Границы зон Бриллюэна

При й = +я/(2а), т. е. на границах зоны Бриллюэна, частота достигает значения — V 2[5/M,, кривая становится пологой и групповая скорость обращается в нуль, т. е, нижняя ветвь ведет себя аналогично кривой для одноатомной цепочки. Из сказанного ясно, почему нижняя ветвь получила название акустической. [c.155]

Для того чтобы выяснить характер движения атомов вблизи границы зоны Бриллюэна [при к л/(2а)], построим зависимость отношения амплитуд u lu2 от волнового числа k для акустической и оптической ветвей (рис. 5.12). [c.157]

Для иллюстрации процессов переброса предположим, что исходные векторы ki и ка имеют положительные относительно kx направления и их модули таковы, что вектор k a=ki + k2 выходит за границы зоны Бриллюэна (рис. 6.16,6). Можно утверждать, что вектор кз эквивалентен вектору кз, расположенному в зоне Бриллюэна и имеющему отрицательное направление относительно kx. В самом деле, векторы кз и кз, как мы показали в гл. 5, физически не различимы, характеризуют одно и то же колебание и отличаются друг от друга на наименьший отличный от нуля вектор обратной решетки G, параллельный оси fe и в нашем примере равный по модулю 2л/а. Видно, что после U-процесса тепловая энергия передается в направлении, которое не совпадает с направлением групповых скоростей в модах ki и ki. Такие существенные изменения к всегда ведут к восстановлению равновесного распре-ления фононов, а следовательно, и к конечному значению теплопроводности. [c.190]

Разрывы в энергетическом спектре электрона, как мы видим, появляются при достижении волновым вектором k значений пп/а, т. е. на границах зон Бриллюэна. Какова физическая природа этих разрывов Выразим волновой вектор через длину волны электрона X н запишем условие, при котором функция E k) терпит разрыв [c.228]

Напомним, что, рассматривая колебания цепочки атомов (гл. 5), мы также пришли к выводу, что при достижении волновым вектором границы зоны Бриллюэна, т. е. к=+я1а, наблюдается отражение упругих и образование стоячих волн. Эти стоячие волны являются результатом сложения двух бегущих волн, распространяющихся в противоположных направлениях. [c.229]

Отрицательная эффективная масса означает, что ускорение электрона направлено против действия внешней силы. Это видно из рис. 7.11,6. При k, близких к границе зоны Бриллюэна, несмотря на увеличение k, скорость электрона уменьшается. Данный результат является следствием брэгговского отражения. В точке k=nja электрон описывается уже не бегущей, а стоячей волной и Угр=0. [c.235]

На рис. 6.4 показан характерный вид кривых дисперсии. Приведен случай, когда fx=3. Ветви 1, 2, 5 — акустические, остальные —оптические. Значение [c.134]

Как известно, на границе зоны Бриллюэна групповая-скорость электрона равна нулю (брэгговское отражение). Поэтому из (2.56) имеем с1Е/с1к = 0. Кроме того, поскольку [c.86]

В Ge 8 эквивалентных абсолютных минимумов зоны проводимости расположены на осях [111] на границе зоны Бриллюэна. Вблизи каждого из этих минимумов изо-энергетические поверхности — эллипсоиды вращения (эквивалентное число эллипсоидов 4). [c.462]

Простейший способ построения этих зон состоит в том, что в к-пространстве строят совокупность точек gi, к каждой из которых из начала координат проводят вектора gi и через их середины — перпендикулярные к ним плоскости. Область, ограниченная этими плоскостями, являющимися геометрическим местом точек, равноудаленных от начала координат и ближайших к нему узлов обратной решетки — это первая зона Бриллюэна, а указанные плоскости — ее границы. В векторной форме уравнение границы зоны Бриллюэна записывается в виде [c.62]

Рассмотрим приведение к первой зоне Бриллюэна какой-либо функции на примере е(к) для свободных электронов (рис. 4.1). Пусть точка к в к-пространстве будет перемещаться из центра зоны Бриллюэна в сторону увеличения значений к. На границе зоны Бриллюэна функция е(к ) окажется равной- функция [c.63]

