Зэк левоинвариантное

Уравнения (2.3) будем называть уравнениями Эйлера — Пуанкаре. В качестве комментария рассмотрим частный случай, когда С есть группа 50(3) вращений твердого тела в трехмерном евклидовом пространстве вокруг неподвижной точки. Хорошо известно, что ее алгебра д = во Ъ) изоморфна алгебре векторов трехмерного ориентированного евклидова пространства со стандартным векторным произведением. В качестве левоинвариантных базисных векторных полей возьмем поля, порождаемые вращениями твердого тела с единичными угловыми скоростями вокруг трех связанных с телом ортогональных осей. Тогда [их, иг] = из, [иг, из] = их, [из, их] = иг- Уравнения (2.3), как легко понять, будут системой [c.28]

Уравнения (2.3) являются частью гамильтоновой системы, описывающей движение по геодезическим левоинвариантной метрики 1у. Вычислим скобку Пуассона двух функций Г и С, заданных на дуальном пространстве д. Для этого надо рассмотреть гамильтонову систему с гамильтонианом Г и вычислить производную от функции С в силу этой системы. В переменных т,д эти уравнения Гамильтона имеют вид уравнений Четаева (2.2) д [c.28]

В случаях (а) и (в) на каждом эллипсоиде интеграла энергии = h > О имеется асимптотически устойчивое положение равновесия. Подчерк 1ем, что сформулированные выше условия существования инвариантной меры определяются лишь структурой алгебры 5 и не зависят от выбора левоинвариантной метрики. [c.33]

Предположим, что твердое тело с неподвижной точкой вращается в силовом поле с потенциалом V. Пусть а,р, — векторы неподвижного ортонормированного репера, рассматриваемые как векторы связанного с телом подвижного пространства. Поскольку они однозначно определяют положение тела в неподвижном пространстве, то потенциал V можно считать функцией от а,/9,7. Запишем уравнения Пуанкаре, приняв в качестве пространства положений группу 50(3). Пусть снова (как и в п. 3 2) Щ,и2, щ обозначают левоинвариантные векторные поля на группе 50(3), порождаемые постоянными вращениями тела вокруг главных осей инерции с единичной скоростью. Вычислим щ[У) — производные от потенциала вдоль П . Пусть — вектор угловой скорости с координатами (относительно осей инерции) 1,0,0. При вращении со скоростью О) векторы а,/9,7 изменяются в соответствии с геометрическими уравнениями Пуассона а = ахи), 3 = /9 хо , 7 = 7х о . Следовательно, [c.33]

Можно показать, что значительная часть эйлеровой теории твердого тела использует только это обстоятельство, а потому сохраняет силу для произвольной левоинвариантной лагранжевой системы на произвольной группе Ли. [c.131]

ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ЛЕВОИНВАРИАНТНЫХ МЕТРИК 283 [c.283]

ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ЛЕВОИНВАРИАНТНЫХ МЕТРИК НА ГРУППАХ ЛИ И ГИДРОДИНАМИКА ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [c.283]

ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ЛЕВОИНВАРИАНТНЫХ МЕТРИК 285 [c.285]

ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ЛЕВОИНВАРИАНТНЫХ МЕТРИК 287 [c.287]

Левоинвариантную риманову метрику достаточно задать в одной точке группы, например в единице тогда в остальные точки метрику можно принести левыми сдвигами. Таким образом, левоинвариантных римановых метрик на группе столько же, сколько евклидовых структур на алгебре. [c.287]

Кинетическая энергия тела определяется вектором угловой скорости в теле и не зависит от расположения тела в пространстве. Следовательно, кинетическая энергия задает левоинвариантную риманову метрику на группе. Задающий эту метрику симметрический положительно определенный оператор Ag. TGg -V T Gg называется оператором (или тензором) инерции-, он связан с кинетической энергией формулой [c.289]

Согласно принципу наименьшего действия, движение твердого тела по инерции (в отсутствие внешних сил) есть геодезическая на группе вращений с указанной выше левоинвариантной метрикой. [c.290]

Мы будем теперь рассматривать геодезические произвольной левоинвариантной римановой метрики на произвольной группе Ли как движения обобщенного твердого тела с конфигурационным пространством G. Такое твердое тело с группой G определяется своей кинетической энергией, т. е. положительно определенной квадратичной формой на алгебре Ли. Точнее, мы будем представлять себе геодезические левоинвариантной метрики на группе G, заданной квадратичной формой <со, со> на алгебре, как движения твердого тела с группой G и кинетической энергией <со, со>/2. [c.290]

ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ЛЕВОИНВАРИАНТНЫХ МЕТРИК 291 [c.291]

ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ЛЕВОИНВАРИАНТНЫХ МЕТРИК 293 [c.293]

СЯ вращения вокруг главных осей эллипсоида инерции. Ниже формулируется обобщение этой теоремы на случай твердого тела с любой группой Ли. Заметим, что стационарные вращения — это геодезические левоинвариантной метрики, являющееся однопараметрическими подгруппами. [c.294]

ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ЛЕВОИНВАРИАНТНЫХ МЕТРИК 295 [c.295]

ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ЛЕВОИНВАРИАНТНЫХ МЕТРИК 297 [c.297]

ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ЛЕВОИНВАРИАНТНЫХ МЕТРИК 299 [c.299]

ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ЛЕВОИНВАРИАНТНЫХ МЕТРИК 303 [c.303]

ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ЛЕВОИНВАРИАНТНЫХ МЕТРИК 305 [c.305]

Найдем теперь соответствующие базисные левоинвариантные поля на группе Е 3). Для этого запишем производную по времени в силу уравнений (5.1) [c.59]

Частные примеры 1.7. Описание геодезического потока на обычном торе в евклидовом пространстве имеется в приложении 2, на эллипсоиде — в работе Кагана [1] и на группах Ли, снабженных левоинвариантной метрикой, — в приложениях 3 и 4. [c.12]

Теорема П20.1. Метрика группы С. Левоинвариантная метрика на группе С, удовлетворяющая при х = О, у = 1 условию = дх - -(1у , имеет вид [c.168]

Если г — радиус-вектор, i —скорость той же точки в подвижном пространстве, связанном с твердым телом, то снова v=(uXr, где (o=fi" Q — вектор угловой скорости в теле. Соответствие f B B- (u задает изоморфизм алгебры so(3) (которую можно трактовать как алгебру левоинвариантных полей на 50(3)) и алгебры векторов трехмерного ориентированного евклидова пространства, в котором коммутатором является обычное векторное умножение. [c.25]

Для вычисления форм Э/ можно воспользоваться любой матричной реализацией группы G матричная 1-форма g dg левоппварпантна, а её коэф. являются левоинвариантными скалярными 1-формами, из к-рых и выбирается искомЫ11 базпс. Напр., полная матричная группа GL n, R) упимодулярна и мера Хаара на ней задаётся формой (det g)- А dg j. [c.137]

Пусть теперь N—группа Ли G и ui,...,u — независимые левоинвариантные поля на G. В этом случае = onst. Предположим еще, что лагранжиан сводится лишь к кинетической энергии, которая является левоинвариантной метрикой (, ) на [c.27]

Рассмотрим группу Е Ъ) движений твердого тела в трехмерном ориентированном евклидовом пространстве и ее алгебру е(3). Ясно, что с11т Е Ъ) = 6. Выберем в твердом теле ортонормирован-ный базис с началом в некоторой точке О. Постоянным вращениям тела с единичной скоростью вокруг векторов базиса отвечают левоинвариантные поля г>1, г>2, г>з на группе Е[Ъ). Точно так же движениям твердого тела, при которых скорость точки О постоянна и равна одному из векторов выделенного базиса, отвечают левоинвариантные поля щ,и2,щ. Ясно, что поля всюду линейно независимы. Можно показать, что структурные константы алгебры е(3) определяются таблицей [c.39]

Этот пример обобщается на движения по произвольной группе Ли (5, задаваемые левоинвариантным лагранжианом. Роль интеграла момента играют нётеровы интегралы (их число равно dim (5), отвечающие левоинвариантным полям симметрий. [c.72]

Здесь (со, х) —функция Лагранжа с - —структурные постоянные алгебры Ли 5 г>1,..., — базис левоинвариантных полей на соответствующей группе G. Полагая т, = d fdu),, введем две матрицы, L и А, с элементами Ьк, = А1 = J2 ka a. [c.106]

Эйлерово движение твердого тела можно описать как движение по геодезическим на группе вращений трехмерного евклидова пространства, снабженной левоинвариантной римановой метрикой. Значительная часть теории Эйлера связана лишь с этой инвариантностью и потому переносится на случай других групп. [c.283]

Б. Левовнвариантные метрики. Риманова метрика на группе Ли G называется левоинвариантной, если она сохраняется при всех левых сдвигах Lg, т. е. если производная левого сдвига переводит каждый вектор в вектор такой же длины. [c.287]

Пусть С — группа Ли, снабженная левоинвариантной метрикой. Пусть <,> — скалярное произведение в алгебре, задающее эту метрику. Заметим, что риманова кривизна группы С в любой точке определяется кривизной в единице (так как левые сдвиги переводят группу в себя изометрически). Поэтому кривизну достаточно вычислить для двумерных плоскостей, лежащих в алгебре Ли. [c.295]

Замечание 2. Формула для кривизны группы с правоинвариантной римановой метрикой совпадает с формулой для левоинвариантного случая. Действительно, правоинвариантная метрика на группе есть левоинвариантная метрика на группе с перевернутым законом умножения (ё1 ё2 = Переход к пе- [c.295]

Замечание 2. Структура ж, у = у типа А — это стандартная пуассонова структура дуального пространства алгебры Ли группы аффинных преобразований прямой. Эта структура рассматривалась в 1965 г. в связи с изучением уравнений Эйлера левоинвариантной метрики на группе (в данном случае — метрики Лобачевского на полуплоскости), причем сразу же выяснилось, что она устойчива и локально эквивалентна любой структуре вида х, у = у +. . где точки обозначают нелинейные члены (с нулем выше первого порядка). Это (очевидное) наблюдение противоречит гипотезе А. Вейнстейна, согласно которой подобная линеаризуемость всех не содержащих линейных членов возмущений — признак линейных пуассоновых структур дуальных пространств полупростых алгебр Ли. [c.427]

