Уравнения движения планет

Пусть т и — массы планеты Р и ее спутника X (рис. 149). Силы Ф и Ф — действия Солнца и других планет на рассматриваемую планету и ее спутник — почти параллельны и пропорциональны массам, так как расстояние r от планеты до ее спутника очень мало по сравнению с расстояниями от этой же планеты до других тел солнечной системы. Поэтому если мы обозначим через X, У, 2 проекции сил притяжения этими другими телами единицы массы планеты, то уравнения движения планеты и ее спутника будут [c.352]

Уравнения движения планеты в форме Якоби. Возьмем начало координат в Солнце, плоскость траектории примем за плоскость ху и обозначим через г расстояние Л10 от планеты до Солнца (рис. 177). Весь вопрос сводится к нахождению полного интеграла уравнения [c.485]

Следуя методу предыдущего примера, мы найдем полный интеграл, который будет уравнением движения планеты в классической форме. [c.485]

В декартовых координатах уравнения движения планеты будут [c.391]

Если ввести прямоугольную декартову систему координат с началом в центре Солнца (так называемую прямоугольную гелиоцентрическую систему), то дифференциальные уравнения движения планет вокруг Солнца имеют вид [7, 106] [c.134]

В работе Т. Леви-Чивиты выводится дифференциальное уравнение движения планеты, масса которой увеличивается за счет налипания частиц (метеорной пыли). Добавочное ускорение (за счет переменности массы) Леви-Чивита вычислил, исходя из закона сохранения движения центра масс системы планета — частица. При этом существенно использовалась гипотеза [c.231]

Выберем такую инерциальную систему, в которой этот центр покоится, и поместим начало координат в этот центр MR-l-mr = = 0. Тем самым, достаточно найти движение планеты, движение Солнца определится из соотношения R = —mr/M. Подставим это соотношение в выражение для силы тяготения и запишем уравнение движения планеты [c.76]

Докажем третий закон Кеплера. Уравнение движения планеты имеет вид [c.32]

Уравнения движения планеты по орбите, плоскость которой совпадает с плоскостью отсчета, можно написать в полярных координатах в виде [c.80]

Этот первый пример отличается от интегрирования уравнений движения планеты, кометы или спутника по орбите в двух важных отношениях. Во-первых, результаты являются точными, пе отягощенными ошибками округления. Во-вторых, значения интегрируемой функции [c.135]

Упрощающая особенность заключается в том, что непрямой член возмущающей функции не содержит вековых членов. Чтобы доказать это, рассмотрим взаимные возмущения двух планет с массами тп1, тпг и гелиоцентрическими координатами 21, г/,, 2], уг, Непрямой член возмущающей функции в уравнениях движения планеты гп1 имеет вид [c.437]

Рассмотрим движение планеты Р с массой т по гелиоцентрической орбите (масса Солнца — М), возмущаемой второй планетой Р1 с массой ГП1. Тогда уравнение движения планеты Р в силу [c.195]

Соответствующее уравнение движения планеты имеет вид [c.196]

Более серьезные трудности при использовании уравнений движения планет в форме Лагранжа (6.30) возникают в следующем случае. [c.200]

Решение уравнений движения планет в форме Лагранжа [c.202]

В рассматриваемых до сих пор уравнениях движения планет правые части содержат частные производные возмущающей функции R по элементам орбиты. Уже указывалось (без доказательства), что возмущающую функцию можно представить в виде ряда [c.208]

В качестве иллюстрации рассмотрим планету, движущуюся по невозмущенной гелиоцентрической орбите. В прямоугольной эклиптической системе планета имеет координаты (х, у, г). Предположим, мы хотим получить уравнения движения планеты в форме Лагранжа, используя обобщенные координаты (г, Р, Я), где г — радиус-вектор планеты, р—эклиптическая широта, а Я—эклиптическая долгота. Тогда справедливы соотношения [c.214]

В важной работе Брауэра [3] показано, что при двукратном интегрировании вероятная ошибка равна 0,1124/г , где п — число шагов (величина ошибки выражена в единицах, соответствующих последней значащей цифре). Так, например, после 100 шагов численного интегрирования уравнений второго порядка, описывающих движение спутника, мы с вероятностью 50% можем ожидать, что ошибка округления будет меньше 112,4. В этой работе также показано, что средние ошибки оскулирующих элементов орбиты, полученных численным интегрированием уравнений движения планет в форме Лагранжа (уравнений первого порядка) или при помощи обычных формул по компонентам х, у, г) и х, у, 2), будут пропорциональны Исключением является средняя орбитальная долгота, для которой средняя ошибка опять-таки пропорциональна га . Правда, следует заметить, что она получается в результате двукратного интегрирования. [c.224]