Выясним, каким станет закон дисперсии, если учесть взаимодействие электронов с периодическим полем кристалла. Удобнее начать рассмотрение с точек, находящихся на границе зоны Бриллюэна. Чтобы найти e(g/2), необходимо проанализировать систему уравнений (4.23), положив к равным g/2. Будем далее полагать, что из-за быстрого убывания фурье-компонент Ung (п — целое число) с ростом ng существенной будет только Ug (с наименьшим g O). Учтем также, что из-за симметрии U (х) [c.64]

Теперь найдем изменение 6i и ег при удалении от границы зоны Бриллюэна, т. е. при условии к 4 g/2. Для выяснения поведения ei,2 в этом случае будем искать решение уравнения Шредингера в виде, аналогичном (4.36) [c.65]

В соответствии с формулами (4.40) и (4.48) если электроны находятся в поле периодического потенциала, то на границе зоны Бриллюэна секулярное уравнение имеет два корня, и это соответствует тому, что электроны могут находиться в двух энергетических состояниях с расстоянием между ними 2Ug. Рассмотрим типичный случай с Ug<0. Для него ei = е = ,g/2—jt/gl, ej=e+ = = Ji,g/2 + t/gl- При уменьшении к ei будет убывать, начиная от Е-, а б2 будет расти, начиная от е+. Легко сообразить, что при малых к большие значения (g/2) могут встречаться только для одной из волн. Это видно из уравнения (4.34), поскольку если знаменатель обращается в нуль, скажем, при й = 0, то вблизи любого из k+g он будет достаточно большим. По этой причине при g = 0 (т. е. в начале координат), как и при всех других значениях g, существенной окажется только одна из волн, и энергетические состояния электронов будут аналогичны состояниям для свободных электронов. Общий вид закона дисперсии е(к) изображен на рис. 4.4, который показывает, что в энергетическом спектре электронов возникают зоны разрешенных и запрещенных энергий. Появление запрещенных зон (или, иначе, энергетических щелей) — прямое следствие воздействия на электрон периодического потенциала. [c.72]

Рисунок 4.4 показывает закон дисперсии вдоль какого-то одного направления в к-пространстве (в схеме приведенной и расширенной зон). Аналогичные зависимости можно построить и в дру-тих направлениях, причем качественно характер е(к) не зависит от направления. Однако величина трансляции (В разных вправлениях различна, поэтому энергетические щели в различных направлениях по высоте (величине энергии) могут как перекрываться, так и нет. Это изображено на рис. 4.5, точки Г, Н, Р соответственно изображают центр зоны и границы зон Бриллюэна в направлениях [100] и 111]. При наличии перекрывающихся зон электроны в конечном счете могут обладать какой угодно величиной энергии. Если же имеются не-перекрывающиеся во всех направлениях энергетические зоны, то это значит, что соответствующими энергетическим энергии электроны обладать не могут. [c.73]

Еще более примечательным является поведение электрона у нижнего края щели. В этом случае /nl mi/g/2Xg/2, и электроны будут двигаться как частицы отрицательной массы, поскольку из-за взаимодействия с полем решетки при подходе к границе зоны Бриллюэна электрон начнет испытывать вульф-брэгговское отражение (это будет показано далее). - / [c.76]

Уравнение Шредингера и его решение дают информацию не только об энергетических состояниях электронов, но и о волновых функциях, которые вблизи границы зоны Бриллюэна имеют вид (4.41), где к близко к g/2. [c.76]

Найдем сначала (g/2)/ (—g/2) на границе зоны Бриллюэна. Подставив (4.40а) и (4.406) поочередно в (4.38), получим [c.76]

Полученное соотношение означает (это хорошо видно из рис. 4.7), что если излучение с длиной волны X и волновым вектором к падает под углом на семейство параллельных плоскостей с межплоскостным расстоянием а и нормалью к нему g, то разность хода лучей между волнами, рассеянными различными плоскостями, будет равна целому числу длин волн. Из теории дифракции излучения известно, что в этом случае за счет сложения амплитуд синфазных волн возникает сильная отраженная волна. Это и препятствует распространению волн, импульс которых отвечает границе зоны Бриллюэна. Формулу (4.57) называют [c.77]

