Малые колебания установившегося состояния

Предположим, что две жидкости с плотностями в, д движутся др)гг над другом со скоростями и, (/, параллельными оси X, причем поверхность раздела (в невозмущенном состоянии) является плоской и горизонтальной. Это есть фактически задача малых колебаний около состояния установившегося движения. [c.466]

Случай отсутствия координат. Во многих случаях малых колебаний около состояния установившегося движения и в некоторых других задачах функция Лагранжа не содержит некоторых координат 0, ф,. .., хотя является функцией их производных 0, ф, . .. в то же самое время она может содержать другие координаты I, т),. .. так же, как и их производные 5, т), . .. Когда это имеет место, уравнения Лагранжа для 9, ф,. .. принимают вид [c.363]

Рассмотрим, например, малые колебания быстро вращающегося волчка около состояния установившегося (равномерного) прецессионного движения. В частности предположим, что в начальный момент времени полюс С находится в покое. Сначала он начнет опускаться под действием силы тяжести, но отклоняющая сила, действие которой очень скоро скажется, начнет отклонять полюс постоянно влево от траектории, так что он наконец пойдет обратно вверх, описывая некоторую кривую циклоидального типа. При начальных условиях более общего характера траектория будет напоминать трохоиду (фиг. 45). [c.135]

Шар, центр масс которого совпадает с геометрическим центром шара, но главные моменты которого в этой точке будут А, А, С, катится вдоль горизонтальной плоскости с угловой скоростью ш в направлении под прямым углом к оси момента С, которая горизонтальна. Доказать, что если в этом установившемся состоянии будет произведено незначительное возмущение, то период малЯх колебаний около установившегося состояния будет [c.179]

Регулирование называется устойчивым, если все параметры Д<о, 2, Дт, ..., определяющие малые отклонения системы от состояния установившегося движения, с течением времени стремятся к нулю. Эти параметры называются малыми, если при составлении уравнений возмущённого движения можно пренебрегать всеми членами второго и выше порядка малости. В этом случае и колебания также называются малыми колебаниями. Таким образом разложение в ряд Тэйлора функций, определяющих силы действующие и силы сопротивления, с последующим отбрасыванием всех членов порядка выше первого по отношению Дш, Дг, Дт.... и их производных приводит к линейным диференциальным уравнениям движения. [c.175]

Во всех случаях этого рода важно знать, является ли данное установившееся состояние движения устойчивым или неустойчивым. Основной вопрос можно формулировать так если вызваны малые колебания относительно установившегося состояния, то будут ли они иметь тенденцию к исчезновению, так что восстановится установившееся состояние, или они будут нарастать со временем, так что установившийся процесс совершенно нарушится Для решения этого вопроса применяется следующий общий способ 1) предполагается, что вызвано малое отклонение от установившейся формы движения 2) исследуются результирующие колебания системы около установившегося движения, вызванные малым отклонением 3) если эти колебания, как в случае колебаний с вязким сопротивлением в предыдущем параграфе, имеют тенденцию к затуханию, то мы заключаем, что установившееся движение устойчиво в противном случае это движение неустойчиво. Таким образом, вопрос об устойчивости движения требует исследования малых колебаний около установившегося движения системы, возникающих вследствие предположенных произвольных отклонений или смещений от установившейся формы движения. Математически такое исследование приводит к системе линейных дифференциальных уравнений, подобных уравнениям (й) предыдущего параграфа, и решение вопроса об устойчивости или неустойчивости движения зависит от корней алгебраического уравнения, подобного уравнению (g), стр. 207. Если все корни имеют отрицательные действительные части, как было в случае, рассмотренном в предыдущем параграфе, то колебания, вызванные произвольным возмущением, будут затухать и, следовательно, рассматриваемое установившееся движение устойчиво. В противном случае установившееся движение неустойчиво. [c.217]

Чтобы исследовать возможные малые колебания системы около состояния установившегося движения, предположим малые изменения угла о, так что в любой данный момент имеются угловая скорость а и угловое ускорение а в дополнение к угловой скорости <р и угловому ускорению ф относительно вертикальной оси регулятора. Тогда из геометрии системы видно, что втулка будет иметь следуюш,не направленные вверх скорость и ускорение [c.220]

Исследуем теперь малые колебания около этого состояния установившегося движения. В таком случае [c.221]

