Пфаффа система уравнений

Пуассона — Якоби тождество 274 Пфаффа союзная система уравнений 253 [c.549]

Система уравнений Пфаффа вполне интегрируема, т. е. эквивалентна двум уравнениям вида [c.32]

В простейшем и наиболее распространенном случае система уравнений Пфаффа (2.2.4) вполне интегрируема, т. е. эквивалентна L уравнениям вида [c.36]

Мы приведем два доказательства этой теоремы первое будет основано на непосредственной проверке, а второе — связано с эквивалентностью системы уравнений Гамильтона некоторому уравнению Пфаффа. [c.284]

Но не всякая система уравнений Пфаффа вида (2) допускает интегрирование в только что указанном смысле ). [c.363]

Как мы уже отмечали, такие системы уравнений называются системами Биркгофа (сам Биркгоф называл (4.1) уравнениями Пфаффа). Ввиду невырожденности ротора, уравнение (4.1) можно явно разрешить относительно скорости [c.208]

Для голономных связей система (7) должна быть по определению интегрируемой. Для того чтобы система Пфаффа (7) была вполне интегрируемой, необходимо, чтобы все производные oj уничтожались в силу уравнений системы 1, [c.290]

Пфаффа. Согласно первому началу (2.2) — (2.3), 5Q равно сумме полного дифференциала dU и неполного дифференциала Ы и, следовательно, форма Пфаффа для Q не является полным дифференциалом какой-либо функции параметров состояния системы. Имеет ли эта дифференциальная форма интегрирующий множитель и что это физически означает, решается вторым началом термодинамики. Как следует из (2.1) — (2.3), уравнение первого начала позволяет определить внутреннюю энергию U[ai,. .., а Т) в состоянии [а , а , й Т) только с точностью до аддитивной постоянной U a°,. .., а° Т°), зависящей от выбора начального состояния (й ,. .., Г°). Для термодинамики этого вполне достаточно, так как в устанавливаемые ею соотношения входят лишь изменения энергии. [c.39]

Из уравнения (2.4) видно, что дифференциальное выражение для SQ представляет собой линейную форму в полных дифференциалах независимых переменных Т, ai,. .., ап, т. е. форму Пфаффа. Согласно первому началу (2.2) —(2.3) 6Q равно сумме полного дифференциала dE и неполного дифференциала 8W, и, следовательно, форма Пфаффа для 5Q не является полным дифференциалом какой-либо функции параметров состояния системы, Как следует из (2.1) —(2.3), уравнение первого начала позволяет оп- [c.32]

Естественно, что все предыдущее сохраняет свое значение также и в частном случае, когда все связи системы будут голономными, не исключая и того случая, когда эти связи выражаются дифференциальными уравнениями Пфаффа (76), которые должны поэтому представлять собой интегрируемую систему. Но в этом предположении кинематические характеристики можно выбрать некоторым частным образом, который необходимо разъяснить. Так как связи, наложенные на лагранжевы координаты q (если число координат превышает число степеней свободы), являются голономными, то конфигурацию системы в любой момент можно определить, выражая q в функциях от других v независимых лагранжевых параметров Га(а=1, 2,. .., V) в виде [c.323]

Система союзная уравнений Пфаффа 253 [c.550]

Голономные и неголономные системы. Если уравнение связи Пфаффа (1.7.1) интегрируемо (после умножения на соответствующий интегрирующий множитель), то система называется голономной ). Уравнение связи в этом случае можно записать в конечной форме [c.31]

Легко видеть, что уравнения Пфаффа (5.9.13) и (5.9.15) не допускают интегрируемых комбинаций. Система неголономна и имеет три степени свободы наименьшее число лагранжевых координат, необходимых для определения положения и ориентации системы, равно пяти. В качестве таких координат можно выбрать т), 0, ф, г . В данном примере к = 5, А = 3, 1 = 2. [c.83]

Подлинная сущность системы Каратеодори заключается в нахождении такого физического принципа, который, с одной стороны, настолько прост и самоочевиден, что может быть принят в качестве постулата, а с другой — является достаточным основанием для доказательства существования интегрирующего делителя. Ход мысли здесь таков. Положив в уравнении (79) dQ = Q, мы приходим к уравнению типа Пфаффа [c.360]

Теорема 13 установлена Якоби в 1837 г. Следует заметить, что обратная теорема о том, что решение уравнения с частными производными типа Гамильтона приводится к решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений (дифференциальных уравнений характеристик), имеющей в рассматриваемом случае форму Гамильтона, высказана Пфаффом и Коши в развитие еще более ранних исследований Лагранжа и Монжа, еще до того как Гамильтон и Якоби начали заниматься вопросами динамики (Э. Уиттекер [57]). Наиболее эффективный прямой метод решения уравнения Гамильтона— Якоби — это метод разделения переменных полный интеграл есть сумма слагаемых, каждое из которых зависит только от одной из переменных Ж1,. .., ж , I. [c.77]

Эти более общие уравнения консервативной системы носят название уравнений Пфаффа. Относительно 5 (к, v) мы предположим, что это — однозначная аналитическая функция на всей плоскости и, v, не обращающаяся в нуль ни для каких конечных значений и, v. [c.154]

Это — уже известные нам уравнения Пфаффа, являющиеся наиболее общей формой уравнений, описывающих консервативные системы. [c.156]

Теорема 4.4.2. Система связей голонолша тогда и только тогда, когда соответствующая система уравнений Пфаффа вполне интегрируема. [c.314]

