Взаимодействующие уединенные волны

Обзор физических задач, в которых фигурирует это уравнение, дан Бароне с сотрудниками [1], развившими краткое изложение Скотта Ц, стр. 250]. Впервые это уравнение появилось вовсе не в волновых задачах, а при изучении геометрии поверхностей с гауссовой кривизной К = —1. Фактически некоторые из развитых там методов преобразований оказались удивительно ценными при нахождении решения для взаимодействующих уединенных волн, как будет показано в гл. 17. Сравнительно новые задачи, перечисленные теми же авторами, включают следующие. [c.467]

ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИЕ УЕДИНЕННЫЕ ВОЛНЫ [c.552]

Взаимодействующие уединенные волны 555 [c.555]

Уравнение Кортевега — де Фриза п.2. Взаимодействующие уединенные волны [c.555]

После выхода из области взаимодействия уединенная волна, соответствующая К — — Хп, согласно формуле (17.12), имеет вид [c.568]

Качественно результаты аналогичны результатам для уравнения Кортевега — де Фриза. Решения, описывающие взаимодействующие уединенные волны, получаются в явном виде и отвечают случаю, когда вклад дает только точечный спектр. Выражение для I и Р снова имеет вид [c.578]

Взаимодействие уединенных волн 581 [c.581]

Кортевега — де Фриза уравнение, вариационная формулировка 542 ---, взаимодействующие уединенные волны 555—559 [c.609]

Как правило, в работах, посвященных изучению распространения ударной волны в цепочках атомов, используется однородная модель. При этом не учитывается реальная структура материала, хотя следует ожидать, что различного типа неоднородности оказывают существенное влияние на поведение и взаимодействие уединенных импульсов во фронте ударной волны. [c.211]

Цель этой главы состоит в изучении взаимодействия двух и более уединенных волн, что приведет нас к понятию соли-тона. Как уже упоминалось ранее, солитоны могут приобрести в будущем большое практическое применение, [c.68]

Каждое слагаемое в (4.3.4) стремится к решению типа уединенной волны (4.3.1) в пределе —> с, достигаемом согласно (4.3.5) при 0ц —> 0. Поскольку всегда I I < I с I, в общем случае отдельные элементы цепочки (4.3.4) не являются решениями уравнения (4.2.15), удовлетворяя ему лишь в сумме как результат нелинейного взаимодействия. [c.85]

Вообще говоря, солитонные решения присущи не только уравнению Кортевега — де Вриза, но и целому классу нелинейных уравнений для диспергирующих систем. Взаимодействия солитонов, описываемые некоторыми другими уравнениями, обнаруживают новые интересные свойства уединенных волн, напоминающие свойства частиц. Например, так называемое уравнение синус-Гордона в модифицированной форме [c.215]

Другим характерным следствием нелинейности является существование уединенных волн. Волны с такими профилями в линейной теории диспергируют, но нелинейность уравновешивает дисперсию и приводит к волнам неизменной формы. Уединенные волны были обнаружены сначала как предельные случаи периодических волновых пакетов недавние исследования их взаимодействия и образования из произвольных начальных распределений показали, что их особая структура имеет самостоятельное значение. Мы вернемся к этим вопросам в гл. 17. [c.466]

Мы приведем характерные результаты, но основное внимание уделим методам, распространяющимся на полностью нелинейный случай. С точки зрения фурье-анализа нелинейные волновые пакеты и уединенные волны уже имеют довольно сложные распределения фурье-компонент с уравновешенными взаимодействиями. Описываемый здесь подход опирается непосредственно на эти специальные структуры, не пытаясь разложить их на компоненты. Однако в почти линейном случае можно установить интересные и содержательные связи между этими двумя точками зрения. [c.467]

Можно построить явные решения, описывающие взаимодействие произвольного числа уединенных волн, и предсказать точное количество уединенных волн, которые в конце концов образуются из любого финитного начального возмущения. [c.552]