Основные уравнения движения планет [c.19]

В этой главе мы займемся разложениями в ряды различных функций, относящихся к эллиптическому движению. Большая часть наших результатов будет представлять подготовку для получения (в гл. 7) разложения возмущающей функции R [определяемой формулой (4) 1.07] в виде, пригодном д.1я решения уравнений движения планеты Р, возмущаемой планетой Ру, или уравнений возмущенного движения спутника вокруг планеты. [c.42]

УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ПЛАНЕТ В ФОРМЕ ЛАГРАНЖА [c.80]

Уравнения движения планеты Р (масса т) под действием центрального притяжения Солнца (масса и притяжения планет Яр Р ,. .. (массы Отр OTj,. ..) были получены в 1.07. Они имеют вид [c.80]

Уравнения движения планет [c.96]

Эти уравнения и являются уравнениями движения планет в переменных а, е, X. 2. <0. / [c.97]

Важная модификация уравнений движения планет 113 [c.113]

Заметим, что планеты вокруг Солнца движутся также по эллиптическим орбитам, одиако при этом Солнце находится пе в центре эллипса, а в одпом из его фокусов (nepDbiii закон Кеплера), и сила притяжения не пропорциональна удалению, а обратно пропорциональна квадрату его (закон всемирного тяготения Ньютона). При этом уравнения движения планеты значител1лзо сложнее, чем (13.13), [c.245]

Для получения численной величины а следует воспользоваться феноменологической теорией Пуанкаре — Мин-ковского, упоминавшейся ранее в п. 8. Эта теория основана на специальной теории относительности. Она приспособила ньютоновы уравнения движения планет к требованиям этой теории с тем условием, чтобы в предельном случае малых Kopo Teii иолучпт[> старые результаты. Функция Гамильтона в этой теории имеет вид (9.8.8). В сферических координатах для ф = onst = - л имеем [c.377]

Чтобы показать ириложенвя теории множителя, мы рассмотрим сначала случай, в котором, в отличие от всех оста.аьных примеров, к которым относится это исследование, Х Y , будут не только функциями от координат, но будут также содержать скорости, где таким образом М не будет постоянной. Это будет случай планеты, которая движется вокруг солнца в сопротивляющейся среде. Если не принимать во внимание сопротивления, то уравнения движения планеты, как известно, будут [c.110]

Однако С теоретической точки зрения гелиоцентрические уравнения движения планет не совсем удобны, так как они содержат столько же возмущающих функций, сколько имеется планет, вследствие чего выкладки, связанные с развитием теории интегрирования уравнений движения, оказываются довольно длительными и громоздкими. С этой точки зрения гораздо удобнее пользоваться каноническими уравнениями движения (уравнениями Гамильтона), содержащими только одну функ-цию — X а р а кте р истич ес ку ю функцию, или функцию Гамильтона (гамильтониан), представляющую собой полную энергию движущейся системы материальных точек. [c.687]

В двухпланетной задаче в уравнениях движения планеты Р1 относительно центрального тела Ро в качестве возмущающей функции фигурирует функция [c.385]

В 1773 г. Лаплас опубликовал теорему, впоследствии уточненную Пуассоном (до второго порядка по возмущающим массам), из которой следовало, что Солнечная система устойчива в том смысле, что движение каждой планеты постоянно ограничено собственным сферическим слоем, причем слои разных планет никогда не пересекаются друг с другом. Другими словами, изменения больших полуосей являются чисто периодическими. Зате.м (в 1784 г.) Лаплас, воспользовавшись уравнениями движения планет в форме Лагранжа, пришел к выводу, что наклонения и эксцентриситеты планетных орбит должны все время оставаться малыми. Свои результаты он получил, учитывая лишь первые и вторые порядки этих малых величин. Американский астроном Саймон Ньюком [23] показал, что если массы всех тел, кроме одного, малы (по сравнению с массой единственного большого тела) и орбиты малых тел имеют малые эксцентриситеты и наклонения, то такая задача п тел имеет решение в виде бесконечных многократных периодических тригонометрических рядов. При этом, однако, оставался решающий вопрос о том, сходятся илн расходятся ряды Ньюкома. Если ряды сходятся, то реальные движения планет должны быть ква-зипериодическпми если они расходятся, то о поведении планетных орбит на больших интервалах времени ничего сказать нельзя. [c.278]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...