Чем больше мы проникаем в природу сил, тем больше мы сводня все к взаимным притяжениям и отталкиваниям и тем важнее становится задача определения движения и взаимно притягивающихся тел. Эта задача принадлежит к категории тех задач, к которым приложима наша теория, т. е. которые приводятся к интегрированию уравнения в частных производных, откуда ясна необходимость изучения этих уравнений. Но в течение 30 лет i занимаются только линейными дифференциальными уравнениями в частных производных, в то время как для нелинейных не сделано ничего. Для трех переменных задачу решил уже Лагранж для большего числа переменных Пфафф представил, хотя п имеющую достоинства, но несовершенную работу. По Пфаффу для решения уравнения в частных производных надо сначала проинтегрировать систему обыкновенных дифференциальных уравнений после интегрирования этой последней составляют новую систему дифференциальных уравнений, которая содержит двумя переменными меньше эту систему снова интегрируют и т. д. и таким образом интегрируют, наконец, уравнение в частных производных. Согласно о этим, Гамильтон, приведя дифференциальное уравнение движения к уравнению в частных производных, свел надачу к более трудной, так как но Пфаффу интегрирование уравнения у. частных производных требует интегрирования ряда систем обыкновенных дифференциальных уравнений, в то время как механическая задача требует интегрирования только одной системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Поэтому большее значение имело здесь обратное приведение, при помощи которого уравнение в частных производных сводится к одной системе дифференциальных уравнений. Первая система Пфаффа совпадает как раз с той, которая получается в механике и можно показать, что остальные системы тогда не нужны. Очень часто приведение одной задачи к дру- [c.7]

Биркгоф назвал интеграл вида (1.5) действием Пфаффа, а уравнения (1.4) — уравнениями Пфаффа. Он рассмотрел случай, когда кососимметричная матрица rot и невырождена (в частности, п четно). Тогда из (1.4) можно однозначно выразить х через ж и i. В своих знаменитых Динамических системах [11] Биркгоф сформулировал программу изучения уравнений (1.4) (когда det(rottt) ф 0). Результаты в этом направлении, полученные до 1983 г., подытожены в монографии Р. Сантилли [77]. Сам Биркгоф особое внимание уделил случаю, когда поле и не зависит явно от времени, не заметив, что тогда (1.4) является обычной гамильтоновой системой. [c.105]

Согласно первому методу величина, максимум которой нужно отыскать или величина, связанная с первой и приобретающая максимальное значение одновременно с ней, выражается как функционал, к которому применимы элементарные правила вариационного исчисления. Этот метод требует исключений и замены переменных, обычно подсказываемых физической интуицией, и тесно связан с приведением системы уравнений Пфаффиана к подходящей канонической форме. Когда это удается, такой метод обеспечивает получение ответа в простейшей форме, а также дает непо- [c.746]

При расширении пространства (q) число уравнений Пфаффа уменьшается, причем согласно следствию 4.5.3 ни одного интеграла не пропадает. Пусть расширенная система дифференциальных уравнений в частных производных имеет п -Ь 1 — 1 линейно независимых уравнений, причем к < т. Тогда вновь полученная пфаффова [c.330]

Действительные перемещения. Действительные перемещения системы, на которую наложены голономпые связи, стеснены интегрируемыми уравнениями Пфаффа [c.295]

Эта система я уравнений Пфаффа называется союзной с данным пфаффианом < j легко видеть, что, как и билинейный ковариант, она инвариантна по отношению к преобразованию переменных. [c.253]

Уравнение Пфаффа (2.1.8) неинтегрируемо, и система неголономна. [c.35]

Мы будем рассматривать динамическую систему наиболее общего типа. Она может быть подчинена переменным связям — случай реономной системы. Если связи постоянны, то система называется склерономной. Связи могут быть заданы неинте-грируемыми уравнениями Пфаффа в этом случае они неголо-номны в противном случае связи носят название голономных. Реономная неголономная система представляет собой самый об- [c.10]

Первая часть формулировки принципа адиабатической недостижимости приводит к существованию новой однозначной функции состояния — энтропии 5. Действительно, если система адиабатическая, а процесс обратимый, то пфаффова форма (1.3.3) переходит в уравнение Пфаффа [c.22]

Такая связь, которая аналитически выражается неинтегрируе-мым уравнением Пфаффа, называется неголономной связью ) связи, выражаемые конечными уравнениями (или интегрируемыми уравнениями Пфаффа), получают название голономных связей. Систему, в числе связей которой имеется хотя бы одна неголономная связь, будем называть неголономной системой. [c.363]

Для того чтобы перейти к новым переменным, можно использовать математическую технику, называемую преобразованием Лежандра. Геометрический смысл преобразований Лежандра состоит в том, что в качестве новых переменных в системе, заданной уравнением Пфаффа (т.е. неким линейным соотношением между дифференциалами переменных, определяюш им интегральную поверхность системы), используются координаты касательной плоскости к этой поверхности 6.7 . Эта техника позволяет легко получить большое количество различных новых соотношений. При переходе к новым независимым переменным та экстенсивная величина, сохранение которой использовалось для получения параметра равновесия, заменяется на новую, в которую этот параметр равновесия входит линейно. Оказывается, что такое переопределение базисных величин очень полезно. Получившиеся после преобразования Лежандра величины, в статистической термодинамике обычно называемые потенциалами, обладают рядом замечательных свойств. Посмотрим, как работает преобразование Лежандра, переводяш ее независимые переменные ( , V) в независимые переменные Если мы будем исходить из соотношения [c.78]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...