможность полностью рассчитать движение жидкости. Подобная схема используется в ряде работ. В качестве наиболее типичной для этого направления укажем работу И. П. Оборотова (1960), в которой исследуются стоячие волны на поверхности жидкости конечной глубины. Близкие по своему смыслу идеи лежат в основе работ А. К. Никитина и его учеников Р. А. Грунтфеста и С. А. Подрезова (1964). В последних работах решаются некоторые задачи типа Коши — Пуассона и вместо агрегата, зависящего от нескольких параметров, используется представление Фурье. Решение удается записать в явном виде в форме кратных интегралов Фурье, содержащих параметры. К этому же кругу идей относятся и многочисленные работы Л. В. Черкесова (1962 и др.), посвященные также проблеме возбуждения поверхностных волн. Итак, эта концепция, именуемая часто точной теорией волн в вязкой жидкости, сводит тем или иным способом задачу о линейных волнах к исследованию трансцендентных уравнений с комплексными корнями или вычислению кратных интегралов в комплексной области. По существу, имеет место некоторая переформулировка задачи, ибо непосредственно никакой информации из точного решения в форме интегралов для понимания физического содержания явления извлечь нельзя. Дальнейшее исследование, использующее найденные выражения, можно представить себе в двух [c.70]

Уравнение, эквивалентное (3.33), (3.38), было предложено в работах [38, 39]. Оно отличается от уравнений, обычно использовавшихся в задачах наследственной упругости, тем, что соответствующий ему линейный оператор, содержащий старшие производные второго порядка, явно факторизуется, то есть может быть представлен в виде суперпозиции линейных операторов с производными не выше первого порядка. Это значительно облегчает построение и анализ его решений. Здесь мы пришли к данному виду уравнения, отталкиваясь от одноволнового уравнения для линейной волны, бегущей в одном направлении в среде, свойства которой формируют определенный закон дисперсии для этой волны. Этот путь естественным образом приводит к такой факторизуемой форме. Обратим внимание на то, что отношение члена второго порядка по Я к члену первого порядка в частотной области для уравнения (3.33) равно Я . Ясно, что в границах применимости модели распространения линейных волн, удовлетворяющих уравнению (3.33) или его многомерным (по пространственным переменным) аналогам, каким бы малым (в любом разумном смысле) не было значение Я, при достаточно малых со величина этого отношения может стать при а -1 < О сколь угодно большой, и пренебречь в (3.33) членами квадратичными по Я будет нельзя. Это может оказаться существенным для реальной физической системы тогда, когда соответствующие этим частотам длины волн попадают в диапазон масштабов фрактальности. Если в области низких частот эта модель утрачивает свою физическую адекватность, то это, прежде всего, означает, что решения уравнения (3.33) на достаточно больших временах теряют смысл для описания происходящих в ней процессов распространения возбуждений. Тем не менее, эти решения могут быть вполне адекватными для относительно малых времен, прошедших от момента начала возбуждения колебаний в некоторой точке среды, которой достигло возбуждение. Таким образом, при рассмотрении распространения переходных волн в первоначально невозмущенной среде, эта модель может описывать изменения её состояния в зоне конечной ширины позади переднего фронта возмущения, который перемещается со скоростью, обозначенной в (3.27), а в (3.33) и далее, для упрощения выкладок, принятой нами за единицу. [c.143]

Отметим, что уравнения с обобщенными дробными производными введены при этом как пространственно-временное представление модели распространения колебаний в двухфазной пористой флюидонасыщенной среде с фрактальной структурой пор, развитой и проанализированной в частотной области в работе [78], опирающейся на представления моделей Френкеля-Био-Николаевского. В наших расчетах, основанных на изложенных выше методах и результатах, определяющих фундаментальные свойства решений поставленных задач, во всех случаях для численных вычислений использовались обычные персональные компьютеры. [c.185]

Предлагаемая вниманию читателей книга освещает различные методы решения задач механики деформируемого твердого тела. Для иллюстрации возможностей методов выбраны задачи статики, динамики и устойчивости стержневых и пластинчатых систем, т.е. задачи сопротивления материалов, строительной механики и теории упругости, имеющих важное практическое и методологическое значения. Каждая задача механики деформируемого твердого тела содержит в себе три стороны 1. Статическая - рассматривает равновесие тела или конструкпди 2. Геометрическая - рассматривает связь между перемещениями и деформациями точек тела 3. Физическая -описывает связь между деформациями и напряжениями. Объединение этих сторон позволяет составить дифференциальное уравнение задачи. Далее нужно применить методы математики, которые разделяются на аналитические и численные. Большим преимуществом аналитических методов является то, что мы имеем точный и достоверный результат решения задачи. Применение численных методов приводит к получению просто результата и нужно еще доказывать его достоверность и оценивать величину погрепшости. К сожалению, до настоящего времени получено весьма мало точных аналитических решений задач механики деформируемого твердого тела и других наук. Поэтому приходится применять численные методы. Наличие весьма мощной компьютерной техники и развитого программного обеспечения практически обеспечивает решение любой задачи любой науки. В этой связи большую популярность и распространение приобрел универсальный численный метод конечных элементов (МКЭ). Применительно к стержневым системам алгоритм МКЭ в форме метода перемещений представлен во 2, 3 и 4 главах книги. Больпшми возможностями обладает также универсальный численный метод конечных разностей (МКР), который начал развиваться раньше МКЭ. Оба этих метода по праву занимают ведущие места в арсенале исследований. Большой опыт их применения выявил как преимущества, так и очевидные недостатки. Например, МКР обладает недостаточной устойчивостью численных операций, что сказывается на точности результатов при некоторых краевых условиях. МКЭ хуже, чем хотелось бы, решает задачи на определение спектров частот собственных колебаний и критических сил потери устойчивости. Эти и другие недостатки различных методов способствовали созданию и бурному развитию принццпиально нового метода решения дифференциальных уравнений задач механики и других наук. Метод получил название метод граничных элементов (МГЭ). В отличии от МКР, где используется конечно-разностная аппроксимация дифференциальных операторов, в МГЭ основой являются интегральное уравнение задачи и его фундаментальные решения. В отличие от МКЭ, где вся область объекта разбивается на конечные элементы, в МГЭ дискретизации подлежит лишь граница объекта. На границе объекта из системы линейных алгебраических уравнений определяются необходимые параметры, а состояние во [c.6]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...