Энтропия разбиения

Эта формула для энтропии делает естественным следующее понятие условной энтропии разбиения относительно другого разбиения, которое играет центральную роль в теории энтропии сохраняющих меры преобразований. [c.172]

Определение 4.3.2. Пусть = <7 а б/ и т = ) а 6 —два измеримых разбиения пространства Лебега (X, fi). Условной энтропией разбиения относительно г] называется величина [c.172]

Вспоминая определение энтропии разбиения с помощью информационной функции (4.3.2)-(4.3.3), мы можем интерпретировать энтропию как среднее количество информации, которую знание нынешнего состояния системы добавляет к знанию прошлого. Таким образом, система с нулевой энтропией может рассматриваться как сильно детерминированная в том смысле, что приблизительное знание всего прошлого (т. е. знание того, через какие элементы данного конечного разбиения прошла траектория в прошлом) точно определяет эту последовательность посещений в будущем. [c.178]

Определение 12.4. Средняя энтропия разбиения а относительно разбиения /3. Пусть а = Ai г = 1,. .., г , /3 = Bj j = = 1,. .., в — два измеримых конечных разбиения. [c.43]

Определение 12.17. Энтропия разбиения относительно автоморфизма. Пусть (М, /X, (р) — динамическая система, а — конечное (или счетное) измеримое разбиение многообразия М. Энтропией а относительно ср называется число [c.44]

Приложение 18 Условная энтропия разбиения относительно другого разбиения [c.156]

Условной энтропией разбиения а относительно разбиения р называется величина [c.159]

Энтропия разбиения, условная энтропия разбиения 2. Энтропия динамической системы. ....... [c.5]

Энтропия разбиения, условная энтропия разбиения [c.45]

Определение 1.1. Энтропией разбиения называется величина [c.45]

Определение 4.1. Величина h G, ) называется энтропией разбиения относительно действия Г . [c.86]

В неравновесной термодинамике показано открытая система (таковой является деформируемый материал) способна к саморегулированию с уменьшением энтропии, т. е. она формирует каналы диссипации энергии (структурные уровни), закачиваемой в нее извне. Следовательно, в основе формирования структурных уровней деформации лежит разбиение области неоднородной деформации на подобласти с однородным ее распределением внутри и изменением от одной подобласти к другой. [c.213]

Когда такое разбиение проведено и энтропия каждой подсистемы задана по (6.10) через термодинамическую вероятность, остается определить энтропию системы суммой [c.68]

Когда условия разбиения системы на аддитивные подсистемы выполнены, то это определение энтропии позволяет определить энтропию системы, даже если система не находится в состоянии равновесия. Это возможно сделать, если суметь разделить систему на ряд частей, каждая из которых находится в состоянии равновесия. Тогда можно ввести энтропию каждой из этих частей и по определению считать энтропию всей системы равной сумме энтропий всех частей . [c.53]

Интенсивные и экстенсивные величины. Если систему, находящуюся в термически равновесном состоянии, разделить на части с помощью непроницаемых перегородок, то каждая часть останется в равновесном состоянии. Следовательно, равновесное состояние однородной системы является ее внутренним свойством и определяется термодинамическими переменными, не зависящими от размеров системы. Такие величины называются интенсивными. К их числу относятся, например, температура, давление, химический потенциал. С другой стороны, переменные, значения которых изменяются пропорционально размерам или массе системы при ее разбиении на части, не нарушающем равновесного состояния, называются экстенсивными величинами. Пример масса компонентов, энергия, энтропия и др. [c.14]

Мы опишем гиббсовские меры как меры, па которых достигает максимума некоторая величина, аналогично тому, как зто делалось в лемме I.I. Если W= Сь...,С —разбиение пространства с мерой (X, Э, ц.) (т. с. С, попарно не пересекаются и = и С ), то его энтропией называется число [c.28]

Где пробегает всевозможные конечные разбиения. Докажем теперь несколько лемм, связанных с вычислением энтропии, [c.40]

Для счетного разбиения энтропия может быть бесконечной. [c.171]

Замечание. Если v = X —тривиальное разбиение, то Я( ) = = H( v). Аналогично (4.3.3) можно переписать определение условной энтропии в виде [c.172]

Формула (4.3.4) позволяет нам определить условную энтропию даже в некоторых случаях, когда — непрерывное разбиение. Не входя в обсуждение общей ситуации с измеримостью и условными мерами для непрерывных разбиений, мы проиллюстрируем последнее утверждение примером. Пусть X — единичный квадрат 25 = [О, 1] х [0,1] с мерой Лебега, — раз- [c.172]

Начиная с этого момента, если не указано противоположное, мы будем рассматривать только конечные или счетные измеримые разбиения с конечной энтропией. [c.177]

Очевидно, энтропия инвариантна относительно метрических изоморфизмов. Мы вскоре увидим, что это определение более конструктивно, чем кажется на первый взгляд в большинстве случаев (T )=/i (3 e) Для подходящим образом выбранного разбиения (См., например, следствие 4.3.14.) [c.178]

Предложение 4.3.10. Пусть Т X, fj,)— X, fi)—сохраняющее вероятностную меру преобразование вероятностного пространства и — измеримые разбиения с конечной энтропией. Тогда выполнены следующие утверждения. [c.178]

