Типы особых точек

Все корни действительные и разных знаков. Этот случай соответствует двум типам особых точек седло-узел, изображенным на рис. 1.8, а и рис. 1.8, б. [c.14]

Исследование производится общими методами качественной теории дифференциальных уравнений. Классификацию типов особых точек уравнения первого порядка можно найти в книге В. В. Степанов, Курс дифференциальных уравнений, глава И. [c.567]

Мы здесь не будем излагать дальнейшего материала по методам качественного рассмотрения динамических систем с помощью фазовой плоскости и по более подробному рассмотрению возможных типов особых точек и фазовых траекторий консервативных систем. Все это можно найти в [1 —3]. Приведенные здесь основные сведения и определения следует рассматривать лишь как напоминание об основах метода фазовой плоскости, которым (с соответствующими пояснениями) мы в ряде случаев будем пользоваться в дальнейшем. [c.22]

В 19.4 мы рассмотрели все возможные типы особых точек линейной системы. Одним из них является вихревая точка. Вихревая точка устойчива. Траектории в окрестности такой точки представляют семейство подобных эллипсов с центром в точке 0 рассматривая эллипс с большой полуосью, равной е, мы можем взять в.качестве х (е) малую полуось этого эллипса. Устойчивые узлы и фокусы одновременно устойчивы и асимптотически. Сед-ловые точки, а также неустойчивые узлы и фокусы неустойчивы. (Чтобы получить уравнения в форме, в какой мы их писали в 19.4, следует применить линейное преобразование [c.371]

Нетрудно определить индекс для каждого типа особых точек, рассмотренных в предыдущей главе. Как и ранее, поместим начало координат в особой точке поля. Тогда будем иметь [c.386]

Рис. 75. Фазовый портрет математического маятника на плоскости. Изображены фазовые траектории колебательных, асимптотических и вращательных движений, указана зона отрицательной реакции связи. Видны состояния равновесия, в линейном приближении имеющие эллиптический и гиперболический типы (особые точки типа центр и седло )

Значения параметра силовой характеристики нелинейной системы, при которых происходят изменения типа особых точек и (или) другие принципиальные изменения в фазовой диаграмме (совокупность фазовых траекторий), называются бифуркационными. [c.76]

Указанные типы особых точек и формы кривых вблизи начала координат сохраняются и для нелинейных колебаний. Для нелинейного уравнения с упругой восстанавливающей силой F(x) уравнение фазовых кривых будет [c.358]

Существование (или отсутствие) предельных циклов зависит от параметров силовой характеристики нелинейной механической системы. В частности, при непрерывном изменении одного из параметров (определяющего параметра) может произойти изменение типа особых точек, возникновение или исчезновение предельных циклов значения параметра, при которых это происходит, называют бифуркационными. [c.32]

Тип особой точки линеаризованной системы в зависимости от значений коэффициентов характеристического уравнения указан в табл 7 на стр. 24. [c.41]

При этом тип особой точки уравнений (160) и (161) определяется [за исключением случая, когда й + е = О, (i — с) + iad < 01 через постоянные а, Ь,с к d. [c.107]

Интегрирование уравнения (162) позволяет выяснить расположение интегральных кривых в окрестности особой точки Xj = = О (или х = v = Q), т. е. определить тип особой точки. Судя по уравнению (162), на вид интегральных кривых, определяющих тип особой точки, влияют корни X] и А,2, которые зависят от коэффициентов а, Ь, с, d уравнения (161). Подробное рассмотрение классификации особых точек изложено в работах [33, 67]. [c.107]

На рис. 26 приведены возможные типы особых точек для уравнения (161). При и вещественных одного знака (Xj особая точка — узел (рис, 26, б), при [c.107]

Если величина А, пройдя значение О, меняет свой знак, то особая точка изменяет свой тип, т.е. нейтральная точка переходит в центр или обратно. Если же величина А, достигнув значения нуль, возвращается к значениям прежнего знака (другими словами, если О является экстремальным значением величины А), то тип особой точки сохраняется, но может случиться, что максимум перейдет в минимум, или обратно. Пример первого рода мы имели в конце предыдущего параграфа. В качестве иллюстрации ко второму случаю рассмотрим следующий пример. [c.199]

Какого типа особые точки получатся после разделения новой особой точки на две, можно в каждом конкретном случае исследовать, определив знак выражения А. [c.258]

Не умаляя общности, будем рассматривать случай вг (0) = 1. Исследуем прежде все-ГО тип особой точки уравнения (1.5) с начальными условиями (1.6). Уравнение (1.5) — [c.339]