Как мы уже отмечали (см. 1.1), в реальных системах всегда происходит рассеяние энергии, ее потери, ее уход из системы и, как следствие этого, уменьшение общего запаса колебательной энергии. Процесс рассеяния — диссипации энергии и уменьшения ее общего запаса присущ всем реальным системам, не содержащим устройств, пополняющих эту убыль энергии. Поэтому мы вправе ожидать, что учет процесса уменьшения исходного запаса колебательной энергии позволит нам получить решения, полнее описывающие реальные движения, чем при рассмотрении консервативных систем. Можно указать на множество характеристик колебательных процессов, которые обусловлены наличием в системе потерь энергии, происходящих по определенному закону и являющихся существенными как для линейных, так и для нелинейных систем. К числу проблем, требующих для своего решения учета диссипации, относятся, например, оценка резонансной амплитуды в линейной системе или в системе с малой нелинейностью, обший вид установившегося движения при наличии вынуждающей силы, закон изменения во времени амплитуды свободных колебаний, устойчивость различных состояний и пр. [c.41]

В качестве примера найдем первое приблин ение к возмущенному движению в трех классических задачах, рассмотренных в 9.6. Напомним, что, строго говоря, теория относится к возмущению, при котором сохраняют те же значения, которые они имели в первоначальном установившемся движении. Однако практически это ограничение несущественно, так как малые изменения этих постоянных означают лишь переход к колебаниям около соседнего состояния установившегося движения. [c.165]

Энергетика автоколебаний. Установившиеся колебания мыслимы, если поступающая в систему и теряемая ею энергии равны друг другу. На рис. 17.98 изображена энергетическая диаграмма. Показаны кривые зависимости поступающей в систему (Э+) и теряемой ею (Э-) энергий. В окрестности точки О, относящейся к состоянию покоя системы, превалирует энергия, поступающая в систему над теряемой ею и, следовательно, система, находящаяся в покое, пребывает в неустойчивом состоянии. Малейшее отклонение системы из положения покоя сопровождается увеличением амплитуды. Это увеличение происходит до величины А, соответствующей равенству ординат кривых и Э-. В положении, определяемом абсциссой (амплитудой) А, система находится в устойчивом состоянии. Действительно, если увеличить А по сравнению с Л, то в системе потери энергии окажутся больше, чем поступления, и следствием этого явится уменьшение амплитуды до величины А. Если [c.227]

При промышленном осуществлении анодной защиты оборудования следует выделить пусковой период, когда проводят первоначальную пассивацию аппарата, и период эксплуатации. В стационарных условиях эксплуатации (при неизменных уровне электролита, тепловом и гидродинамическом режимах) для поддержания установившегося пассивного состояния поверхности требуются сравнительно малые защитные токи, которые могут быть вычислены как произведение плотности тока в пассивном состоянии (/п) на величину смоченной поверхности. Изменения условий эксплуатации (при колебаниях температуры, уровня электролита, состава раствора и т. п.) могут приводить к изменениям защитного тока в широких пределах. Поэтому необходимо иметь по крайней мере 5—10-кратный запас мощности приборов защиты по сравнению с потребляемой ими мощностью в стационарном режиме эксплуатации. Начальная пассивация сразу всей поверхности защищаемого оборудования требует весьма больших токов (в несколько сот ампер), поскольку для полной пассивации активного металла необходимо в течение некоторого времени пропускать ток максимальной плотности (/ р). Для снижения пускового тока до приемлемой величины следует постепенно заполнять аппарат электропроводящей средой при включенном регуляторе потенциала, применять низкие температуры, перемещать катод вблизи защищаемой поверхности, применять среды, способствующие самопассивации металла, использовать конструкции аппаратов с коническими или сферическими днищами, т. е. наиболее простой формы, без карманов, конструктивных зазоров и т. п. [c.264]

Нечувствительность регулятора имеет, однако, и положительную сторону. Уже указывалось, что равномерного вращения вала не бывает даже при устойчивом режиме имеется некоторая неравномерность вращения вала за один оборот, устанавливаемая маховиком и оцениваемая коэфициентом 8 . Представим себе идеально чувствительный регулятор каково было бы его действие в таком случае Малейшее изменение угловой скорости выводило бы его из состояния равновесия при устойчивом режиме. Но тогда он только мешал бы правильной работе машины, беря на себя функции маховика в части регулирования хода машины в пределах принятой неравномерности при установившемся режиме. Регулятор должен оставаться в спокойном состоянии при колебании угловой скорости в пределах допустимой неравномерности устойчивого режима. [c.44]