В качестве базиса векторных полей (2.2) удобно выбирать левоинвариантные (правоинвариантные) векторные поля из ее алгебры Ли. При этом тензор не зависит от координат и определяется структурными константами алгебры Ли. Скобка (2.12) при этом определяет так называемую каноническую структуру на кокасательном расслоении с базой — группой Ли [31]. [c.37]

Если гамильтониан Н зависит от координат, но удается выбрать избыточные координаты так, что все компоненты левоинвариантных полей v ( ) линейны по q, то скобка (2.13) становится обычной скобкой Ли-Пуассона, а все геометрические зависимости для избыточных переменных будут ее функциями Казимира или инвариантными соотношениями. Этого можно добиться, если воспользоваться матричной реализацией группы Ли, а в качестве избыточных кооординат выбрать компоненты ее матриц. Полученная в этом случае структура Ли-Пуассона соответствует полупрямой сумме g К , где К — пространство матриц п х п, g — алгебра Ли данной группы, и называется естественной канонической структурой кокасателъ-ного расслоения к группе Ли. Таким способом могут быть получены, например, уравнения движения твердого тела в направляющих косинусах и моментах (см. 4). Матричная реализация групп Ли используется также в динамике многомерного твердого тела [24, 31]. [c.37]

Вследствие того, что угловые скорости проектируются на одни и те же оси, связанные с оболочкой —61,62,63, которые для воображаемой сферы играют роль неподвижных осей (аналогичных неподвижным осям в пространстве для тела), векторные поля го1,го2,гоз — левоинвариантные, а С1,С2,Сз правоинвариантные. Поэтому их коммутаторы отличаются знаком ( ) [c.272]

I = г, т. е. компактная группа, состоящая из таких матриц А Р5Ь(2, К), что ф А) сохраняет элемент г. Риманова метрика на Н, таким образом, соответствует левоинвариантной метрике на Р5Ь(5, К), которая является правоинвариантной относительно К. [c.550]

Напротив, для каждой связной полупростой группы Ли без компактных факторов и максимальной компактной подгруппы К (которая определена однозначно с точностью до сопряжения внутренним автоморфизмом G) существует единственная глобально симметрическая структура на М = G/K, а именно, каждая левоинвариантная риманова метрика на G, которая является правоинвариантной относительно К, тогда превращает М в риманово многообразие и фактор М по действию слева решетки Г в ( будет тогда компактным римановым фактором М. Эти факторы являются прямым аналогом тора и компактных факторов гиперболической плоскости RH из 5.4. В этой модели геодезические, проходящие через Id, соответствуют однопараметрическим подгруппам G/K. [c.558]

В этом параграфе мы рассматриваем группы, снабженные топологией, инвариантной относительно групповых операций. Топологическая группа — это группа с такой топологией, что все левые сдвиги g - ддд, правые сдвиги д -> дд к отображение 31- д являются гомеоморфизмами. Хорошо известные элементарные примеры — это К" с операцией сложения, окружность и тор. В этих случаях групповые операции, очевидно, являются диффеоморфизмами. Другие важные примеры включают группы матриц относительно умножения, напрнмер ОЦп, ), 5Ь(п,К) и другие группы, описанные после определения П 3.1. Топологическая группа называется локально компактной, если любая точка (или, что эквивалентно, единичный элемент) имеет окрестность, замыкание которой компактно. На такой группе имеется единственная с точностью до скалярного множителя локально конечная борелевская мера, инвариантная относительно правых сдвигов, которая называется правой (илн правоинвариантной) 1 мерой Хаара. Аналогичным образом, левая (илн левоинвариантная мера Хаара — это единственная с точностью до скалярного множителя борелевская мера, инвариантная относительно всех левых сдвигов. Эти меры конечны тогда и только тогда, когда группа компактна. Наиболее интересны и важны для нас ситуации, когда правоинвариантная мера Хаара является также и левоинварнантной. Это имеет место для всех коммутативных групп, компактных групп и, что особенно важно, для унимодулярных линейных групп, т. е. замкнутых подгрупп группы ЗЦп, К) всех (п х п)-матрнц с определителем единица. Группы, для которых левая и правая меры Хаара совпадают (и естественно называются просто мерой Хама), называются унимодулярными, и мы будем обсуждать только такие группы. [c.719]

Пусть теперь М — группа Ли G и Wi,..., t — независимые левоинвариантные поля на G. В этом случае /y = onst. Предположим, что лагранжиан инвариантен относительно левых сдвигов на G. Тогда Vk L) 0 и, следовательно, L зависит [c.24]

Пусть — единичные векторы осей инерции, занумерованные так, что 61X62=63, . Пусть О], 1 г, из —левоинвариантные векторные поля на 50(3), которые являются прообразами векторов в, б2, Сз при изоморфизме / 5о(3) / (о . Ясно, что [c.26]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...