Итак, электроны на границе зоны Бриллюэна испытывают вульф-брэгговское отражение. [c.78]

Анализ формулы (4.62) показывает, что 1С(к)Р и С(к—g) Р одинаковы на границе зоны Бриллюэна (это совпадает с преды-душ,им рассмотрением) и становятся существенно различными при удалении от этой границы. В частности, вблизи от центра зоны практически только одна из волн остается сильной, амплитуда второй становится на несколько порядков слабее первой и еЮ можно пренебречь. Таким образом, расчеты по формуле (4.62) подтверждают качественные соображения, приведенные в начале данного раздела. [c.78]

При этом кривые а, б, в отвечают соответственно случаям, когда kr>gl2, kF=g 2, kpзоны Бриллюэна, во втором — находится на этой границе, в третьем — находится внутри зоны. [c.79]

Рассмотрим теперь зависимость т от положения уровня Ферми относительно границ зоны Бриллюэна. Из (4.49) и (4.82) видно, что эффективная масса в общем виде входит в закон дисперсии как [c.91]

Б то же время зависимость <о(й) для дискретной цепочки атомов оказалась нелинейной и периодической, причем границе зоны Бриллюэна соответствуют предельные значения частоты. Если учесть, что частота волн пропорциональна их энергии, то из существования области разрешенных частот следует существование областей разрешенных энергий волн. [c.212]

И на границе зоны Бриллюэна [c.212]

Очевидно, что при малых k групповая и фазовая скорости одинаковы и равны аКр/М, но на границе зоны Бриллюэна групповая скорость обращается в нуль [c.213]

Итак, рассмотрение колебаний атомов в одномерной цепочке, состоящей из атомов одного сорта, показывает, что при низких частотах колебаний и длинных волнах (малых волновых векторах k) характеристики волнового движения атомов оказываются близкими к соответствующим характеристикам для изотропного континуума и в пределе с ними совпадают. Однако с ростом k обнаруживается заметное различие этих характеристик выявляется дисперсия частоты, частота колебаний начинает периодически зависеть от k, причем максимальные значения частоты обнаруживаются на границе зоны Бриллюэна, при этих же k обращается в нуль групповая скорость. Плотность состояний вблизи границы зоны Бриллюэна имеет особенность корневого типа. [c.214]

Проанализируем полученный результат при малых k (вблизи центра зоны Бриллюэна) и при k = n 2a (на границе зоны Бриллюэна). [c.215]

Для того чтобы найти соотношение амплитуд колебаний разных атомов на границе зоны Бриллюэна, подставим в (9.50) k = = я/2а. Нетрудно убедиться, что для оптической ветви [c.217]

Это означает, что на границе зоны Бриллюэна тяжелые (Afi) атомы не колеблются. В то же время из анализа (ио,я/2а/ио,ч/2а) следует, что в акустической ветви в этом же случае колебания испытывают только тяжелые атомы, легкие же остаются неподвижными. [c.217]

Еще более сложными оказываются дисперсионные кривые и спектр колебаний атомов трехмерного кристалла. Если число атомов базиса равно х, то общее число ветвей колебаний со (к) будет равно 3(х. Из них для трех ветвей частоты со (к) при к- -0 обращаются в О, а для остальных Зр, — 3 ветвей частоты со (к) при к- -0 в нуль не обращаются. Соответственно первые три ветви называются акустическими, остальные—оптическими. Общий вид кривых дисперсий для акустических и оптических ветвей часто бывает схож с видом ш( ) для одномерного случая, хотя количество ветвей для трехмерного случая больше. Однако аналогия наблюдается не всегда для сложных решеток и дальнодействующих межатомных взаимодействий экстремумы (к) могут наблюдаться и при значениях к, не совпадающих с центром или границами зоны Бриллюэна [45]. [c.217]

Поскольку при удалении от О деформация затухает, решение будем искать в виде затухающей функции. Если для невозмущенного колебания на границе зоны Бриллюэна смещение равно [c.219]

Найти выражение для групповой скорости волн в линейной двухатомной цепочке в центре и на границе зоны Бриллюэна. [c.228]