Определение 4.3.11. Семейство Н измеримых разбиений с конечной энтропией называется достаточным относительно сохраняющего меру преобразования Т, если [c.179]

Здесь первое неравенство следует из первого утверждения предлож ния 4.3.3, примененного к мере, индуцированной на множестве А В = J (Ai Bj), которое позволяет оценить энтропию разбиения г] otho i jV [c.176]

Если а и /3 — два счетных измеримых разбиения, то а индуцирует на каждом элементе разбиения (3 с ренормированной мерой измеримое разбиение aвi с энтропией h aвi) которая определяет условную энтропию разбиения а относительно 3 [c.162]

Разбиения tj называк>тся независимыми, если для любых А Ж(Х), В жХ ц) справедливо соотношение л(ЛП5) =(х(Л) -(x( ). В случае независимых разбиений Я( т)) =//(g). Приведем свойства условной энтропии разбиения. В силу сказанного выше, НЗ них автоматически вытекают свойства безусловной энтропии [c.46]

Это направление Э.т. возникло в кон. 50-х — нач. 60-х гг. после того, как А. Н. Колмогоровым было введено понятие энтропии ДС, близкое к теоретико-информац. энтропии К. Э. Шеннона (С. Е. Shannon) (см. Теория информации), Пусть измеримые множества А i, образуют разбиение а вероятностного пространства (X, ц). Энтропией этого разбиения наз. число [c.630]

Второе равенство было получено путем разбиения суммы на две (с множителями 1/2) и заменой во второй сумме индексов суммирования т п. Из неравенства xi -x2) nxi - 11x2) > О следует, что dS/dt > 0. Таким образом, энтропия возрастает или остается постоянной. Последнее имеет место, если есть функция Е . [c.142]

Приводится развитая в 5—7 следующая картина процесса релаксации. Пусть макроскопическое состояние характеризуется грубой плотностью в [х-пространстве. Это значит, что [х-пространство разбито на ячейки, и заданы числа частиц в этих ячейках. Тогда каждому макроскопическому состоянию соответствует определенный объем в Г-пространстве, а каждому разбиению [х-пространства на ячейки — свое разбиение Г-пространства на области. Различное разбиение (х-про- транства на ячейки имеет смысл задания различных макроскопических характеристик. Например, ячейки в пространстве импульсов будут иметь больший размер, когда задано распределение температур и давлений по объему тела, чем в том случае, когда макроскопическое состояние определено распределением по скоростям. Энтропия состояния определяется как величина, пропорциональная логарифму объема Г-простран-х тва, соответствующего этому состоянию. [c.10]

В 1.D мы определили число h T, 0) в случае, когда Т — эндоморфизм вероятностного пространава, а — конечное измеримое разбиение. Определим энтропию Т по мере [х равенством [c.40]

Для А -гомеоморфизмов меру максимальной энтропии можно связать с периодическими траекториями также и через марковское разбиение с использоваинем известных результатов про ТМЦ, приведенных выше (см. п. 4). Мы рассмотрим случаи А -гомеоморфизмов, следуя книге [А]. Результаты для А-потоков будут приведены в следующем разделе. Пусть / —транзитивный А -гомеоморфизм, ё" = = Яо, .., — марковское разбиение, (2 ,0-) — ТМЦ, соответствующая л 2,4— проекция, индуцироваииая разбиением Согласпо [Б1, предложение 3.19], (2, ,<т) — неразложимая ТМЦ. Пусть А —ее индекс цикличности, = = 21 и и 2л, а перемешивает. [c.231]

На примере плазменного шара еще раз можно проследить за всеми основными характеристиками и составными элементами самоорганизации. Для того чтобы в системе началась самоорганизация, она должна быть подведена к границе устойчивости. Неустойчивость в данном случае — разбиение разряда на шнуры — начинается лишь с намека (хинта) на появление будущего шнура. На каждый такой хинт достаточно лишь одного бита информации. По мере увеличения внешнего параметра неравновесности, в данном случае силы тока, происходит реальное образование шнуров. Исходная сферическая симметрия нарушается можно сказать, что происходит самопроизвольное, или спонтанное, нарушение симметрии. Далее, по мере разогрева газа в шнурах в игру вступает конвекция, т.е. следующая бифуркация с появлением нового параметра порядка — газодинамической скорости. Появление "кошачьих лапок" на торцах каждой "змейки" — это еще одна бифуркация со своим механизмом неустойчивости. А в целом образуется сложная нелинейная физическая система с хаотическим типом движения. Для того чтобы это движение поддерживалось длительное время, система должна быть открытой через плазменный шар нужно непрерывно пропускать электрический ток от внешнего источника. Более того, этот источник энергии должен поставлять энергию в достаточно упорядоченном виде по терминологии Бриллюэна в систему должна "впрыскиваться" негэнтропия, т.е. энтропия с обратным знаком. [c.326]

Тогда —метрика на множестве всех классов эквивалентности modO) измеримых разбиений с конечной энтропией. Она называется метрикой Рохлина. [c.174]

Замечание. Четвертое свойство означает, что к Т, ) —липшицева функция с константой Липшица 1 на пространстве разбиений с конечной энтропией с метрикой Рохлина (4.3.6). [c.178]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...