Из результатов качественной теории дифференциальных уравнений [12] следует, что сектор 5(5) (р — (р2 < параболический (все траектории, наблюдаемые в достаточно малой окрестности особой точки, одним концом входят в эту точку, другим выходят на границу окрестности). Из теоремы Лона получаем единственность проблемы различения, а следовательно, тип особой точки определяется линейной частью разложений и рассматриваемая точка, действительно, узел. [c.340]

Тип особой точки О, отвечающей упорядоченной фазе, зависит от соотношения времен релаксации тн, Ts При их несоизмеримости можно выделить шесть характерных режимов [c.43]

Из этого условия находим отнощение alb, определяющего положения прямой. Таким образом, чтобы характеризовать тип особой точки, необходимо определить знак дискриминанта квадратного уравнения (6). [c.46]

Характер фазового портрета системы, описываемой уравнением (2.33), определяется формой зависимости и). В частности, от количества и расположения экстремумов этой функции зависит число и тип особых точек. Каждому минимуму соответствует устойчивая точка типа центра, а каждому максимуму — неустойчивая точка типа седла (рис. 2.14). Исследуем поведение функции VГ(г ) = Wg u) + г и) при различных сочетаниях параметров R, С, а, Ь. Продифференцируем функцию Wg u) по переменной и [c.73]

Метод особых точек получил наибольшее развитие только для системы двух дифференциальных уравнений первого порядка и позволяет в ряде важнейших случаев установить структуру интегральных кривых на плоскости, а стало быть, и определить общие свойства изучаемого движения (или, вообще, исследуемых функций), зная расположение и типы особых точек рассматриваемой системы. [c.330]

Очевидно, что функция не может быть разложена в ряд Тейлора в окрестности ее особой точки. Однако можно получить некоторое разложение, справедливое и вблизи некоторых типов особых точек. Для этого рассмотрим степенной ряд вида [c.532]

Возможны шесть качественно разных ситуаций, соответствующих шести разным типам особых точек. На рис. П.5.1 приводится вид фазовых портретов в окрестности этих точек [c.430]

Дифференциальное уравнение может иметь, вообще говоря, много особых точек. В нашем случае имеется единственная особая точка х = 0, >> = 0. Существуют разные типы особых точек, различаемые по характеру поведения интегральных кривых вблизи данной особой точки. В рассматриваемом нами случае через особую точку не проходит ни одна интегральная кривая. Такая изолированная особая точка, вблизи которой интегральные кривые представляют собой замкнутые кривые, не имеющие особенностей, в частности, например, эллипсы, вложенные друг в друга и охватывающие особую точку, называется центром. С другими типами простейших особых точек мы познакомимся при рассмотрении дальнейших примеров. Пока же ограничимся только указанием, что поскольку разным типам [c.41]

Можно и в этом случае не искать решение дифференциального уравнения второго порядка, а перейти к уравнению первого порядка, определяющему фазовые кривые (1.34). Мы и в этом случае получим семейство интегральных кривых параболического типа и устойчивую особую точку типа узла, так что с точки зрения поведения интегральных кривых и типа особой точки этот граничный случай следует отнести к случаю А шо) а не к случаю А wq. Случай Л = 0)0, не имея физического значения, все же представляет известный расчетный интерес, так как часто бывает выгодно так подобрать [c.67]

Мы рассмотрели три возможных случая экстремальных значений потенциальной энергии системы и связали их с типом особых точек и с вопросом об устойчивости состояний равновесия ). Мы убедились в том, что в случае минимальной потенциальной энергии состояние равновесия является особой точкой типа центра и устойчиво если потенциальная энергия имеет максимум, то состояние равновесия является особой точкой типа седла и неустойчиво. Состояние равновесия неустойчиво и в случае, когда потенциальная энергия имеет точку перегиба. На этом основании для рассматриваемого случая простейшей консервативной системы можно сформулировать две основные теории устойчивости во-первых,теорему Лагранжа ),которая гласит Если в состоянии равновесия потенциальная энергия есть минимум, то состояние равновесия устойчиво, [c.116]

Построим разбиение плоскости параметров к, р на области, каждой из которых соответствует определенный тип особой точки [c.305]

Для того чтобы установить зависимость типа особой точки от других параметров, мы построим аналогичные диаграммы для р (рис. 238) и С, р (рис. 239). Для обеих диаграмм граница комплексных корней выразится уравнением [c.320]