Минимумы зоны проводимости Се (соответствующие < с) расположены в направлениях пространств, диагоналей куба точно на границах зоны Бриллюэна. По- [c.36]

Для того чтобы понять разницу между N- и [7-процессам.и, рассмотрим поведение фононов в первой зоне Бриллюэна простой примитивной квадратной решетки с параметром а (рис. 6.16). Пусть в результате столкновения в точке О двух фононов с волновыми векторами ki и кг образуется фонон с волновым вектором кз=к1-[-к2 (рис. 6.16,а). Если исходные векторы таковы, что суммарный вектор кз не выходит за границы зоны Бриллюэна, то все три вектора имеют положительные относительно kx направления и для них справедливы условия (6.82) и (6.83) при 0=0. Описанная картина соответствует N-процессу. Так как тепловая sneff- [c.189]

Более полную картину расположения энергетических зон можно получить, построив в к-пространстве изоэнергетичес-кие поверхности (рис. 4.6). При малых к эти поверхности имеют сферический характер. По мере приближения к границам зоны Бриллюэна возникают и усиливаются отступления от сферичности. [c.73]

На границе зоны Бриллюэна sin2 a=l, откуда следует [c.216]

Эффект Ганна. На рис. 7.11, а показана энергетическая структура зоны проводимости арсенида галлия. В направлении [100] она имеет два минимума / при k = О и // при k = 0,8ko< где — волновой вектор, отвечающий границе зоны Бриллюэна. Второй минимум располагается выше первого на расстоянии АЕ = 0,36 эВ. В нормальных условиях электроны зоны проводимости размещаются в первом минимуме и обладают эффективной массой т п = = 0,072т и подвижностью Uj = 0,5 В/м -с. При приложении к кристаллу внешнего поля электроны приобретают дрейфовую скорость Ид = Ui(S, растущую пропорционально ё (прямая ОА рис. 7 11, б). Это происходит до тех пор, пока разогретые электроны не накопят энергию, достаточную для перехода в верхний минимум, где они обладают значительно большей эффективной массой (m,i = = 1,2m) и значительно меньшей подвижностью ( з = 0,01 В/м -с).-Такой переход сопровождается резким уменьшением скорости дрей-7 195 [c.195]

Рис. 1. Схема заполнения зон диэлектрика или полупроводника (а), металла (б), полуметалла (в). Жирные линии р) — заполненные состояния, тонкие — пустые пунктир — уровень химического потенциала, совпадающий в металлах с энергией Ферми при Г = о К, рмаке — максимальный квазиимпульс, соответствующий границе зоны Бриллюэна.
Поверхность Ферми — обязат, атрибут металлич, состояния кристаллов. Если поверхность Ферми пересекает границы зоны Бриллюэна (напр., у Си), то удобно использовать расширенное р-пространство. В этом случае отчётливо видна его периодичность. У щелочных металлов (Ы, N0, К, РЬ, Св) поверхности Ферми — почти идеальные сферы. Это не означает, что электроны этих металлов не испытывают влияния ионов. Их эффективные массы т — отличаются от мас- [c.116]

Непрямыми наз. переходы, в к-рых кроме электрона и фотона участвует фонон или примесный центр. В этом случае соотношение р и р не выполняется. Непрямые переходы менее вероятны, однако они определяют коэф. поглощения света при йш > в случае, когда экстремумы зон находятся в разных точках импульсного пространства. У Ge, напр., абс, экстремум зоны проводимости находится в точке В (рис. 8), к-рая лежит на границе зоны Бриллюэна. Максимум валентной зоны лежит в точке А при р = 0. Зона проводимости имеет более высокий минимум в точке С при р — 0. Ра,зность энергий между точками С п А равна Прямые переходы возможны лишь при йш > [c.42]

Смотреть страницы где упоминается термин Границы зон Бриллюэна : [c.257] [c.142] [c.69] [c.79] [c.64] [c.77] [c.78] [c.91] [c.159] [c.159]

Модели беспорядка Теоретическая физика однородно-неупорядоченных систем (1982) -- [ c.340 , c.455 , c.474 , c.479 ]

ПОИСК

Бриллюэна

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...