Постановка задачи. Рассмотренные выше задачи параметрических колебаний можно трактовать как задачи об устойчивости некоторых режимов установившихся вынужденных колебаний. Поясним это на примере задач, показанных на рис. 1. В случае, показанном на рис. 1, а, роль невозмущенного движения играют продольные колебания стержня, в случае рис. , б — радиальные колебания кольца, в случае 1, в — колебания пластинки в своей плоскости и т. д. Однако весь предыдущий анализ базировался на предположении, что перемещения в невозмущенном состоянии пренебрежимо малы. Рассмотрим уточненную постановку задачи для случая упругого стержня, сжимаемого периодической продольной силой (рис. 3). [c.365]

Часы представляют собой, как известно, такую колебательную систему, которая способна совершать колебания со стационарной амплитудой, не зависяш,ей от начальных условий. Правда, для того чтобы часы пошли, т. е. чтобы эта стационарная амплитуда установилась, обычно нужен некоторый достаточно большой начальный толчок, но амплитуда установившихся колебаний сама по себе не зависит от величины начального толчка (иначе говоря, в большинстве часов имеет место жесткий режим возбуждения автоколебаний). Если начальный толчок слишком мал, то периодический процесс вообще не установится, колебания затухнут. Эта область начальных значений, из которой система стремится к состоянию равновесия, а ие к состоянию периодического движения, в разных часах может быть разной величины и зависит от устройства часов, но, как правило, существует во всяких часах. Эти характерные черты часового механизма мы и попытаемся объяснить, рассматривая возможно более простые, идеализированные модели часов. [c.196]

Эти уравнения приобретают особый интерес при изучении малых колебаний системы около установившегося состояния движения (q = onst, tp = onst). Мы встретимся с этими уравнениями в упражнении 8 следующей главы. [c.351]

Фазовый портрет этих уравнений при = О изображен на рис. 3.1. К окружности Г, состоящей из состояний равновесий, асимптотически приближаются все остальные фазовые точки, за исключением точки неустойчивого равновесия О. Наличие малых случайных воздействий ( Ф 0) приводит к случайным блужданиям фазовой точки в окрестности Г, т. е. амплитуда колебаний А близка к двум, а фаза медлеппо меняется и может накапливать свои изменения. В установившемся состоянии плотность вероятностей р А, ф) не зависит от угла ф и изображается поверхностью вида, показанного на рис. 3.2. Таким образом, входное случайное воздействие преобразуется в осцилляторе Ван-дер-Поля в выходные флуктуации амплитуды колебаний и случайный дрейф фазы ф. Для отыскания соответствующей плотности вероятностей может быть составлено широко известное уравнение в частных производных Эйнштейна — Фоккера — Планка. С помощью этого уравнепия может быть найдено не только установившееся распределение вероятностей, т. е. уравнение изображенной на рис. 3.2 поверхности, но и процесс ее установления, а также плотности вероятностей перехода из одного состояния Л, ф в другое А, ф за р я т [216, 310, 320, 342]. Эта плотность вероятностей р А, ф А, ф т) при тимеет пределом установившуюся плотность вероятностей р А). [c.59]

В первом случае при незначительном снижении давления механических потерь pj- (что имеет место-при из.менении теплового состояния двигателя) скорость вращения вала повысится на Arii, т. е. число оборотов увеличится с до г и наоборот, при повышении pj-число оборотов снизится с 1 до пз. При этом, как видно из фиг. 123, кривые p и ру пересекаются под весьма малы.м углом, в связи с чем, хотя работа двигателя и будет более или менее установившейся, колебания числа оборотов могут быть довольно зна-чительны.ми. [c.292]

При использовании волновой механики для описания движения электрона в кубическом ящике следует учитывать, что возможны только определенные стационарные состояния движения, у которых длина волны целое число раз укладывается на длине ящика. Такая модель является трехмерным аналогом установившихся колебаний натянутой струны. Состояние электрона можно описать с помощью диаграммы импульсов, пространство вокруг начала координат которой можно представить себе поделенным на большое число маленьких ячеек (рис. 126, б), каждая из которых имеет объем lг L и представляет собой одно энергетическое состояние. Благодаря малой величине постоянной планка /г можно считать, что отдельные состояния долж- [c.191]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...