При О особая точка (О, У,,) есть седло, а при [а О эта же особая точка может быть либо узлом, либо фокусом и неустойчива при р 0. Полная диаграмма разбиения плоскости параметров А, р на области существования того или иного типа особой точки(состояния равновесия) приведена на рис. 517. [c.743]

Характер фазовых траекторий в окрестности особой точки зависит от корней уравнения (7.18), которыми определяется и тип такой точки. Существует шесть рассмотренных ниже типов особых точек. [c.152]

Особые точки [ ] являются одним из важнейших объектов изучения в геометрии плоских кривых. Разнообразие типов особых точек весьма значительно черт. 1 показывает два из них а)—угловая точка, б)—узел кт точка самопересечения. Для этих точек характерно отсутствие определённой, единственной касательной, а также и нормали к кривой в соответствующей точке (в каждой из приведённых на чертеже точек имеется по две касательных ). Более существенны для нас, однако, те точки кривой, где можно указать определённые касательную и нормаль, но некоторая особенность усматривается в расположении кривой относи- [c.245]

В том случае, когда а,- > О, стационарная точка либо узел, либо фокус. Тип особой точки определяется соотношением между значением производной 1 > ( Г) и значением скорости X. При положительной скорости Л равновесие является неустойчивым и топологический узел имеет только выходящие траектории. [c.48]

Качественное исследование движения и равновесия системы. Устойчивое и неустойчивое равновесие. Типы особых точек. [c.303]

Состояния равновесия. Нелинейной системе может соответствовать несколько состояний равновесия их число равно числу действительных корней уравнения (15). По структуре фазовых диаграмм вблизи особой точки можно определить устойчивость пли неустойчивость соответствующего состояния равновесия физически реализуемыми являются только устойчивые состояния равновесия (см. п. 3). Для систем с одной степенью свобод111 особые точки, соответствующие дискретным устойчивым и неустойчивым положениям равновесия, всегда чередуются на фазовой плоскости. Основные типы особых точек представлены в табл. 7, более подробно ронрос рассматривается в п. [c.24]

При изменении силовой характеристики может измениться тип особой точки Например, соответствующий устойчивому состоянию равновесия консервативной системы центр при введении в сис1сму сколь угодно малого сопротивления превращается в устойчивый фокус, который при дальнейшем увеличеыии сопротивления может иерейти в устойчивый узел. Если в систему вводить отрицательное сопротивление, то центр переходит в неустойчивый фокус, который затем молчет превратиться в неустойчивый узел. [c.25]

Выбирая то или иное значение W = onst, проводим тем самым на рис. 8.2 Ь вертикальные прямые ММ или mm, пересекающие график скоростей в некоторых точках. Как видно из рисунка, таких точек может оказаться две ( i и 6 2 на линии тт ), четыре Вх, В2, Вз, В4 на линии ММ ) или ни одной. На ударной адиабате (рис. 8.2 а) указанным точкам соответствуют состояния за скачком, обозначенные теми же буквами i или Bi. Эти точки вместе с точкой А и будут стационарными точками системы (8.5) при заданном значении W. Чтобы знать, какие ударные переходы из начального состояния возможны, надо среди особых точек указать те, в которые приходят при возрастании i интегральные кривые, выщедщие из точки А. Для этого надо выяснить тип особых точек А, Bi и i и исследовать поле направлений A i,yV 2 . [c.326]

Выявление структуры фазового портрета лазера. Характерные черты структуры фазоюго портрета лазера в режиме свободной генерации можно выявить, не решая уравнения (3.3.26), Для этого надо прежде всего исследовать поведение фазовых траекторий вблизи особой точки, соответствующей стационарной генерации (точка А на рис. 3.15). Конкретно надо линеаризовать систему балансных уравнений в окрестности особой точки и, рассмотрев корни получающегося характеристического уравнения, выявить тип особой точки [87]. Указанная программа действий обсуждается в приложении 5, где, в частности, рассматриваются шесть типов особых точек. [c.313]

Это определение корректно в том смысле, что группа не зависит от выбора морсификацин fг и определяется только типом особой точки (см. п. 1.10). [c.60]

Для системы уравнений (14) точки (О, 0) и м ) являются уже простыми особыми точками. Для их анализа достаточно [6] рассмотреть литейные члены разложения правых частей системы (14) вблизи этих точек. Характерисотчесное уравнение для опре-делашя типа особой точки (О, 0) имеет вид [c.71]

В 1901 году И. Вендиксон продолжил исследования Пуанкаре на основе теоретико-множественных рассмотрений. Он, м частности, обнаружил новые типы особых точек. [c.6]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...