Удивительный общий результат состоит в том, что если уединенные волны, первоначально разделенные в пространстве, вступают во взаимодействие, то со временем они выходят из области взаимодействия и восстанавливают свои исходные формы и скорости. Единственным напоминанием о взаимодействии являются постоянные смещения от положений, которые они занимали бы [c.553]

Более того, эти решения содержат уединенные волны как предельные случаи, и Тода смог найти решения, описывающие взаимодействия и подобные соответствующим решениям уравнений с частными производными. [c.554]

Решение с N модами fj описывает взаимодействие N уединенных волн. Рассмотрим случай N = 2. Решение для F дается формулой (17.18), а соответствующее выражение для т], заданное фор- [c.557]

ЭТО отвечает конечному смещению профиля в х-направлении. Аналогично, там, где /2 1, а либо велико, либо мало, имеем уединенную волну 02 со сдвигом (или без сдвига) Там, где /1 1 и /2 1, находится область взаимодействия там, где и /2 обе малы или велики, имеем ат] 0. [c.558]

Замечательный результат состоит в том, что уединенные волны выходят из области взаимодействия без изменения формы с первоначальными параметрами и более быстрая уединенная волна Oj теперь находится впереди. Единственным напоминанием [c.559]

После первоначального взаимодействия каждая уединенная волна с амплитудой а движется со скоростью 2а, и ее можно найти в точке [c.572]

Это решение опять подтверждает, что уединенные волны сохраняют свою структуру и выходят из области взаимодействия в своем первоначальном виде с возможными задержками, вызванными взаимодействием. [c.578]

Каждое из этих выражений описывает уединенные волны, движущиеся в противоположных направлениях. Положительная пе дя движется со скоростью Е7, приходит из а = — оо и остается положительной после взаимодействия. Множитель U перед экспонентами можно включить в экспоненты как сдвиги по х. Положительная петля, приходящая из —оо, в результате взаимодействия сдвигается на [c.581]

Основываясь на различных приближенных выражениях и частных случаях, Тода развивает убедительные доводы в пользу того, что эти уединенные волны взаимодействуют так же, как и в непрерывных случаях, сохраняя после взаимодействия первоначальную форму ). [c.588]

В настоящее время благодаря замечательной работе Гарднера, Грина, Крускала и Миуры [1], посвященной уравнению Кортевега — де Фриза, а также трудам Перринга и Скирма [1] и Дж. Лэмба [1, 2], посвященным уравнению Sin-Гордона, были найдены семейства точных решений, описывающих взаимодействие уединенных волн. Удивительно то, что уединенные волны сохраняют при взаимодействиях свою индивидуальность и расходятся, сохранив исходные формы и скорости. Эти решения составляют лишь один класс решений, полученных при более общем подходе к данным уравнениям дальнейшие сравнительно полные результаты относятся к решениям, удовлетворяющим произвольным начальным условиям. Захаров и Шабат [1] распространили методы Гарднера с соавторами на кубическое уравнение Шредингера (1.41) и получили аналогичные результаты. Обзор этих важных и глубоких исследований приводится в гл. 17. [c.22]

Теперь ясно поведение взаимодействующих уединенных волн, описываемых равенством (17.21). Положим для определенности 2 > > О и заметим, что, согласно (17.23), уединенная волна болЬше и движется быстрее, чем уединенная волнг При [c.558]

Мы будем называть выражения (17.35)—(17.37) решением, хотя в общем случае с линейным интегральным уравнением (17.36) трудно иметь дело. Однако иэ него можно получить некоторые результаты. Во-первых, в частном случае р (/с) = О уравнение решается в явном виде и дает взаимодействие уединенных волн, обсуждавшееся в предыдущем параграфе каждое дискретное собственное значение отвечает уединенной волне. Во-вторых, набор уединенных волн, в конце концов возникающих иэ произвольного начального распределения и (х, 0), можно определить по его спектру. В-третьих, можно показать (Сегюр [1]) ), что при [c.566]

Перринг и Скирм [1], по-видимому, догадались, что их численное решение для двух взаимодействующих уединенных волн может быть представлено выражением [c.580]

Однако более содержателен подход к взаимодействию уединенных волн, развитый Дж. Лзмбом [1, 2] и использующий преобразования Беклунда. Этот подход не связан с уравнением (17.72). [c.581]

А/14, / 2 Н/4 . Далее, волны с А 7Н можно успешно моделировать уже при = Н, / 2 = Н/2. Отметим, что при этом па одпу длину волны приходится семь узлов, а по вертикали сетка состоит всего из двух ячеек. Приводимые далее численные эасчеты показали, что такой сетки вполне достаточно для адекватного моделирования уединенных волн, а также процесса их взаимодействия с вертикальной стенкой. [c.11]

Из приведенных на рис. 2 зависимостей видно, во-нервых, что модель хорошо описывает дисперсию всех волн из указанного диапазона нри /11 А/14, /12 Н/8. Далее, волны с А 7Н можно успешно моделировать уже при = Н, /12 = Я/2. Заметим, что при этом па одпу длину волны приходится восемь узлов, а по вертикали сетка состоит всего из двух ячеек. Приводимые пиже численные расчеты показали, что такой сетки вполне достаточно для адекватного моделирования уединенных волн, а также процесса их взаимодействия с вертикальной стенкой. [c.45]

Исследовательский институт им. Мехты совместно с Индийским математическим обществом с 17 мая по 15 июня 1976 г. организовал четырехнедельный курс лекций на тему Гиперболические системы уравнений в частных производных и нелинейные волны . Они были ориентированы на научных работников, желающих познакомиться с этой увлекательной и вместе с тем полезной областью современной науки, в которую за последние годы было вложено много творческих сил. Автор прочитал ряд лекций по некоторым аспектам нелинейных волн. В основном он сосредоточил внимание на стационарных решениях знаменитых уравнений Бюргерса к Кортевега — де Фриза (КдФ), на взаимодействии солито-нов, на понятии групповой скорости для нелинейных диспергирующих волн и более кратко коснулся общего уравнения эволюции, частным случаем которого является уравнение КдФ. Из многих эволюционных уравнений, привлекавших внимание выдающихся ученых последние два десятилетия, мы выделили два указанных выше модельных уравнения, поскольку уравнение Бюргерса является простейшим при изучении диссипирующих волн, а уравнение КдФ — простейшая модель для диспергирующих волн. Причем последнее уравнение особенно важно благодаря существованию решений типа уединенной волны. [c.7]

В следующей главе мы изучим одно из наиболее удивительных свойств уединенной волны, состоящее в том, что две различные уединенные волны (т. е. волны с определенными амплитудами и поэтому с определенными скоростями) после взаимодействия, согласно нелинейному уравнению КдФ, выходят из области взаимодействия без изменения формы. Это свойство характерно для линейных волн. Такое поведение уединенных волн напоминает поведение гладких твердых частиц при столкновении. В связи с этим уединенным (solitary) волнам было дано название солитонов (solitons). [c.46]

Идея состояла в обобщении обычного волнового уравнения (с лагранжианом 2, ф — Ч2 фх) И во введении нелинейных эффектов с сохранением свойств лоренцевой инвариантности. Это уравнение допускает волны произвольной формы, движущиеся со скоростями -1-1 или —1. Их можно было бы рассматривать как уединенные волны, если бы не отсутствие у них специфической внутренней структуры, характерной для предыдущих случаев. Однако Бар-башов и Черников [1] показали, что можно найти явные решения, описывающие взаимодействия, опять со свойствами сохранения формы и со смещением положения вследствие взаимодействия. Мы проводим краткое описание этих решений, хотя, возможно, y ниx й нет глубокой связи с остальными уравнениями. [c.554]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...